2022年初三二次函数知识点总结及相关典型题归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_二次函数学问点归纳及相关典型题第一部分 基础学问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定义：一般的,假如yax 2bxc a,b, c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 二次函数 yax 2 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）抛物线 yax的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

2、（ 2）函数 yax 2 的图像与 a 的符号关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点.20 时抛物线开口向下顶点为其最高点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax （a0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 二次函数yax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 二次函数 yax 2bxc 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式,其中hb4 acb 2, k.2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式： yax 2 . yax 2k . ya xh 2 . ya xh 2k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yax2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 抛物线的三

4、要素：开口方向、对称轴、顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时,开口向上.当a0时,开口向下.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊的, y 轴记作直线 x0.7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, 只是顶点的位置不同 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法22b4acbb4acb 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_（ 1）公式法： yax2bxca x2a,顶点是（4a,2a4a）,对称轴是直线 x.2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xh .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对

6、称性进行验证,才能做到万无一失.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 抛物线 yax 2bxc 中,a,b, c 的作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax 2 中的 a 完全一样 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

7、_x,故： b0 时,对称轴为 y 轴.0 （即 a 、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧.0（即 a 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2aaab 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

8、 c0 ,抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴. c0 , 与 y 轴交于负半轴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2yax 2kx0（ y 轴）（ 0,0 ）x0（ y 轴）0,k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya xh 2ya xh 2k当 a0 时xh开口向上xh h ,0 h ,

9、k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2bxc当 a0 时bxb4 acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开口向下2a,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 用待定系数法求二次函数的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1、x2 ,通常选用交点式：ya xx1xx2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 直线与抛物线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） y 轴与抛物线 yax2bxc 得交点为 0,c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）与 y 轴平行的直线xh 与抛物线 yax 2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3

11、）抛物线与 x 轴的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、 x ,是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交.有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切.没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k

12、 ,就横可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5 ） 一 次 函 数 ykxn k0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 yax2bxc a0 的 图 像 G 的 交 点 , 由 方 程 组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxnyax 2bx的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 与

13、G 只有一个交点.方程组无解时l 与 G 没有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与 x 轴两交点为A x ,0 , Bx ,0,由于x 、 x 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 ax 2x1x2bxcb, x1a0 的两个根,故cx2a2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABx1x2x1x2x1x24x1 x2b4caab4acaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次部分 典型习题2 . 抛物

14、线 y x 2x 2 的顶点坐标是（ D）A.（ 2, 2）B.（ 1, 2）C.（ 1, 3）D.（ 1, 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 已知二次函数yax2bxc 的图象如下列图,就以下结论正确选项（C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab 0, c 0 ab0, c 0 ab0, c 0 ab 0, c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 , 题图第 4 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 二次函数y ax2 bx c 的图象如下列图,就以下结论正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

15、A a 0, b 0, c0B a 0, b 0,c 0C a 0, b 0, c0D a 0, b 0,c 0 . 如图,已知中, BC=8,BC上的高, D为 BC上一点,交 AB 于点 E,交 AC于点 F（ EF 不过 A、B）,设 E 到 BC的距离为,就的面积关于的函数的图象大致为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EF4xEF82 x,yx24 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212 . 抛物线 yx22 x3 与 x 轴分别交于 A、B 两点,就 AB 的长为 4可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知二次函数y kx22k 1 x1 与 x 轴交点的横坐标为x 、 x （x x）,就对于以下结论：当x 2 时, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.当xx2时, y 0.方程kx22 k1 x10 有两个不相等的实数根x1、x2 .x11 , x21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 4k 2x2 x1,其中全部正确的结论是（只需填写序号） k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知直线 y2 xb b0 与

17、x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B.一抛物线的解析式为yx 2b10 xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如该抛物线过点B,且它的顶点 P 在直线y2 xb 上,试确定这条抛物线的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C,如抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2 xb 的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1） yx

18、210 或 yx 24 x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b10b 216b100b10b 216b100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将（0,b 代入,得 cb . 顶点坐标为, ,由题意得2b,2424可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 b110,b26 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） y2x28. 有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为 y ,且 y 是 x 的二次函数,已知输入值为2 ,0, 1 时,相应的

19、输出值分别为 5,3,4 （ 1）求此二次函数的解析式.（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并依据图象写出当输出值y为正数时输入值 x 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2 2就 a 02abb 2b 0cc 4c53, 即c32ababa14 , 解得b21c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的解析式为 : yx 22x3 .可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 函数图象如下列图.由图象可得,当输出值y 为正数时,输入值 x 的取值范畴是x1 或 x3 9. 某生物爱好小组在四天的试验争论中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情形相同 他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情形绘制成下图请依据图象回答：第一天中,在什么时间范畴内这头骆驼的体温是上升的. 它的体温从最低上升到最高需要多少时间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三天 12 时这头骆驼的体温是多少.爱好小组又在争论中发觉,图中 10 时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式解：第一天中,从

21、4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是39第 9 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1 x 2162 x24 10x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知抛物线 yax2 43ax 34 与 x 轴交于 A、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B两点,与 y 轴交于点 C是否存在实数 a,使得- 5 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC为直角三角形如存在,恳求出a 的值.如不存在,请说明理由解：依

22、题意,得点C 的坐标为（ 0, 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 A、 B的坐标分别为（x1 , 0）,（x2, 0）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 ax2 43a x430 ,解得x143 , x23a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A、B 的坐标分别为（ -3 , 0）,（4, 0）3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB|BC243 |, AC3a22BOOC| 4216AO242|3aOC 25 ,244168可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

23、AB|3 |3a9a22393a9 ,9a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC 225 ,BC 21629a 216 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当AB2AC 2BC 时, ACB 90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 AB 2AC 2BC 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 169 a28925a1 169a 216 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得当

24、 aa41时,点 B 的坐标为（2416 , 0）,3AB26259, AC 225 ,BC 24009可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 AB 2AC 2BC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, ABC为直角三角形4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当AC 2AB 2BC 2 时, ABC 90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由

25、AC 2AB 2BC 2 ,得 25169a 2816a9 9a 216 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4解得a9444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a时,93a3493 ,点 B（-3 , 0）与点 A 重合,不合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当BC 2AC 2AB 2 时, BAC 90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 BC 2AC 2AB 2 ,得169a 21625 169a 289 a可编辑资料 - - - 欢

26、迎下载精品_精品资料_解得a4不合题意9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综合、,当 a1时, ABC为直角三角形4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 已知抛物线 y x 2 mx m 2.（ 1）如抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧,并且AB 5 ,试求 m的值.（ 2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点, 如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于 27,试求 m的值 .解: 1（ x1 , 0） ,Bx2 ,0 .就 x1 , x2 是方程 x2 mxm 2 0 的两根 . x 1 x2 m , x 1x2 =m 2 0

27、 即 m2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 AB x 1 x2（x +x ） 4 x x5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m2 4m 3=0 .121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： m=1或 m=3舍去 , m的值为 1 .yC（2） Ma,b ,就 N a, b .M、N 是抛物线上的两点,2M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2amam2 amam2b,xb.ON可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： 2a2 2m4 0 . a2 m 2 .当 m 2 时,才存在满意条件中的两点M、N. a

28、2m .这时 M、 N到 y 轴的距离均为2m ,又点 C 坐标为（ 0, 2 m） , 而 S M N C = 27 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 12（ 2 m）2m =27 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m= 7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 已知：抛物线y ax 24ax t与 x 轴的一个交点为A（ 1,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标.（ 2）D 是抛物线与 y 轴的交点, C是抛物线上的一点, 且以 AB为一底的梯形 ABCD的面积

29、为 9,求此抛物线的解析式.（ 3）E 是其次象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点, 假如点E 在（ 2）中的抛物线上, 且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧, 问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 APE的周长最小 . 如存在,求出点 P 的坐标.如不存在,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：（1） 依题意,抛物线的对称轴为x 2抛物线与 x 轴的一个交点为 A（ 1, 0）,由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点 B 的坐标为（ 3,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 抛物线y ax24 ax t 与 x 轴的

30、一个交点为 A（ 1, 0 ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 2 4a 1 t0 t3ay ax2 4ax3a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ D （ 0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C 在抛物线y ax24ax3a上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ C （ 4, 3a） AB 2, CD 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 梯形 ABCD的面积为 9, a 11 AB2CD OD9 1 24 3a 9 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

31、所求抛物线的解析式为y x24 x3 或 y x24ax3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 设点 E 坐标为（x0 ,y0 ） . 依题意,x00 ,y00 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y05且 x02y05x0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 E 在抛物线yx24 x3 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y x24 x 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

32、精品资料_0005y0x0,x016, x0 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组2y x24x 3得y015.y 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧,点 E 坐标为（1 , 5 ）24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设在抛物线的对称轴x 2 上存在一点 P,使 APE的周长最小 AE 长为定值,要使 APE的周长最小,只须PAPE最小 点 A 关于对称轴 x 2 的对称点是 B（ 3, 0）, 由几何学问可知,P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设过点 E、B 的直线的解析式为y mx n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15m 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mn ,243m n0.解得2n 3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 直线 BE的解析式为 点 P 坐标为（ 2,y 121 ）x22x 3 把 x 2 代入上式,得2y 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 E 在抛物线y 2y x5 x