用特征方程法求解递推关系中的数列通项(8页).doc

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1、-用特征方程法求解递推关系中的数列通项-第 7 页特征方程法求解递推关系中的数列通项递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标

2、是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。笔者从用特征方程法求解递推关系中的数列通项谈谈这方面的认识。题型一：一阶线性递推数列问题.设已知数列的项满足 ，其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，

3、即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，数列是以为公比的等比数列，故当时，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须题型二：分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其

4、中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明第（1）部分.作交换则是特征方程的根，将该式代入式得 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化：由是方程的两个相同的根可以求得将此式代入式得令则故数列是以为公差的等差数列.其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得：特征方程

5、有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解:作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用第（2）部分，则有即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依第（1）部分解答.（1）对于都有（2）令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.（3）令则对于（4）显然当时，数列从

6、第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.题型三：二阶线性递推数列问题.设递推公式为其特征方程为，1、 若方程有两相异根、，则2、 若方程有两等根则其中、可由初始条件（）构造方程组确定。证明：设，则,令 （*）（1） 若方程组（*）有两组不同的解,则,由等比数列性质可得,由上两式消去可得特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为其中、可由初始条件求出。（2） 若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则,即是等

7、差数列，由等差数列性质可知，所以这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去（或）即得此方程的两根即为特征方程的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。例5斐波那契数列，求通项公式。解：此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为，由初始条件可知，解之得，所以。例6已知数列且，求通项公式。解：此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为，由初始条件可知，解之得，所以。例7已知数列且，求通项公式。解：此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为，由初始条件可知，解之得，

8、所以。阅读材料：斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（11751250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有算盘书、实用几何和四艺经等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。人们发现斐波那契数列与我们熟知的杨辉三角形有关，我们知道，二项式展开式的系数构成杨辉（贾宪）三角形。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1利用杨辉三角形可以很快写出a+b的任意次幂的展开式。如果我们将杨辉三角形各行的位置错一下，排成一个直角三角形，然后把斜线上的数字相加，其和写在右上方，这样就能得到一列数，所得的这列数，恰好是斐波那契数列。参考文献杨亢尔一个数列递推公式和一类应用题的解法数学教学研究，2001.4. 沈文宣. 初等数学研究教程.湖南教育出版社，1996.