2022年初中平面几何中的定值问题 .docx

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1、精品_精品资料_平面几何中的定值问题开场白：同学们,动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目敏捷、多变,能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的才能.这类问题中就有一类是定值问题,下面我们来看几道题：【问题 1】已知一等腰直角三角形的两直角边 AB=AC=1 ,P 是斜边 BC 上的一动点,过AP 作 PE AB 于 E, PF AC 于 F,就PE+PF=.F方法 1：特别值法：把P 点放在特别的 B 点或 C 点E或 BC 中点.此种方法只适合小题.P方法 2：等量转化法： 这是绝大部分同学能够想到的BC方法, PF=AE,PE=BE, 所以 PE+PF=BE+AE .可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品_精品资料_方法 3：等面积法：连接AP,ABPEPFS ABCS ABPS APCAB ACAB PEAC PF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结语：这虽然是一道动态几何问题,难吗？不难,在解决过程中方法2 抓住了边长 AB 的不变性和 PE,PF 与 BE,AE 的不变关系. 方法 3 抓住了面积的不变性 ,使得问题迎刃而解.设计：大部分同学都能想到方法2,假设其他两种方法同学没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉.此题可叫差生或中等偏下的同学答复赛比艳,艾科设计意图：由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展现自我的时机.过渡： 这道题太简洁了, 由于等腰

3、直角三角形太特别了,我假设把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决？请看：【变式 1】假设把问题1 中的等腰直角三角形改为A等腰三角形,且两腰AB=AC=5 ,底边 BC=6 ,过 P 作 PE AB 于 E, PF AC 于 F,就FPE+PF 仍是定值吗？假设是,是多少？EBC假设不是,为什么 .方法 1：三角形相像进行量的转化ABMPBEPCFP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AMPEPFPEAMPB, PFAMPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABPBPCABAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PEPFAM P

4、BPC AMBC4 624板书可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAB55M 为 BC 中点解题要点：等腰三角形中,底边上的中线是常作的帮助线,抓住这条线的长度 是不变量这个特点,建立PE,PF 与 AM 之间的联系,化动为静方法 2：等面积法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABCS ABPS APCBC AMAB PEAC PF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PEPFBCAM AB6 42455 M 为 BC 中点板书可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题要点： 抓住三角形面积 是个不变量, 用等面积法求解, 这是在三角形中

5、求解与垂线段有关的量的常用方法. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设同学想不到,可提示：在此题中,不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间有什么联系,能不能用一个等式来表示？同学会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量.设计意图：由特别到一般,引出求垂线段长度的常用方法：等面积法老师行为：出示题之后,让同学做,老师下去看.叫用方法1 的同学先站起来答复,然后再叫用方法 2 的同学.以到达过渡到下一题的目的.问：我把题中的 5 改为 a, 6 改为 b, PE+PF 仍是定值吗？你能求出这个定值吗？ 答：是定值,求解方法不变.问：由这题,你能得出等腰三角形的一个

6、一般性结论吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=a长,h 为的边上的高 等面积法可以求解,留意当顶角为钝角的情形h a 为腰长 ,b 为底边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图：培育同学探究的精神,养成勤总结的习惯问题：通过前面几题, 你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应当留意什么问题？答：不要被 动、 变困惑,通过观看,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系, 找到不变量或不变关系,找到解题的途径. 在解题过程中要留意点或线在运动的过程中,是否需要争论.过渡：上

7、面两题中的动点都是在肯定线段或直线上运动,有些同学可能仍是觉得不够刺激, 下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请看：【变式 2】已知 P 为边长为 a 的等边三角形 ABC 内任意一动点,P 到三边的距离分别为h1,h2,h3,就 P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？A由上题的启示,同学可能很简洁想到等面积法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABCS ABPS ACPS BCPBCAMAB PEAC PFBC PDF E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PEPFPDAM为定值M 为 BC 中点板书P可以用几何画板度量长度,进行演示设计意图：使同学更

8、深一步懂得等面积法的应用D过渡：争论完了 P 在三角形内部运动的情形,我们不防降低对P 点的约束,让这个好动的点 P 动到三角形外部去, 情形又会有何变化？BC【变式 3】已知 P 为边长为 a 的等边三角形ABC 外任意一点, P 到三边的距离分别为h1,h2,h3,就 P 到三边的距离之间有何关系？为什么？AEFAAPPEFFDEDBBCCPBCD图 1图 2图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在几何画板中操作,发觉当点P 移出三角形时, h1 h2 h3 发生转变,那么h1,h2,h3 有没有什么肯定的关系了？等面积法仍可以用吗？PAB,PBC, PAC 的面积有何关系

9、？这三个三角形的面积和不变的三角形 ABC 的面积有何关系？ABPEACPFBCPDACPFBCPDABPE直需讲解一种情形,其它让同学自己去补充可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 1：S ABCS ABPS ACPS BCPBCAM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PEPFPDAM 为定值板书可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 2：S ABCS ACPS BCPS ABPBC AM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PFPDPEAM 为定值只把结论板书可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 3：S ABCS ABPS BC

10、PS ACPBCAMAB PEBC PDAC PF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PEPDPFAM 为定值只把结论板书AAFPA EFEDCDBC BPCEFPBDBC AMACPEABPFBCPD板书BC AMABPEBCPDACPF图 1图 2图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 1：S ABCS ACPS ABPS BCP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PFPEPDAM 为定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 2：S ABCS ABPS BCPS ACP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PEPDPFAM

11、为定值只把结论板书可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 3：S ABCS BCPS ABPS ACPBC AMBC PDAB PEAC PF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PDPEPFAM 为定值只把结论板书设计意图：渗透分类争论思想在平面几何中的应用.老师行为： 在几何画板中作出个三角形,填充内部, 让同学直观的发觉几个三角形之间的面积关系.过渡：前面我们争论的都是以三角形为背景的动态几何定值问题,下面再看一道以圆为背景的定值问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【问题 2】 已知：已知弧 AB 为 120 度,在以 AB 为弦的弓形劣弧上取一点

12、M 不包括 A 、B 两点,以 M 为圆心作圆 M 和 AB 相切,分别过A , B 作 M 的切线,两条切线相交于点 C.求证： ACB 有定值,并求出这个定值.C分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答： 此题中的 不变量是弧 AB ,因此 AMB 也是不变量.EF不变关系是相切.M问：已知直线和圆已经相切,我们会想到什么？答：连接圆心与切线AB方法 1：问：要证 ACB 有定值,可以转化为求什么为D定值？答：要证 ACB 有定值,只需证CAB+ CBA 是定值,只需证MAB+ MBA是定值,只要 AMB是定值即可.证明：在 ABC 中, MAB+ MBA=180 AMB ,

13、M 是 ABC 的内心, CAB+ CBA=2180 AMB. ACB=180 CAB+ CBA =180 2180 AMB= 2 AMB 18060. ACB 有定值 60.方法 2： 问：要证 ACB 有定值,可以转化为求什么为定值？答：要证 ACB 有定值,只需证EMF 是定值,只需证EMD+ FMD 是定值,只要 AMD+ BMD 即 AMB是定值即可.证明：在四边形CEMF 中, C+ EMF=180,M 是 ABC 的内心, DMA= EMA, FMB= DMB EMD+ FMD=2 AMB =240 EMF=120 C =180- EMF=60总结： 假设要证的不变量比较困难,你

14、可以先找找题中比较简洁看出的不变量,然后建立两者之间的联系.设计意图：多角度,多方位的争论动态几何中的定值问题,此题以圆为背景,争论角的定值问题.过渡：上题是道有关定值的证明题, 也就是已经明确方向确定是定值了,假设不是证明题了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【问题 3】已知： O 是如图同心圆的圆心 ,AB 是大圆的直径 .点 P 是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R 与 r.问:PA2 PB2 是否有定值 ,假设有 ,求出定值 ; 假设没有 ,说明理由 .分析：这道题是探究定值的问题,可以先用特位定值法,探究以下是否可能是定值. 点 P 放在直径 AB 上.得 PA2 P

15、B2 Rr 2. R r2 2R2 r2. 点 P 放在与直径 AB 垂直的另一条直径上也可得 PA2PB 2 R2 r2R2 r2 2R2 r2.说明 PA2PB 2 特别有可能是定值,而且这个值为2R2 r2BBBPOOAOBPOHPPAAA证明：直角三角形运算法PA2 PB2HA 2PH2+PH 2 HB 2 2PH2 OH+R 2+R-OH 22PH2 2OH2+2R 2=2PH 2 OH 2 +2R 2=2r 2 2R2解答动态几何定值探究问题的方法,一般有两种： 第一种是分两步完成： 先探求定值 .它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立 .探求的方法,常用特别位置定值法,即把动点放在特别的位置,找出定值的表达式, 然后写出证明 .其次种是采纳综合法,直接写出证明.终止语： 数学因运动不再枯燥, 数学因运动而布满活力.期望同学们能够把握动态几何的解题规律.【小结】问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？ 答：动态几何中的定值问题特点：图形中的某个元素,按某种规律在运动类型：1点动2线动3旋转、平移4形变解题思路：不要被 动、变 困惑,通过观看,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系,找到解题的途径.可编辑资料 - - - 欢迎下载