2022年函数奇偶性的归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_函数的奇偶性的归纳总结考纲要求： 明白函数的奇偶性的概念,把握判定一些简洁函数的奇偶性的方法.教学目标： 1、懂得函数奇偶性的概念.2 、把握判定函数的奇偶性的类型和方法.3 、把握函数的奇偶性应用的类型和方法.4 、培育同学观看和归纳的才能,培育同学勇于探究创新的精神.教学重点： 1、懂得奇偶函数的定义.2 、把握判定函数的奇偶性的类型和方法,并探究其中简洁的规律.教学难点： 1、对奇偶性定义的懂得.2 、较复杂函数奇偶性的判定及函数奇偶性的某些应用.教学过程：一、学问要点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、函数奇偶性的概念 一般的,对于函数f x,假如对于

2、函数定义域内任意一个x ,都有 f xf x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么函数f x就叫做偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,对于函数f x,假如对于函数定义域内任意一个x ,都有 f xf x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么函数f x就叫做奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_懂得：(1) 奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的.这两个概念的区分之一就是,奇偶性是一个“整体 ”性质,单调性是一个“局部 ”性质.(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.2、按

3、奇偶性分类,函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数图象关于原点成中心对称的函数,偶函数图象关于 y 轴对称的函数.4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数, 其定义域关于原点对称 （也就是说, 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.常用的结论：如fx是奇函数,且 x 在 0 处有定义,就 f0 0.奇函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性完全相同, 最值相反. 奇函数 fx 在区间 a,b0 ab上单调递增（减） ,就 fx 在区间 b, a上也是单调递增（

4、减） . 偶函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性恰恰相反, 最值相同. 偶函数fx 在区间 a,b（ 0 ab）上单调递增（减） ,就 fx 在区间 b, a上单调递减（增）任意定义在R 上的函数 fx都可以唯独的表示成一个奇函数与一个偶函数的和.如函数 gx, fx, fgx 的定义域都是关于原点对称的,就u=gx,y=fu 都是奇函数时, y=fgx 是奇函数. u=gx, y=fu都是偶函数,或者一奇一偶时,y= fgx 是偶函数.复合函数的奇偶性特点是： “ 内偶就偶,内奇同外 ” .5、判定函数奇偶性的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、定义法：对于函

5、数f x的定义域内任意一个x,都有 fxf x 或 fx1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 fxfx0 函数 f （ x）是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于函数f x 的定义域内任意一个x,都有 fxf x 或 fx1 或f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxf x0函数 f （ x）是奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定函数奇偶性的步骤：、判肯定义域是否关于原点对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、比较f x 与f x的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、扣定

6、义,下结论.、图象法： 图象关于原点成中心对称的函数是奇函数.图象关于y 轴对称的函数是偶函数.,、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数 +奇函数 =奇函数.偶函数 +偶函数 =偶函数.奇函数奇函数=偶函数.奇函数偶函数=奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x为偶函数,就f xf xf | x | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、典例分析1、给出函数解析式判定其奇偶性：分析：判定函数的奇偶性,先要求定义域,定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数, 如定义域关于原点对称,再看f x与 fx的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

7、料_【例 1】 判定以下函数的奇偶性：1 .f xx 22 x1 ;2 .x22x3f x, xx0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f x 函数的定义域是 , ,xx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx22 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx 22x1x 22 x1f x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx22 x1 为偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（法 2图象法）：画出函数f xx 22 x1 的图象如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由函数f xx 22 x1 的图象可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx22 x1 为偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：解答题要用定义法判定函数的奇偶性,挑选题、填空题可用图象法判定函数的奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.解：由 xx30 ,得 x , 3 3 ,+.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数.【例 2】 判定以下函数的奇偶性：4x 231x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 .f x; 2 .f

9、x3sin2x;3.f x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x332x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x解： 1 . 由0,解得2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x330x0 且 x64x 24x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域为 2x 0 或 0 x2,就f x; .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x4x24x2x33xf x ; .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x xx4x 2为奇函数 .x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明 ：对于 给出

10、函数解析式较复杂时, 要在函数的定义域不变情形下,先将函数解析式变形化简,然后再进行判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 函数f x3sin 322 x定义域为 R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x3sin 322 x3cos2 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x3cos2x3cos2 xf3 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数f x3sin2 x 2为偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3. 由 x 20,解得100x0, 函数定义域为x1xR x0, x1 ,可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x1x110 , f x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xf x 且 f xf x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f x220 既是奇函数又是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 判定以下函数的奇偶性：x1x , x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.f xlog xx 2

12、1 . 2.f x0 , x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.5x1x , x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1.定义域为 R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xf xlogx2x 21log xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.50.5log x 21x log10 , f x= fx,所以 fx 为奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.50.5说明 ：给出函数解析式判定其奇偶性, 一般是直接找f x 与f x 关系,但当直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_接找 f x

13、 与f x 关系困难时, 可用定义的变形式： fxf x0函数 f（x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是偶函数. fxf x0函数 f （x）是奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 函数的定义域为 R,当 x0 时,x0 ,f x当 x0 时,x0 ,f x0当 x0 时,x0 ,f xx 1xx1xf x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x ;x 1xx1xf x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上可知,对于任意的实数x,都有 f xf x ,所以函数f x为奇函

14、数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：分段 函数判定奇偶性,必分 段来判定,只有各 段为同一结果时 函数才有奇偶性. 分段函数判定奇偶性,也可用图象法.2、抽象函数判定其奇偶性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】 已知函数f x xR 且 x0 , 对任意的非零实数x1 ,x2 , 恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x 2 f x1 f x 2 , 判定函数f x xR 且 x0 的奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数的定义域为 , 00 , ,可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x1x21 ,得f 10 ,令 x1x21 ,就 2 f1f 1 ,f 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 x11 , x2x ,得 f xf 1f x ,f x f x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数f x xR 且 x0) 为偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数奇偶性的应用：(1) .求字母的值：ax 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】已知函数求 a , b , c 的值 .f x a ,b

16、, cZ 是奇函数,又bxcf 12 ,f 23 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 f xf x 得bxcbxc , c0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 12 得 a12 b ,而f 23 得 4a 2b13 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4aa13 ,解得 1a2 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 aZ , a0 或 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a0 ,就 b12Z ,应舍去.如 a1 ,就 b1Z b=1 Z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1

17、, b1, c0 .说明：此题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想 建立方程或不等式,组成混合组 ,使问题得解 . 有时也可用特别值, 如f 1= f1 ,得 c =0 .(2) .解不等式：【例 6】如 f x是偶函数,当 x 0,+时, fx=x 1,求 fx1 0 的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：偶函数的图象关于y 轴对称,可先作出 fx的图象,利用数形结合的方法.解：画图可知 f x 0 的解集为 x 1 x 1,fx10 的解集为 x 0 x 2.答案： x 0 x2说明 ：此题利用数形结合的方法解题较快、简捷.此题也可先求 fx的表达式,再求fx1 的表

18、达式,最终求不等式的解也可得到结果.(3) . 求函数解析式：【例 7】已知 fx是 R 上的奇函数,且 x ,0时, f x= xlg2 x ,求 f x.分析：先设 x0,求 fx的表达式,再合并 .解： fx 为奇函数, f0=0.当 x 0 时, x 0, f x=xlg2+ x,即 f x=xlg2+ x,fx= xlg2+ xx 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx lg2 x lg2x x0.x x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明 ：留意自变量在区间上的转化,分段函数的处理和分类争论的思想紧密相连.三、巩固训练： 一、挑选题1.如

19、y=fx在 x 0, +上的表达式为 y=x1 x,且 f x 为奇函数,就 x , 0时 fx等于A. x1 xB.x1+ xC. x1+ xD.xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知四个函数： y其中为奇函数的是1log21x , y xex1ex1, y=3 x+3-x, y=lg3 x+3 -x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. B.C.D. 3. 已知 y= f x 是定义在 R 上的奇函数, 当 x0时,fx=x22x,就在 R 上 fx的表达式为A. x x 2B. x（ x 2） C. x x 2D.x（ x 2） 二、填空题4.

20、 已知 fx=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且定义域为 a 1, 2a,就 a=, b=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如1f xxax R 且 x 0为奇函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21a=.6.已知 fx=ax7 bx+2 且 f5=17 ,就 f5=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知f x 是定义在 3,3 上的奇函数,当 0x3 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 的图像如右图所示,那么不等式三、解答题f x cos x0 的解集是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知G x1f x 21f x且 x=ln f x,判定 G x 的奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知函数 f x满意 fx+y+ fxy=2f x fyx、y R ,且 f0 ,0试证 fx是偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 设函数f x 是偶函数,函数g x是奇函数,且f xg x3,求x3f x 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x 的解析表达式.11.已知 fx x5+ax3-bx-8 , f-2 10,求 f2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 已知f x 、g x都是定义在 R 上的奇函数,如F xaf xbg x2 在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 , 上的最大值为 5,求 F x 在区间 , 0 上的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知f x是奇函数,在区间2 , 2 上单调递增,且有f 2af 12a0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求实数 a 的取值范畴.四、巩固训练参考答案： 一、挑选题1. 解析： x , 0, x0, fx= x1+x , fx= x1+ x.fx=x1+ x

23、. 答案： B2. 提示：可运用定义,逐个验算.答案： D3. 解析：设 x 0,就 x 0,fx是奇函数, f x= fx= x2 2x = x2 2x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx2 x xx 22 x x0 ,即 fx= x（ |x|2）,故答案： B .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称,故a1=2a, a又对于 f x有 fx=f x恒成立, b=0. 答案： 131 ,3, 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_115. 解析：特值法： f 1= f 1 ,1a1a , a1 .

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 12 .21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 解析：整体思想： f 5= a57 b5+2=17a575b= 15,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f5=a57b5+2= 15+2= 13.答案： 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 解析：f x是定义在 3,3 上的奇函数, 补充其图像如图,又 不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x cos x0 同解于f x 0或f x0,解得x3 ,或x1 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c

25、osx0cosx022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x1, 不等式f x cos x0 的解集是,10 , 12, 3,答案：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,10 , 12, 3.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题x8. 解：由 x=ln fx得 f x=ex.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ G x1f x11ex11 exe x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 G2x1 e xf xex 21 exee x 2Gx , G x 为奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

26、29. 证明：令 x=y=0,有 f0+f0=2f0. f 0 ,0 f0=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令 x=0, f y+f y=2f0 f y=2fy. f y=f y. fx是偶函数 .归纳：赋值法 代入特别值 在处理一般函数问题时常常用到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 解：f xg x31 , f x x3gx3,x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又函数f x 是偶函数,函数g x 是奇函数,f xf x , gxg x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

27、料_上式化为f x g x322x3,解 1,2 组成的方程组得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x9 xR , x29x3 , g x3 x xR , x x93 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 分析： 问题的结构特点启示我们设法利用奇偶性来解解： 令 gx=x 5+ax3-bx ,就 gx 是奇函数,所以g-2 g2,于是 f-2 g-2-8, g-2=18.所以 f2=g2-8=-g-2-8=-26.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 解：设h xaf xbg x ,就 h xaf xbg x 为奇函数,可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品_精品资料_由于当 x0 , 时,F x5 , 所以h xaf x bg xF x23 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 x, 0 时,F x 2h xaf x bg x 3 , 即 F x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 F x 在区间 , 0 上的最小值为 -1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 解：由于函数f x是奇函数,所以f xf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f 2af 12a0 得f 2af 12a ,即f 2af 2 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x 在区间 2 , 2 上单调递增,故得22a12 ,解得a0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以实数 a 的取值范畴为 1 , 0.22a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范畴,是函数奇偶性及单调性的逆用,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_培育逆向思维才能,判定出2a,2 a12 , 2 是解决此题的关键.可编辑资料 - - - 欢迎下载