小学奥数平面几何五种面积模型(等积鸟头蝶形相似共边).pdf

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1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型） ，共 边（含燕尾模型和风筝模型） ， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨知识点拨 一、等积模型一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 12 :SSa b 夹 在 一 组 平 行 线 之 间 的 等 积 变 形 ， 如 右 图 A C DB C D SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB

2、平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比 等于它们的高之比 二、鸟头定理二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图 (或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则:():() ABCADE SSABACADAE E D C B A E D CB A 图 图 三、蝶形定理三、蝶形定

3、理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： 1243 :SSSS或者 1324 SSSS 1243 :AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与 四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab； S的对应份数为 2 ab ba S2S1 DC BA S4 S3 S2 S1 O D CB A A BC D O b a S3 S2 S1 S4 四、相似模型四、相似模型 (一)金字塔

4、模型 (二) 沙漏模型 G F E A BC D A BC DEF G ADAEDEAF ABACBCAG ； 22 : ADEABC SSAFAG ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎 样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现

5、最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么 : ABOACO SSBD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段， 因为ABO和 ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定 理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以 存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之 间提供互相联系的途径. 典型例题典型例题 【例【例 1】 如图， 正方形如图， 正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE 1. .5，CF 2 长方形

6、长方形EFGH的面积为的面积为 【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 6 6 1.5 622 624.5 4216.5 DEF S ,所以长方形EFGH面积 为 33 【巩固】如【巩固】如图所示，正方形图所示，正方形ABCD的边长为的边长为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为10厘米，那么长厘米，那么长 方形的宽为几厘米？方形的宽为几厘米？ _ H _ G _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ A _ B _ C _ D _ E _ F _ G _ H O F E D CB

7、 A 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形 可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半 证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起) 在正方形ABCD中， G 1 2 AB SABAB 边上的高， 1 2 ABGABCD SS (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理， 1 2 ABGEFGB SS 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等 长方形的宽8 8 106.4 (厘米) 【例【例 2】 长方形长方形ABCD的面积为的面积为 36 2 cm，E、F、G为各边中点，为各边中点

8、，H为为AD边上任意一边上任意一点，点， 问阴影部分面积是多少问阴影部分面积是多少？ H G F E D C B A 【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图： H G F E D C B A 可得： 1 2 EHBAHB SS 、 1 2 FHBCHB SS 、 1 2 DHGDHC SS ，而 36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 ()3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS ； 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 ， 11111 ()()364.5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是：181

9、84.513.5 EBF SS 阴影 解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合， 那么图形就可变成右图： _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D G A B C D E F (H) 这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有： 1111111 3636363613.5 2222222 ABCDAEDBEFCFD SSSSS 阴影 【巩固】【巩固】在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另，将正方形的一组对边二等分，另 一组对一组对边三等分

10、，分别与边三等分，分别与P点连接点连接, ,求求阴影阴影部分面积部分面积 P D C B A A B C D(P) P D C B A 【解析】 （法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点 与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别 占正方形面积的 1 4 和 1 6 ，所以阴影部分的面积为 2 11 6()15 46 平方厘米 （法 2）连接PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴 影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的 1 4 ，同理可知左、右两个阴影三角 形的面积之和等于正方形ABC

11、D面积的 1 6 ，所以阴影部分的面积为 2 11 6()15 46 平方厘米 【例【例 3】 如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，8AB ，15AD ，四，四 边形边形EFGO的面积为的面积为 O G F E D CB A 【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之 和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积 由于长方形ABCD的面积为15 8120，所以三角形BOC的面积为 1 12030 4 ，所 以三角形AOE和DOG的面积之和为 3 1207020 4 ；

12、又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为 11 12030 24 ，所以四边形 EFGO的面积为302010 另解： 从整体上来看， 四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积 白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以 四边形的面积为605010 【巩固】如图，长方形【巩固】如图，长方形ABCD的面积是的面积是 36，E是是AD的三等分点，的三等分点，2AEED，则阴影部分，则阴影部分 的面积为的面积为 O A BC D E N M O A BC D E 【解析】

13、如图，连接OE 根据蝶形定理， 1 :1:1 2 COECDECAECDE ON NDSSSS ，所以 1 2 OENOED SS ； 1 :1:4 2 BOEBAEBDEBAE OM MASSSS ，所以 1 5 OEMOEA SS 又 11 3 34 OEDABCD SS 矩形 ， 26 OEAOED SS ，所以阴影部分面积为： 11 362.7 25 【例【例 4】 已知已知ABC为等边三角形，面积为为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、分别为三边的中点，已知甲、 乙、丙面积和为乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积( (丙是三角形丙

14、是三角形HBC) ) 丙 乙甲 H N M JIF E D CB A 【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线， 也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都 等于三角形ABC的一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有 ABCABNAMCAMHN SSSSS 丙， 即400 200200 AMHN SS 丙 ，所以 AMHN SS 丙 又 ADFAMHN SSSSS 乙甲阴影 ，所以 1 14340043 4 ADF SSSSS 乙甲丙阴影 【例【例 5】 如图，已知如图，已知5CD ，7DE ，15EF ，6FG ，线

15、段，线段AB将图形分成两部分，左将图形分成两部分，左 边部分面积是边部分面积是 38，右边部分面积是，右边部分面积是 65，那么三角形，那么三角形ADG的面积是的面积是 G FEDC B A A B CDEF G 【解析】 连接AF，BD 根据题意可知，571527CF ；715628DG ； 所以， 15 27 BECBFF SS ， 12 27 BECBFC SS ， 21 28 AEGADG SS ， 7 28 AEDADG SS ， 于是： 2115 65 2827 ADGCBF SS ； 712 38 2827 ADGCBF SS ； 可得40 ADG S故三角形ADG的面积是 40

16、 【例【例 6】 如图在如图在ABC中，中，,D E分别是分别是,AB AC上的点，且上的点，且:2:5AD AB ，:4:7AE AC ， 16 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 E D C B A E D CB A 【解析】 连接BE，:2:5(2 4):(5 4) ADEABE SSAD AB ， :4:7(4 5):(7 5) ABEABC SSAE AC ， 所 以:(2 4):(7 5) ADEABC SS ， 设 8 ADE S 份，则35 ABC S 份，16 ADE S 平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份 就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米

17、由此我们得到一个重要的定理， 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之 比 【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的 5 倍，倍，AC是是AE的的 3 倍，如果三角形倍，如果三角形ADE的的 面积等于面积等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ E D CB A A BC D E 【解析】 连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS 又5ABAD 515 ADEABEABC SSS，1515 ABCADE SS 【巩固】 如图， 三角形【巩固】 如图， 三角形ABC被分成了甲被分成了甲( (阴影部分阴影部分

18、) )、 乙两部分，、 乙两部分，4BDDC，3BE ，6AE ， 乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D CB A A BC D E 甲 乙 【解析】 连接AD 3BE ，6AE 3ABBE，3 ABDBDE SS 又4BDDC， 2 ABCABD SS，6 ABCBDE SS，5SS 乙甲 【例【例 7】 如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且:5:2AB AD ， :3:2AE EC ，12 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 E D CB A E D CB A 【解析】 连接BE，:2

19、:5(2 3):(5 3) ADEABE SSAD AB :3:(32)(3 5): (32)5 ABEABC SSAE AC ， 所以:(32): 5(32)6:25 ADEABC SS ， 设6 ADE S 份， 则25 ABC S 份，12 ADE S 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平 方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对 应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例【例 8】 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行，平行 四边形四边形ABCD的面积是的面积是

20、2， 求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比 H G A B C D E F H G A B C D E F 【解析】 连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补， 1 11 1 33 ABC FBE SAB BC SBE BF 又1 ABC S ，所以3 FBE S 同理可得8 GCF S ，15 DHG S ，8 AEH S 所以88 15+3+236 EFGHAEHCFGDHGBEFABCD SSSSSS 所以 21 3618 ABCD EFGH S S 【例【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多如图所示的四边形的面积等于多少？

21、少？ O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将 旋转到三角形OCD 的位置.这样， 通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的 正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理) 【例【例 10】 如图所示，如图所示，ABC中，中，90ABC，3AB ，5BC ，以，以AC为一边向为一边向ABC外作外作 正方形正

22、方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积 5 3 O A BC D E F 5 3 O A BC D E 【解析】 如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB而OCFOAB ， 所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC ，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为 538，所以它的面积为 2 1 816 4 根据面积比例模型，OBC的面积为 5 1610 8 【例【例 11】 如图， 以正方如图， 以正方形的边形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三

23、角形ABE，90AEB，AC、 BD交于交于O已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求三角形，求三角形OBE的面积的面积 A BC D O E F A BC D O E 【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边形 AFBE是直角梯形，且3AFAE， 所以梯形AFBE的面积为： 1 35312 2 ( 2 cm) 又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理， 22222 3534ABAEBE，所以 2 1 17 2 ABD SAB ( 2 cm) 那么17125 BDEABDAB

24、EADEABDAFBE SSSSSS ( 2 cm)， 所以 1 2.5 2 OBEBDE SS ( 2 cm) 【例【例 12】 如下图，六边形如下图，六边形ABCDEF中，中，ABED，AFCD，BCEF，且有，且有AB平行于平行于ED， AF平行于平行于CD，BC平平行于行于EF， 对角线， 对角线FD垂直于垂直于BD， 已知， 已知24FD 厘米，厘米，18BD 厘米，请问六边形厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ F E A B D C G F E A B D C 【解析】 如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，

25、这 样EF、BC都重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与 原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18432平方厘米，所以六 边形ABCDEF的面积为432平方厘米 【例【例 13】 如图，三角形如图，三角形ABC的面积是的面积是1，E是是AC的中点，点的中点，点D在在BC上，且上，且:1:2BD DC ， AD与与BE交于点交于点F则四边形则四边形DFEC的面积等于的面积等于 F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理， 1 2 ABF ACF SBD

26、SDC ， 1 ABF CBF SAE SEC , 设 1 BDF S 份，则2 DCF S 份， 3 ABF S 份，3 AEFEFC SS 份，如 图所标 所以 55 1212 DCEFABC SS 方法二：连接DE，由题目条件可得到 11 33 ABDABC SS ， 1121 2233 ADEADCABC SSS ，所以 1 1 ABD ADE SBF FES ， 1111111 22323212 DEFDEBBECABC SSSS ， 而 211 323 CDEABC SS 所以则四边形DFEC的面积等于 5 12 【巩固】【巩固】如图如图，长方形，长方形ABCD的面积是的面积是2平

27、方厘米，平方厘米，2ECDE，F是是DG的中点阴影部的中点阴影部 分的面积是多少平方厘米分的面积是多少平方厘米? ? x y y x A BC D EF G G FE D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 【解析】 设 1 DEF S 份， 则根据燕尾定理其他面积如图所示 55 1212 BCD SS 阴影平方厘 米. 【例【例 14】 四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O( (如图所示如图所示) ) 如果三角形如果三角形ABD的面积等的面积等 于三角形于三角形BCD的面积的的面积的 1 3 ，且，且2AO ，3DO ，那么，那么CO的长度是的长度

28、是DO的长度的的长度的 _倍倍 A BC D O H G A BC D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处 理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来 改造不良四边形 看到题目中给出条件:1:3 ABDBCD SS， 这可以向模型一蝶形定 理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化 为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形” ，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高 之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结

29、果请老 师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使 用蝶形定理解决问题 解法一：:1:3 ABDBDC AO OCSS ，2 36OC ，:6:32:1OC OD 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 1 3 ABDBCD SS ， 1 3 AHCG， 1 3 AODDOC SS ， 1 3 AOCO，2 36OC ，:6:32:1OC OD 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已个三角形，其中三个三角形的面积已知，知， 求：三角形求：三角形BGC的面积；的面积；:AG GC ？ A B C D

30、 G 32 1 【解析】 根据蝶形定理，12 3 BGC S ，那么6 BGC S ； 根据蝶形定理， :12 : 361:3AG GC 【例【例 15】 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、ODF、BOE的的 面积依次是面积依次是 2、4、4 和和 6求：求求：求OCF的面积；求的面积；求GCE的面积的面积 O G F E D CB A 【解析】 根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的面积都 是1628，所以OCF的面积为844； 由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为862， 根据蝶形定理

31、，:2:41:2 COECOF EGFGSS ，所以 :1:2 GCEGCF SSEGFG ， 那么 112 2 1233 GCECEF SS 【例【例 16】 如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，:2:3BE EC ，:1:2DF FC ，三角形，三角形DFG的面积为的面积为2平平 方厘米，求长方形方厘米，求长方形ABCD的面积的面积 A BC D E F G A BC D E F G 【解析】 连接AE，FE 因为:2:3BE EC ，:1:2DF FC ， 所以 3111 () 53210 DEFABCDABCD SSS 长方形长方形 因为 1 2 AEDABCD SS 长方形 ，

32、11 :5:1 2 10 AG GF ， 所以510 AGDGDF SS平方厘米， 所以 12 AFD S 平方厘米因为 1 6 AFDABCD SS 长方形 ，所以长方形ABCD的面积 是72平方厘米 【例【例 17】 如图，正方形如图，正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点求图中阴影部分边上的中点求图中阴影部分 的面积的面积 G M D C B A 【解析】 因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC ，根据梯形蝶形定理可以知道 22 :1 : 1 2 : 1 2 :21:2:2:4 AMGABGMCGBCG SSSS （） （）， 设1 A G M S

33、份 ， 则 123 M C D S 份，所以正方形的面积为1224312份， 224S 阴影 份，所以 :1:3SS 阴影正方形 ，所以 1S 阴影 平方厘米 【巩固】 在下图的正方形【巩固】 在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，三角形点，三角形BEF 的面积为的面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是面积是 平方厘米平方厘米 A BC D E F 【解析】 连接DE，根据题意可知:1:2BE AD ，根据蝶形定理得 2 129S 梯形 （） (平方 厘米)，3 ECD S (平方厘米)，那么12 ABCD S(平

34、方厘米) 【例【例 18】 已知已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形，三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘米则平方厘米则 阴影部分的面积是阴影部分的面积是 平方厘米平方厘米 O E A BC D O E A BC D 【解析】 连接AC 由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，所以:2:3CE AD ， 根据梯形蝶形定理， 22 :2 :23:23:34:6:6:9 COEAOCDOEAOD SSSS，所以 6 AOC S(平方厘米)，9 AOD S(平方厘米)，又6915 ABCACD SS(平方 厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘米) 【巩

35、固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示是平行四边形，已知三角形面积如图所示( (单位：单位： 平方厘米平方厘米) )，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是 平方厘米平方厘米 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 【分析】 连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝶形定理，4 936 OCDOAEOCEOAD SSSS ，故 2 36 OCD S ， 所以 6 OCD S (平方厘米) 【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面

36、积如图所示是平行四边形，已知三角形面积如图所示( (单位：单位： 平方厘米平方厘米) )，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是 平方厘米平方厘米 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E 【解析】 连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝶形定理， 2 816 OCDOAEOCEOAD SSSS ，故 2 16 OCD S ， 所以4 OCD S(平方厘米) 另解：在平行四边形ABED中， 11 16812 22 ADEABED SS (平方厘米)， 所以1284 AOEADEAOD SSS (平方厘米)， 根据蝶形定理，阴影

37、部分的面积为8244(平方厘米) 【例【例 19】 如图，长方形如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分别为块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米 ? 8 5 2 O AB CD EF ? 8 5 2 O AB CD EF 【解析】 连接DE、CF四边形EDCF为梯形，所以 EODFOC SS ，又根据蝶形定理， EODFOCEOFCOD SSSS ，所以2 816 EODFOCEOFCOD SSSS ，所以4 EOD S(平 方厘米)，4812 ECD S(平方厘

38、米)那么长方形ABCD的面积为12 224平方 厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米) 【例【例 20】 如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEFG是正方形， 线段是正方形， 线段AB与与CD相交于相交于K点 已点 已 知正方形知正方形DEFG的面积的面积 48，:1:3AK KB ，则，则BKD的面积是多少？的面积是多少？ K G FE D CB A M K G FE D CB A 【解析】 由于DEFG是正方形， 所以DA与BC平行， 那么四边形ADBC是梯形 在梯形ADBC 中，BDK和ACK的面积是相等的而:1:3AK KB ，所以ACK的面积是ABC

39、 面积的 11 134 ，那么BDK的面积也是ABC面积的 1 4 由于ABC是等腰直角三角形， 如果过A作BC的垂线，M为垂足， 那么M是BC的 中点， 而且AMDE， 可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半， 所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48 那么BDK的面积为 1 4812 4 【例【例 21】 下图中，四边形下图中，四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC， CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分 数数

40、m n ，那么，那么，()mn的值等于的值等于 A BC D E F G H H G F E D CB A 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个 图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部 分的面积 如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M 左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的 1 4 ，所以三角形 AMD的面积为 2 111 1 248 又左图中四个空白三角形的面积是相等的， 所以左图 中阴影部分的面积为 11 14 82 M A BC D E F G H N H G F E D CB

41、 A 如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N 可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的 1 4 ，所以 三角形BEF 的面积为 2 111 1 248 ，梯形AEFC的面积为 113 288 在梯形AEFC中，由于:1:2EF AC ，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为： 22 1 :1 2:1 2:21:2:2:4，所以三角形EFN的面积为 311 8122424 ，那么四边 形BENF的面积为 111 8246 而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右 图中阴影部分的面积为 11 14 63 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为

42、 1 1 :3:2 2 3 ，即 3 2 m n ， 那么325mn 【例【例 22】 如图，如图， ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行，ADDFFB， 则则 : ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 E GF A D C B 【解析】 设1 ADE S 份，根据面积比等于相似比的平方， 所以 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ， 22 :1:9 ADEABC SSADAB ， 因此4 AFG S 份，9 ABC S 份， 进而有3 DEGF S 四边形 份，5 FGCB S 四边形 份，所以:1:3:5 ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 【巩固】如

43、图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且2AD，5AB ，4AE ，求，求AC的长的长 A E D C B 【解析】 由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC 【巩固】如图，【巩固】如图， ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平互相平 行，行， ADDFFMMPPB，则，则 : ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 【解析】 设 1 ADE S 份， 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ，因此 4 AFG S 份 ， 进 而 有 3 DEGF S 四边形 份 ， 同 理 有 5 F G N M S 四边

44、形 份， 7 MNQP S 四边形 份， 9 PQCB S 四边形 份 所以有 :1:3:5:7:9 ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 Q E G N M F P A D C B 【例【例 23】 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是是BC边的中点，边的中点，E是是DC边上的点，且边上的点，且 :1:3DE EC ，AF与与BE相交于点相交于点G，求，求 ABG S G F A E D C B M G F A E D C B G F A E D C B 【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙

45、漏，所以有 :1:1AB CMBF FC，因此4CM ，根据题意有3CE ，再根据另一个沙漏有 :4:7GB GEAB EM，所以 4432 (442) 471111 ABGABE SS 方法二：连接,AE EF，分别求4224 ABF S ， 4 44 123 2247 AEF S ，根据蝶形定理 :4:7 ABFAEF SSBGGE ，所以 4432 (4 42) 471111 ABGABE SS 【例【例 24】 如图所示，已知平行四边形如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是的面积是 1，E、F是是AB、AD的中点，的中点， BF 交交EC于于M，求，求BMG的面积的面积 M H G

46、F E D CB A I A BC D E F G H M 【解析】 解 法 一 ： 由 题 意 可 得 ，E、F是AB、AD的 中 点 ， 得/ /EFBD， 而 :1 : 2F DB CF HH C， :1:2EB CDBG GD所以:2:3CH CFGH EF， 并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以 :2:3BG EFBM MF，所以 2 5 BMBF， 1111 2224 BFDABDABCD SSS ； 又因为 1 3 BGBD，所以 121211 3535430 BMGBFD SS 解法二：延长CE交DA于I，如右图， 可得，:1:1AI BCAE EB，从而可以确定M的点的位置， :2:3BM MFBC IF， 2 5 BMBF， 1 3 BGBD(鸟头定理)， 可得 212111 5353430 BMGBDFABCD SSS 【例【例 25】 如图，如图，ABCD为正方形，为正方形，1cmAMNBDEFC且且2 c