2022年勾股定理知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_第 18 章 勾股定理复习一学问归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.222表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五 ”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是DC 图形进过割补拼接后

2、,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变H E 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理FG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常见方法如下：方法一： 4SSS, 41 ab2 babaAcB2c ,化简可证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正方形EFGH正方形ABCD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积abccbcc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc 2

3、22a2abcab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大正方形面积为 Sab 2a 22abb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222所以 abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法三： S1 ab ab , S2SS2 1 abAaD1 c 2 ,化简得证b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_梯形梯形2ADEABE22-可编辑修改 -ccEaBbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形

4、,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在ABC 中,C90,就 ca 2b2 , bc 2a 2 , ac2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定懂得决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、的线段.思路点拨： 由勾股定理得,直角边为1 的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是,类似的可作.作法：如下列图（1）

5、作直角边为 1（单位长）的等腰直角 ACB ,使 AB 为斜边.（2） 以 AB 为一条直角边,作另始终角边为1 的直角.斜边为.（3） 顺次这样做下去,最终做到直角三角形,这样斜边、的长度就是、.举一反三【变式】在数轴上表示的点.解析： 可以把看作是直角三角形的斜边, 为了有利于画图让其他两边的长为整数,而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3 和 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作法：如下列图在数轴上找到A 点,使 OA=3 ,作 AC OA 且截取 AC=1 ,以 OC 为半径,以 O 为圆心做弧,弧与数轴的交点B 即为.注：逆命题与勾股定

6、理逆定理可以判定真假的陈述句叫做命题, 写出以下原命题的逆命题并判定是否正确1. 原命题：猫有四只脚 （正确）2. 原命题：对顶角相等（正确）3. 原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等（正确）4. 原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等（正确） 思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系.解析： 1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上（正确） 总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备.6. 勾股定理的逆定

7、理勾股定理的逆定理的证明方法要把握,书74 页222假如三角形三边长 a , b , c 满意 abc ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时应留意：（ 1 ）第一确定最大边,不妨设最长边长为：c.（ 2 ）验证 c 2 与 a 2+b 2 是否具有相等关系,如c2 a 2+b 2 ,就 ABC 是以 C 为直角的直角三角形（如 c2 a 2 +b 2,就 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形.如c2 a 2+b 2,就 ABC 为锐角三角形） .可编辑

8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（定理中 a ,b ,c 及 a2bc2 只是一种表现形式, 不行认为是唯独的, 如如三角形三边长a ,b ,c 满意 acb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关.4：互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命

9、题叫做互逆命题.假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.规律方法指导1. 勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的.2. 勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目.3. 勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误.4. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b,c 有以下关系： a 2+b 2 c 2,. 那么这个三角形是直角三角形.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5. . 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运

10、算,通过学习加深对 “数形结合 ”的懂得我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题. （例： 勾股定理与勾股定理逆定理）222 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和ab 与较长边的平方c 作比较,如它们相等时,以a , b , c 为三边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2的三角形是直角三角形. 如 a 2bc2 ,时

11、, 以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形.如 a 2bc 2 ,时, 以 a , b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 为三边的三角形是锐角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 定理中 a ,b ,c 及 a2b2c 只是一种表现形式, 不行认为是唯独的, 如如三角形三边长a ,b ,c 满意 a222cb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 勾股定理的逆定理在用问题描述时,说成：当斜边的平方等于两条直角边

12、的平方和时,这个三角形是直角三角形7. 勾股数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222abc 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 . 6,8,10 . 5,12,13 . 7,24,25 等 用含字母的代数式表示n 组勾股数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n21,2n,n 21（ n2, n 为正整数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品_精品资料_2n1,2n222n,2 n22n1 （ n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222m n ,2 mn,mn （ mn,m , n为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线） ,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解9 勾股定理逆定

14、理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形,在详细推算过程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论10. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常见图形：CCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30ABADBBDA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一：直接考查勾股定理可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_例 .在ABC 中,C90已知 AC6 , BC8 求 AB 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 AB17, AC15,求 BC 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222分析：直接应用勾股定理222a bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：ABACBC10 BCABAC8C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

16、精品资料_题型二：应用勾股定理建立方程例 .BDA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC 中,ACB90 , AB5 cm , BC3 cm , CDAB 于 D , CD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知直角三角形的两直角边长之比为3:4 ,斜边长为 15 ,就这个三角形的面积为A已知直角三角形的周长为30 cm ,斜边长为 13 cm ,就这个三角形的面积为D分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可依据勾股定理列方程求解BC2解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ACABBC4 , CD

17、ACBC AB2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设两直角边的长分别为3k , 4k3k 24 k2152 ,k3 , S54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设两直角边分别为a , b ,就 ab17 , a2b 289 ,可得 ab60S1 ab30cm22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 .如图 ABC 中,C90, 12 , CD1.5 , BD2.5 ,求 AC 的长可编辑资料 - - -

18、欢迎下载精品_精品资料_CD1BA2E分析：此题将勾股定理与全等三角形的学问结合起来解：作 DEAB 于 E ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 , DECDC901.5C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-可编辑修改 -AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在BDE 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BED90 , BEBD 2DE 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rt ACDRt AED ACAE2在 Rt ABC 中,C90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ABACBC ,AEEB2AC

19、 242AC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 如图 Rt ABC , C90AC3, BC4 ,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 6题型三：实际问题中应用勾股定理例 5. 如图有两棵树,一棵高8 cm ,另一棵高 2 cm ,A两树相距 8 cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了mED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：依据题意建立数学模型,如图AB8m , CD2 m , BC8 m ,过点 D 作BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DEAB,垂足为 E

20、 ,就 AE6 m , DE8 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 Rt ADE 中,由勾股定理得ADAE 2DE 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 10 m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 例 6. 已知三角形的三边长为a , b , c ,判定ABC 是否为 Rt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1.5, b2 , c2.55 a, b41, c23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2222ab1.5226.25 , c22.56.25

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC 是直角三角形且C90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 bc 213 , a 225 , b2caABC 不是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7. 三边长为 a, b , c 满意 ab10 , ab18 , c8的三角形是什么外形？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：此三角形是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品_精品资料_2理由：abab2ab64,且2Ac 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-可编辑修改 -BDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222abc所以此三角形是直角三角题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8. 已知 ABC 中, AB13 cm , BC10 cm , BC 边上的中线 AD12 cm ,求证： ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中,C=90 1 已知 a=6 , c=10 ,求 b, 2 已知 a=40 , b=9 ,求 c. 3 已知 c=25 , b=15 ,求 a.思路点拨 : 写解的过程中,肯定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形使用.举一反三【变式】 :如图B= ACD=90 , AD=13, CD =12, BC=3, 就 AB 的长是多少 .类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,. 求： BC 的长 .-可编辑修改 -可编辑资料 - - - 欢迎下载