2022年八级下册勾股定理知识点归纳.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、基础学问点： 勾股定理八年级下册勾股定理学问点和典型例习题DCHEGF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 a 2b2c2 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形通过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股

2、定理常见方法如下：baAcBbaacbcbccaabAaD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形ABCD,化简可证cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形cEa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 面 积 与 小 正 方 形 面 积 的 和 为S41 abc2 222abc大 正 方 形 面 积 为BbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

3、料_S ab22a2a b 2b所以 a 2b2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法三：S梯形1 ab ab ,S梯形2S ADES ABE2 1 ab1 c2 ,化简得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在A

4、BC 中,C90,就 ca2b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222b ca, acb知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_际问题 .勾股定理的逆定理假如三角形三边长a , b , c 满意 a 2b2c2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和a

5、 2b2 与较长边的平方c2 作比较,如它们相等时,以a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b , c 为三边的三角形是直角三角形.否就,就不是直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2定理中 a , b , c 及 a2bc 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a , b , c 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2c2b2 ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和

6、时,这个三角形是直角三角形2 .勾股数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 abc 为一组勾股数c 中, a , b , c 为正整数时, 称 a , b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 . 6,8,10 . 5,12,13. 7,24,25 , 8,15,17 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - -

7、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n21,2n, n21 （ n2, n 为正整数）.2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 为正整数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m2n2 ,2 mn,m2n 2 （ mn,m , n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股

8、定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅

9、相成,完成对问题的解决常见图形：CCCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30ABADBBAABDD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222已知 AC6 , BC8 求 AB 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222已知 AB17 , AC15,求 BC 的长分析：直接应用勾股定理abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：ABACBC10 BCABAC8可编辑资料 -

10、 - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物9 米,那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析： 这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题.把实物模型转化为数学模型后,. 已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理；2222222依据勾股定理AC+BC=AB,即 AC+9 =15 , 所以 AC=144, 所以 AC=12.例题 2如图（ 8）,水池中离岸边D点 1.5米的 C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.解析： 同

11、例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2.由题意可知 ACD中 , ACD=90 , 在 Rt ACD 中,只知道 CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型.标准解题步骤如下（仅供参考）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -222解： 如图 2,依据勾股定理,AC+CD=AD设水深 AC= x 米,那么AD=AB=AC+

12、CBx=+0.5x2+1.5 2=（ x +0.5 ） 2解之得 x=2.故水深为2 米.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型三 ：勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3,正方形ABCD中, E是 BC边上的中点,F 是 AB上一点,且FB吗？为什么？1 AB4那么 DEF是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 这道题把许多条件都隐匿了,乍一看有点摸不着头脑.认真读题会意可以发觉规律,没有任何条件,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们也可以开创条件,由FB1 AB4可以设 AB=4a,那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a,

13、那么在 Rt AFD 、Rt BEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判定DEF是否是直 角三角形.具体解题步骤如下：解： 设正方形ABCD的边长为4a, 就 BE=CE=2a,AF=3a,BF=a222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 Rt CDE中, DE=CD+CE=4 a+ 2 a =20 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同

14、理 EF =5a , DF=25a在 DEF中, EF + DE =5a + 20a =25a =DF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ DEF是直角三角形,且DEF=90 .注：此题利用了四次勾股定理,是把握勾股定理的必练习题.题型四 ：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在, 边 CD上取一点E,将 ADE折叠使点D 恰好落在BC边上的点F,求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量.合理设元是关键.解： 依据题意得Rt ADE Rt AEF AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就

15、 DE=EF=CD CE=8 x222222在 Rt ABF中由勾股定理得：AB +BF =AF,即 8 +BF =10 , BF=6cmCF=BC BF=10 6=4cm在 Rt ECF中由勾股定理可得：2222222EF =CE+CF,即 8 x=x +4 6416x +x =2+16 x=3cm, 即 CE=3 cm注：此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积.题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和 CD边,他测得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

16、 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AD=80cm, AB=60cm,BD=100cm, AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证AD边与 CD边是否垂直？解析： 由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量.我们通常截取部分长度来验证.如图4,矩形 ABCD表示桌面外形,在AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm想想为什么要设为这两个长度？ ,连结 MN,测量 MN的长度.222假如 MN=15,就 AM+AN=MN, 所以 AD边与

17、AB边垂直.222222假如 MN=a 15, 就 9 +12 =81+144=225,a 225, 即 9 +12 a ,所以 A 不是直角.例题 6 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离的高4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内,灯就自动打开,一个身高1.5 米的同学,要走到离门多远的的方灯刚好打开？解析： 第一要弄清晰人走过去,是头先距离灯5 米仍是脚先距离灯5 米,可想而知应当是头先距离灯5 米.转化为数学模型,如图6 所示, A 点表示掌握灯,BM表示人的高度,BC MN,BC AN当头（ B 点）距离A 有 5 米时,求BC的长度.已知AN=4.5 米, 所以 AC=3米

18、,由勾股定理,可运算BC=4 米. 即使要走到离门4 米的时候灯刚好打开.题型六 ：关于翻折问题如图,矩形纸片ABCD的边 AB=10cm,BC=6cm, E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上的点 G 处,求 BE 的长 .变式：如图,AD 是 ABC的中线, ADC=45,把 ADC 沿直线 AD 翻折,点C 落在点 C的位置, BC=4,求 BC的长 .三、勾股定理练习题（一）、挑选题1、以下各组数中,能构成直角三角形的是（）A： 4,5, 6B： 1, 1,2C： 6, 8, 11D：5, 12, 232、在 Rt ABC中, C90, a 12, b1

19、6,就 c 的长为 A： 26B： 18C ： 20 D ：213、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是 3,4,就 OP的长为 A： 3 B ： 4 C ：5 D ：7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、在 Rt ABC中, C90, B 45 ,c 10,就 a 的长为 A： 5 B ：10C ：5、已知 Rt ABC中, C=90,如 a+b=14cm, c=10cm,就 Rt ABC的面积是（）50D：5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A 、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、如等腰三

20、角形的腰长为10,底边长为12,就底边上的高为（） A、6 B 、7 C 、8 D 、97、已知,如图长方形ABCD中, AB=3cm, AD=9cm,AED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -BF第 7 题C第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -将此长方形折叠,使点B 与点 D重合,折痕为EF,就 ABE2222的面积为（） A 、3cm B 、4cmC 、 6cm D 、12c

21、m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、如 ABC中, AB13cm, AC15cm ,高 AD=12,就 BC的长为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、14B、4C、14 或 4 D 、以上都不对BC9、 如图,正方形网格中的ABC,如小方格边长为1,就 ABC是 （）（A）直角三角形B 锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对A10、在一棵树的10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的 A 处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,就这棵树D高是（） A 、 17B、14C 、16D、 1 5B

22、（二）、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如一个三角形的三边满意c2a 2b2 ,就这个三角形是.C第 10 题图A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm,宽为 60cm,对角线为100cm, 就这个桌面.（填“合格”或“不合格”）3、直角三角形两直角边长分别为3 和 4,就它斜边上的高为 .4、如右图所示的图形中,全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,就正方形A, B, C,D 的面积的和为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、如右图将矩形ABCD

23、沿直线 AE折叠 , 顶点 D恰好落在BC边上 F 处,A已知 CE=3,AB=8,就 BF= .6、将一根长为15 的筷子置于底面直径为5 ,高为12 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h ,就 h 的取值范畴是 .B（三）、解答题1、已知 ABC 的三边分别为k 2 1,2k, k 2DE第 6 题图FC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+1 （ k 1）,求证： ABC 是直角三角形.（ 9 分）如图,在2、如图,四边形ABCD中, AB 3cm, BC 4cm, CD 12cm, DA13cm,0且 ABC 90 ,求四边形ABCD的面积.（ 2 题图）可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AAD3如图,在Rt ABC中, ACB=90, CDAB, BC=6, AC=8,D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 AB、CD的长BCE（3 题图）BFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4 题图）4如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为 8cm, .长 B

25、C.为 10cm当小红折叠时,顶点 D 落在 BC边上的点F 处（折痕为AE）想一想,此时EC有多长？ .5如图, A、 B 是笔直大路l 同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和 500m,两村庄之间22的距离为d 已知 d =400000m ,现要在大路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小.问最小是多少？BAl（5 题图）参考答案：（一） 、A、9 、A10、D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）、直角三角形、合格、12、6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 、提示： 证（ k 2 1）22252可编辑资料 - - - 欢迎下

26、载精品_精品资料_+（2k ） =（ k +1）2、解：连接AC在 Rt ABC中, =916 =5cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABBC342可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S ABC=2=6cm在 ACD中,2+CD =25+144=169, DA=13 =169,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ DA = +CD ACD是 RtSACDCACD=22= 5122=30 cm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S 四边形 ABCD= S ABC+ S ACD=6+30=36 cm3、解：在Rt ABC中, BC=6,

27、 AC=8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3684 ACBC 68 4.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB10、解析 : 依据勾股定理可求得BF=6cm,所以 CF=4cm.设 EC=x cm, 就 EF=DE=8-xcm222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据勾股定理,得x+4 =8-xx=4cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、解析 : 依据勾股定理可求得A、B 两个村庄的水平距离是600m, 再依据勾股定理可求得最小值是1000m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载