2022年函数的单调性”教学设计.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的单调性”教学设计南京师大附中陶维林一、内容和内容解析函数的单调性是争论当自变量x 不断增大时, 它的函数y 增大仍是减小的性质如函数单调增表现为“随着x 增大, y 也增大”这一特点与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是争论 x 成为相反数时,y 是否也成为相反数,即函数的对称性质函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不肯定具有这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质函数单调性的争论方法也具有典型意义,表达了对函数争论的一般方法这就是, 加强 “

2、数” 与“形” 的结合, 由直观到抽象.由特殊到一般 第一借助对函数图象的观看、分析、归纳,发觉函数的增、减变化的直观特点,进一步量化,发觉增、减变化数字特点,从而进一步用数学符号刻画函数单调性的概念是争论详细函数单调性的依据,在争论函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）.在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的争论中也有重要的应用（外部）可见,不论在函数内部仍是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心位置教学的重点是,引导同学对函数在区间（a,b）上“随着 x 增大, y 也增大（或减小）”这一特点进行抽象的符号描述：在区间（a, b）上任意取

3、x1, x2,当 x1 x2 时,有f（ x2）f（ x1）（或 f（ x2） f（ x1）,就称函数f（x）在区间（ a, b）上单调增（或单调减）二、目标和目标解析本节课要求同学懂得函数在某区间上单调的意义,把握用函数单调性的定义证明简洁函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）1能够以详细的例子说明某函数在某区间上是增函数仍是减函数.2能够举例,并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性,而在整个定义域上未必具有单调性,说明函数的单调性是函数的局部性质.3对于一个详细的函数,能够用单调性的定义,证明它是增函数仍是减函数：在区间上任意取x1, x2,设 x1 x2,作差 f

4、（x2）f（ x1）,然后判定这个差的正、负,从而证明函数在该区间上是增函数仍是减函数三、教学问题诊断分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -同学已有的认知基础是,中学学习过函数的概念,初步熟悉到函数是一个刻画某些运动 变化数量关系的数学概念.进入高中以后, 又进一步学习了函数的概念,熟悉到函数是两个数集之间的一种对应同学仍明白函数有三种表示方

5、法,特殊是可以借助图象对函数特点加 以直观考察此外,仍学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简洁而详细的函数,明白它们的图象及性质特殊值得留意的是,同学有利用函数性质进行两个数大小比较的体会“图象是上升的,函数是单调增的.图象是下降的,函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特点同学并不感到困难困难在于, 把详细的、 直观形象的函数单调性的特点抽象出来,用数学的符号语言描述即把某区间上“随着x 的增大, y 也增大”（单调增）这一特点用该区间上“任意的x1 x2,有 f（ x1） f（ x2）”（单调增）进行刻画其中最难懂得的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1, x2教

6、学中, 通过二次函数这个详细函数的图象及数值变化特点的争论,得到“图象是上升的”,相应的,即“随着x 的增大, y 也增大”,初步提出单调增的说法通过争论、沟通,让同学尝试,就一般情形进行刻画,提出“在某区间上,假如对于任意的x1 x2 有 f（ x1）f（ x2）”就函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着 x 的增大, y 也增大” 的特点 进一步给出函数单调性的定义然后通过辨析、练习等帮忙同学懂得这一概念妄想在一节课中完成同学对函数单调性的真正懂得可能是不现实的 在今后, 同学通过判定函数的单调性, 查找函数的单调区间, 运用函数的单调性解决详细问题, 等一系列学习活动可以逐步懂得这个

7、概念四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标,条件许可, 可以借助运算机或者运算器绘制函数图象,同时辅以坐标运算、跟踪点以及等手段观看函数的数字变化特点五、教学基本流程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -六、教学过程设计1用好节前语,引出课题函数是描述事物运动变化规律的数学模型 假如明白了函数的变化规律, 那么也就把握了相应事物的变化规律, 因

8、此争论函数的性质非常必要 在事物变化过程, 保持不变的特点就是这个事物的性质问题 1 观看图1 中各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？图 1设计意图： 从形到数,借助对函数图象的观看,想象相应的函数的性质引导单调函数的“直观定义”可能的回答是,第一个图中的函数图象,自左而右是上升的.其次个图中的函数图象,自左而右, 有时是上升的有时是下降的.第三个图中的函数图象,自左而右也是有时上升有时下降的,而且是关于y 轴对称的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - -

9、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -师：对于运动变化问题,最基本的就是描述变化的快与慢、增与减, 相应的,函数的特点就包含：函数的增与减,我们把函数的这种性质称为“单调性”老师结合上述直观熟悉,写出课题：函数的单调性2函数单调性的“直观定义”结合上述直观熟悉,给出单调函数的“直观定义”：设函数的定义域为I ,区间 DI 在区间D 上,如函数的图像（从左至右看）总是上 升的,就称函数在区间D 上是增函数,区间D 称为函数的单调增区间.在区间D 上,如函数的图像（从左至右看）总是下降的,就称函数在

10、区间D 上是减函数,区间D 称为函数的单调减区间例 1 （教科书第29 页例 1）图 2 是定义在区间 5, 5 上的函数yf（x）的图象,根 据函数图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上,它是增函数仍是减函数？设计意图：用“直观定义”判定单调性,并强调单调性的“局部性”图 23函数单调性的“描述性定义”仅从图象上观看出函数的性质,只是得到了“定性刻画”,对函数的变化情形只是“大致明白”,明显不够,我们期望“量化”,这样才能精确老师借助几何画板作出函数y x2 的图像, 并在函数y x2 的图像上任画一点P,测量出其横坐标与纵坐标,制作表格拖动点P,表格自动增行问题 2依据函数的定义,

11、对于自变量x 的每一个确定的值,变量y 有唯独确定的值与它对应那么,当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候,相应的,自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的了？设计意图： 对函数的单调性的刻画,从图形的刻画过渡到数量关系,即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由上面的表格可见,点P 的纵坐标（即函

12、数值）y 的变化规律：在区间（,0上,随着自变量x 增大,函数值y 削减.在区间0,）上,随着自变量x 增大,函数值y也增大由此得到单调函数的“描述性定义”：设函数的定义域为 I ,区间 D I 在区间 D 上,如随着自变量 x 增大,函数值 y 也增大,就称函数在区间 D 上是增函数.在区间 D 上,如随着自变量 x 增大,函数值 y 反而减小,就称函数在区间 D 上是减函数4从“定性定义”过渡到“定量定义”虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语言的表述,但这样的描述仍不是“量化” 的,所以,要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系这是本课的重点,也是难点所在从上面的结论,可以

13、看到,函数在区间D 上是增函数,那么随着自变量x 增大,函数值 y 也增大问题 3假如对于区间（a,b）上的任意x 有 f（ x） f（ a）,就函数f（ x）在区间（ a, b）上单调增这个说法对吗？请你说明理由（举例或者画图）设计意图： 连续妄想通过对描述性定义的辨析,逐步引出定量定义必需是两个变化的量的比较问题 4函数 f（ x）在区间（ a,b）上有很多个自变量x,使得当 a x1 x2, , b 时,有 f（ a） f（ x1） f（ x2） , ,f（ b）,能不能说明它在（a,b）单调增？请你说明理由（举例或者画图）设计意图： 本问题较为贴近描述性定义, 但这是对描述性定义的误会

14、 通过对函数描述性定义的辨析, 逐步使得同学们熟悉到要使函数 f（ x）在区间 （ a,b）上具有单调增的特点, 必需答应自变量 x 在区间（ a,b）上“任意取”,且只要“取两个”就够了也给同学使用符号说明单调性以示范或提示从上面的争论可以看到,函数f（ x）在区间（ a, b）对任意 x 有 f（ x） f（ a）,也不能说明它在 （a,b）单调增. 在区间 （ a,b）上有很多个自变量x,使得当 a x1 x2, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑

15、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -b 时,有 f（a） f（ x1） f（ x2） , ,f（ b）也不能说明它在（a, b）单调增那么自变量 x 在区间（ a,b）上究竟该怎样取值好了？我们再来看一看详细的函数f（ x） x2老师利用几何画板演示：在函数f （x） x2 的图象上,位于区间0,）任选两个点,自变量大的函数值也肯定大并提出问题 5在函数 f（ x） x2,x0,）的图象上任意取两点,自变量大的函数值也肯定大,能否说明函数f（ x） x2 在0,）上单调增？设计意图： 由问题 4 可见, 刻画函数单

16、调性不在于所取自变量个数的多少,关键在于是否能够任意取值,而且必需任意取两个这个问题的答案是明显的老师立刻提出“怎样用符号来表示？”的问题 引导同学获得“只要任意x1 x2,有 f（ x1） f（ x2）”即可经过谈论,获得共识函数单调性的定义一般的,设函数f（ x）的定义域为I假如对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个 自变量的值x1, x2,当 x1 x2 时,都有f（ x1） f（ x2）,那么就说函数f（ x）在区间D 上是增函数.对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1 x2 时,都有 f（x 1） f （x2 ）,那么就说函数f（ x）在区间D

17、上是减函数这个定义中的关键词是什么了？是“任意”二字5单调性定义的应用（课堂练习）练习 1画出反比例函数f（ x）的图象,并回答以下问题：（ 1）指出这个函数的单调性.（ 2）是否可以说“这个函数在定义域I 上是单调减？”为什么？设计意图：通过详细问题,使同学熟悉函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质,是函数的局部性质（在整体上未必有）进一步熟悉“任意”二字的意义,加深对函数单调性的熟悉可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答：（ 1）函数 f（x）在区间 （, 0）上单调减, 在区间（ 0,） 上也单调减 （图象略）（ 2）这个函数的定义域I（, 0）（ 0,）不能说“这个函数在定义域I上是单调减” 事实上, 取 x1 1,x2 1,而 f（ 1） 1,f（1）1,f（ 1） f（ 1）练习 2物理学中的波利尔定律p（ k 是正常数）告知我们,对于肯定量的气体,当体积 V 减小,压强p 将增大试用函数的单调性证明之（教科书第29 页例 2）设计意图： 函数单调性概念的应用逐步把握利用单调性定义证明一个函数在某区间上具有某种单调

19、性的步骤加深对函数单调性的懂得分析怎样来证明“体积V 减小,压强p 将增大”了,依据函数单调性的定义,只要证明函数 p（ k 是正常数）是减函数怎样证明函数p（ k 是正常数）是减函数了,只要在区间（ 0, ）（由于体积V 0）任意取两个大小不相等的值,证明较小的值对应的函数 值较大,即设 V1V2,去证明p1 p2也就是只要证明p1 p2 0证明：设 V1 V2 ,V1, V2（ 0, +）p1 p2由于 k 是正常数, V1 V2,所以 0,p1p2 所以,体积V 减小,压强p 将增大 6课堂小结这节课,我们学习了“函数的单调性”,“假如函数在区间（a,b）单调减,那么这个函数有什么特点？

20、”设计意图：妄想明确,f（ x）在区间 D 上是减函数f（ x）的图像在区间D 上是下降的在区间 D 上自变量增大函数值减小类似的,f（ x）在区间D 上是增函数f（ x）的图像在区间D 上是上升的在区间 D 上自变量增大函数值也增大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -老师总结争论问题的过程（突出思想方法） “图形直观定性刻画定量刻画”, 最终用不等式,即“大小比较”的方法刻画一种变化规律,描述一个变化过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载