2022年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答 .docx

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1、精品_精品资料_2022 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答2022 年 6 月 5 日上午 8:3011: 00一、填空题（每道题7 分,共 56 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如 y16alog 2022x216 ax65的值域为 R ,那么 a 的取值范畴是 答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由值域yR ,x2ax651 ,x2ax640可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a24 640 ,16a16 .可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品_精品资料_2 、四周体 ABCD 中, ABC 是一个正三角形,ADBD2 ,ADBD ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADCD ,就 D 到面 ABC 的距离为答案：23 A23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图,据题意得,2ABADBD22 ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 BCCAAB22 , CDAC 2AD 22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 BC2BD 2CD 2,得 BDCD ,从而以 DBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为顶点的三面角是三直三面角,可编辑资料 -

3、 - - 欢迎下载精品_精品资料_四周体体积 V1 ADSBCD4 ,而 SABC3AB 223 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33如设 D 到面 ABC 的距离为 h ,就 V1 h S42 3ABCh ,由 2 3 h 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到 h23 33333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、如对于全部的正数x, y ,均有xyaxy ,就实数 a 的最小值是答案：2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由xyxy1,得2 ,xyxy可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xy 时取等号4 、已知 P 是正方形 ABCD内切圆上的一点, 记APC,BPD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就 tan2tanY答案： 8 DCP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图建立直角坐标系,设圆方程为x2y2r,2OX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就正方形顶点坐标为Ar ,r , Br ,r , Cr , r , Dr , r ,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 P 的坐标为Prcos , rsin ,于是直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PA, PB, PC, PD 的斜率分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1sin, k1sin, k1 sin, k1sin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPB1cos1cos2PCPD1cos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tan2k PCkPA4cossin2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1kPAk PC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、tan 2kPD2k PB4cossin2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此立得1tan 2k PBk PDtan28 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2：取特例, P 在坐标轴上,就,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时,tancot2 2tan,1tan2tan222228可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 、等差数列 2,5,8,2022 与 4,9,14,2022 的公共项（具有相同数值的项）的个数是答案：134解：将两个数列中的各项都加1,就问题等价于求等差数列3,6,9,2022与等差数列 5,10,15,2

7、022 的公共项个数. 前者是 M1,2,3,2022中的全体能被3 整除的数,后者是M 中的全体能被5 整除的数,故公共项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 M 中的全体能被 15 整除的数,这种数有2022134 个15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 、设 x 为锐角,就函数 ysinx sin 2 x 的最大值是答案：43 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 y22sinx cos x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

8、得 y24sin 4 x cos2 x21cos2x1cos2x 2cos 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos2x1cos2 x2cos 2 x3216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322,3327可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y43 当9cos2 x1 时取得等号3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 、如将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33 方格表的九个格子中,使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品_精品资料_解答：（答案有多种）179263845可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 、把从 1到 n n1 这 n 个连续正整数按适当次序排成一个数列,使得数列中每相邻两项的和为平方数,就正整数n 的最小值是答案： 15 例如,排出的一个数列为 8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9 解： 这是一个操作问题,如用文字表达较为繁琐, 故适宜作为填空题直接操作记这 n 个连续正整数的集合为M1,2, n ,由于 n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 M 中必有 2 ,而 279 ,所以 n可以搭配成中意条件的三

10、个数段：7 ,当 n7 时,从 1到 7 这 7 个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,3,6,2,7,4,5,但它们不能连接成一个7 项的数列, 故应增加后续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,增加 8 可使得第一段扩充成8,1,3,6 ,增加 9 可使得其次段扩充成2,7,9 ,但新的三段也不能连接,仍需增加新数,即n10 ,而之前的数如与 8,9,10 邻接,只有 819,9716, 10616 ,这三段扩充为8,1,3,6,10 , 2,7,9 , 4,5 ,仍旧不能连接,应当借助新的平方数25 ,从 1到 10 这 10 个数能搭配成和为25 的最

11、小数是 15 ,就 n15 ,而当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M1,2,15时,可排出上面的情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9 二、解答题（共 64 分）x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Y9、（ 14分）如图, CD 是椭圆a 2b21 的一条直径,N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D过椭圆长轴的左顶点A作 CD 的平行线,交椭圆于另一点 N ,交椭圆短轴所在直线于M ,M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： AMANCO C

12、D AOBX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 1：椭圆方程为xa cos, yb sin,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A, N 的坐标为 Aa,0,N a cos, b sin ,就直线 AN 方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xat cosyt sin, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入椭圆方程得到b2 cos2a 2 sin 2t22ab 2t cos0 ,可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ANt2ab2 cos2222, AMa , 6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b cosa sincos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 AMAN2a 2b 22222, 9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b cosa sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又据 AN CD ,就点C, D 坐标为： COD cos ,OD sin ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D OD cos , OD sin , 12由于

14、C, D 在椭圆上,就CO2a b22,而,b cos22a sin22CO CD2 CO22a b22b cos22a sin22,因此 AMANCO CD 14证 2：易知 CD 的斜率 k 存在,不妨令 CD : ykx ,与椭圆方程联系,解得Cabkababkabb2a k22,b2a k2、D2b2a k22,b2a k22 3CO1b2k2a b22a2k 2, CD4 1b2k2a b22a2 k2COCD2 1k 2a2b2b2a2 k 2 6 AN 方程为： ykxa ,M0,ka .将 AN 方程与椭圆方程联立,得b2a2k 2x22a3k2 xk 2 a2a 2b2xAx

15、N2a3k 2ab2a 3k 2b2a k22 ,x Nb2a k22 9 y2 kab2Nb2a k22,AMa 1k 2 12ANab2b 2a 3k 2a 2 k22a4k 2 a2b422ab 2b 21k2,b2a k22a2 k 2,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2b2 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AMANb2a2k 2COCD 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 、（51明：分）如图,D 是 ABC的旁心,点 A关于直线 DC 的对称点为 E 证可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 、B,C, E 三点共线. 2 、A, B, D , E 四点共圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCED证： 1、延长 DC 到 M ,延长 AC 到 N ,连 CE ,D 为旁心,CD 平分BCN , 2又 A、E 关于 DC 对称,CM 平分ACEDCNACM ,BCDMCEBCNACE,B、 C 、 E 三点共线.5 2、过 C 作 CI / AE 交 AD 于 I ,就 ICDC 7 I 为 ABC 内心.连 BI ,就 BI 平分ABC , 10IBD90 ,B、 D 、 C

17、 、 I 四点共圆, 12CBDCIDEAD ,A、 B 、 D 、 E 四点共圆. 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、（ 15 分）设x, y, z为正数,中意：xyyzzx1 ,证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz xy yz xz1x2 1y2 1-z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：据条件,即要证xyzx+y+z-xyz2y 1x 121-z 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品_精品资料_也即 xyzx+y+z1-x 2y2z2x2 y2y2 z2x2 z2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将此式各项齐次化,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 xyyzxz2x2 y2y2 z2x2 z22 xyz xyz 6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2z2 x2y 2z2 xyyzxz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 yzy3 xzz3 xyxyz xyz 代入,可编辑资料 - - - 欢迎下

19、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只要证xyzxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 x yy zx z x yzy xzz xyxyz xyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x3 yzy3 xzz3 xy2 x2 y 2y 2z2x z 0 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也即 xy xy 2yz yz2xzxz20 .可编辑资料 - -

20、- 欢迎下载精品_精品资料_此为明显,故命题得证15证 2：由题设得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y xz1zx, x yz1yz, z xy1xy,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三式相乘,故原不等式等价于证明：2221zx1yz1xy1x1y1z 3上式两边开放并化简得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2z2xyyzzx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 y2y2 z2z2 x2x2 yzxy 2zxyz2 6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方得：

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222xyyzzx2xyxz2yzxy2yzzx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2yz 2y2zx 2z2xy22 9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 1z2xy1x2yz1 y22zx0 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x, y, z1,1x20,1y20,1z20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显成立 . 15可编辑资料

22、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 、（ 20 分）设集合 A1,2,2022,对于 A的任一个 1008元子集 X ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如存在x, yX ,中意xy, x y ,就称 X 为“好集”,求最大的正整数 a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ aA ）,使得任一个含 a 的 1008元子集皆为“好集” 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：因任何正整数n 可以表为 n2 t 形式,其中N , t 为正奇数,于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是集合

23、A 可划分为以下 1008个子集：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ajm m22 j1,N ,1m2022 , j1,2,1008 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于集合 A的任一个 1008元子集 X ,只要集 X 中含有某一个Aj 中的至少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个元素x, y, xy ,因 x2k1 2 j1, y2k2 2 j1) ,k1k2 ,就 x y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 X 为好集.以下证

24、明正整数 a 的最大值为 671： 8 如 a671时,对于 A 的任一个 1008 元子集 X ,假如 X 中含有某个 Aj 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的至少两个元素,就X 便是好集.假如Aj中的 1008个集合,每个集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中恰有一个元素在X 中,那么A1007 也有一个元素在 X 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但 A10072022为 单 元 素 集 , 于 是 2022X, 而a 2022 ,可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 202267133a ,这说明 X 仍是好集,因此 a671合于要求12下面说明当 a672 时,存在含 a 的集 X 不是好集.分两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 、 如 a1009 , 取 1008 元 集X 01009,1010, 201,6 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aX 0 ,因 X 0 中任两个不同元素xy ,均有 xy ,故 X 0 不为好集,这种 a 不合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要求 152 、如 672a1008,记X1672j j0,1,336 ,可编辑资

26、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X 2X 02672j j0,1,336,令 XX 1X 2 ,就 X1008,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 aX1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 X 中存在xy,x y ,因 x672 , y2022 ,就 y3x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x672 ,假如x y, xy ,只有 y2 x 或者 y3 x ,此时 y 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值 只 能 是 ： y26721344, 或 者 y36722022. 由 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_134426720, 20222672336 ,这说明, 这两个数已被挖去, 不在集合 X 中. 18如 x672 ,假如 x y ,只有 y2x ,这种数 y 也已悉数被挖去,即yX ,因此 X 不是好集,这种 a 也不合要求 综上所述, a 的最大值为 671 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载