2022年函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组 一 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特别的对称性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0, 0）对称,奇函数有关系式f xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称, 偶函数有关系式2 、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x 关于 xa 对称f axf ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f axf ax 也可以写成f xf 2ax或f xf 2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 写 成 ：f axf bx, 就 函 数yf x关 于 直 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaxbx 2ab对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 明 ： 设

3、点 x1,y1 在 yf x上 , 通 过f xf 2ax可 知 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1f x1 f 2ax1 ,即点2ax1 , y1 也在 yf x 上,而点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 , y1 与点 2ax1 , y1 关于 x=a 对称.得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：关于 xa 对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ax1 , y1 与ax1,y1 关于

4、 xa 对称,函数yf x 关于 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f axf ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 ,y1 与2ax1,y1 关于 xa 对称,函数yf x 关于 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 , y1 与2ax1 , y1关于 xa 对称,函数yf x 关于 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x（ 2）函数的点对称：f 2ax可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x 关于点 a, b 对称f axf ax2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述关系也可以写成f 2ax f x2b或f 2 ax f x 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如写成：f axf bxc ,函数 yf x 关于点 ab , c 对称22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -

6、- - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设点x1 , y1 在 yf x 上,即 y1f x1 ,通过f 2 axf x2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可知,f 2 ax1 f x1 2b ,所以f 2ax1 2bf x1 2by1 ,所以点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品_精品资料_ 2ax1 ,2by1 也在 yf x 上,而点2ax1 ,2by1 与 x1 , y1 关于 a,b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得证.说 明 :关 于 点a ,b对 称 要 求 横 坐 标 之 和 为 2a , 纵 坐 标 之 和 为 2b , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ax与（ ax之和为2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）函数 yf x 关于点 yb 对称: 假设函数关于 yb 对称,即关于任一个x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

8、_值,都有两个 y 值与其对应, 明显这不符合函数的定义,故函数自身不行能关于yb 对称.但在曲线cx,y=0,就有可能会显现关于yb 对称,比如圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c x, yx 2y 240 它会关于 y=0 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 y fgx为偶函数,就 fgx fgx.复合函数 yfgx为奇函数,就 fgx fgx.性质 2、复合函数 y fx a 为偶函数,就 fx a f xa . 复合函数 yfx a 为奇函数,就 f xa fa x .性质 3、复合函数 y fx

9、 a 为偶函数,就 yfx关于直线 x a 轴对称.复合函数 yfx a 为奇函数,就 yfx关于点 a,0中心对称.总结： x 的系数一个为 1,一个为 -1 ,相加除以 2,可得对称轴方程总结： x 的系数一个为 1,一个为 -1 ,fx整理成两边,其中一个的系数是为1, 另一个为 -1 ,存在对称中心.总结： x 的系数同为为 1,具有周期性. 二 、两个函数的图象对称性1、 yf x 与 yf x 关于 X 轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 明： 设yf x上 任一 点为x1,y1就 y1f x1, 所以yf x经 过 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

10、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 ,y1 x1 , y1与 x1 ,y1 关于 X 轴对称, y1f x1 与yf x 关于 X轴对称 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：换种说法：yf x 与yg xf x如满意f xg x,即它们关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

11、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0 对称.2、 yf x 与yf x 关于 Y 轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设yf x 上任一点为x1,y1 就 y1f x1 ,所以yf x 经过点 x1,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 , y1 与 x1 , y1 关于 Y 轴对称,yf x与 yf x 关于 Y 轴对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

12、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称.注：由于 x1, y1 代入yf x 得 y1f x1 f x1 所以yf x 经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 , y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换种说法：yf x 与yg xf x如满意f xg x ,即它们关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xf xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 yf x 与 yf 2 ax 关于直线 xa 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、证明：设yf x上任一点为 x1 ,y1 就 y1f x1 ,所以yf 2 ax经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ax1,y1 x1 , y1与 2 ax1 , y1 关于 xa 轴对称,yf x 与yf 2 ax 关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于直线 xa 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：换种说法：yf x 与yg xf 2 ax如满意f xg 2ax ,即它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于 xa 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4

14、、 yf x 与 y2af x 关于直线 ya 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设yf x上任一点为 x1 , y1 就 y1f x1 ,所以y2af x 经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 , 2ay1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1, y1 与 x1 , 2ay1 关于 ya 轴对称 , yf x 与 y2af x 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：换种说法：yf x 与 yg x2

15、af x 如满意f xg x2a ,即它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于 ya 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 yf x与y2bf 2ax 关于点 a,b对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设yf x 上任一点为 x1 , y1 就 y1f x1 ,所以 y2bf2 ax 经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ax1, 2by1 x1 , y1 与2 ax1, 2by1 关于点 a,b对称, yf x 与y

16、2bf 2ax 关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于点a,b对称.注：换种说法： yf x 与yg x2bf2 ax 如满意f xg 2 ax2b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即它们关于点 a,b对称.可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_g 2ax2bf2 a2 ax2bf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 yf ax 与yf xb 关于直线 xab对称.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设yf x上任一点为x1,y1 就 y1f x1 ,所以yf ax经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ax1 , y1 ,yf bx经 过点bx1, y1 , ax1,y1 与 bx1 , y1 关于 直 线可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xab 2对称,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf ax 与yf xb 关于直线 xab对称.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、总规律：定义在上的函数yfx,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,就第三条肯定存在.一、同一函数的周期性、对称性问题 即函数自身 一 、函数的周期性：对于函数yf x ,假如存在一个不为零的常数T,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x取定义域内的每一个

19、值时,都有f xT f x都成立,那么就把函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.假如全部的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.1、周期性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）函数 yf x 满意如下关系式,就f x的周期为 2T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 f xT f xB 、 f xT1f x或f xT 1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

20、料_C 、 f xT 21f x或1f xTf x21f x1f x（等式右边加负号亦成立）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 、其他情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）函数 yf x 满意f axf ax 且f bxf bx ,就可推出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 2axf b 2axbf b2axbf x2ba 即可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到 yf x 的周期为 2b-a ,即可以得到“假如函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,就函数肯定是周期

21、函数”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）假如奇函数满意f xT f x 就可以推出其周期是2T,且可以推出对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴为 xT2kT k2z ,依据f xf x2T 可以找出其对称中心为可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品_精品资料_kT,0 kz （以上 T0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如偶函数满意f xT f x 就亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 T2kT ,0k 2z, 根 据f xf x2T 可 以 推 出 对 称 轴 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xT2kT kz（以上 T0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）假如奇函数 yf x 满意f Txf Tx （ T0 ）,就函数 yf x 是可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 4T 为周期的周期性函数.假如偶函数yf x 满意f Txf Tx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ T0 ）,就函数 yf x 是以 2T 为周期的周期性函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1：如函数 fx在 R上满意f ax fax,且 f bx fbx （其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中 ab）,就函数 yfx以2 ab 为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品_精品资料_定理 2：如函数 fx在 R上满意f ax fax,且 f bx fbx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其中 ab）,就函数 yfx以 2 ab 为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 3：如函数 fx在 R 上满意f ax fax, 且 f bx fbx （其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中 ab）,就函数 yfx以4 ab为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下

25、载精品_精品资料_定理 4：如函数 fx的图像关于直线x=a 和 x=b 都对称,就 fx是周期函数, 2（ b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）.定理 5：如函数 fx的图像关于点（ a,c ）和b,c都成中心对称,就fx是周期函数, 2（ b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）.定理 6：如函数 fx关于点（ a,c ）和 x=b 都对称,就 fx是周期, 4（ b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）.定理 7：如函数 fx满意 fx-a=fx+aa0,就 fx是周期函数,2a 是它的一个周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - -

26、- - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理8：如函数fx满意fx+a=-fxa0或 fx+a=1或f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx+a=1f x 就 fx周期函数, 2a 是它的一个周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 9：如函数f xa1f x f1f x x1, a0 , 就 fx是周期函数, 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是它的一个周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 fx满意f xa 1 1f x f xf x1, a0 , 就 fx是周期函数, 2a 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它的一个周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载