全等三角形中的倍长中线与截长补短法.ppt

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1、倍长中线与截长补短法,辅助线一般作法,三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。,例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边,例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DGAE交BC于G， 方法2：过E作

2、EGAB交BC的延长线于G， 方法3：过D作DGBC于G，过E作EHBC的延长线于H,例3：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG， 证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形,例4：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分BAC 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH,在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD 分析：要证AB+AC2AD，

3、由图想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去,证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线 （已知） BD=CD （中线定义） 在ACD和EBD中 BD=CD （已证） 1=2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ACDEBD （SAS） BE=CA（全等三角形对应边相等） 在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） AB+AC2AD。 （常延长中线加倍，构造

4、全等三角形）,练习,已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。,二、截长补短法作辅助线,要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。,让我们来大显身手吧！,例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。,要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。 因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想

5、到构造第三边AB-AC 故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN 再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。,思路导航,证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在APN和APC中 AN=AC（辅助线作法） 1=2 （已知） AP=AP （公共边） APNAPC （SAS） PC=PN （全等三角形对应边相等） 在BPN中，有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边） BP-PCAB-AC,证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在ABP和AMP中 AB=AM （辅助线作法） 1=2 （已知） AP=AP （公共边） ABPAMP （SAS）

6、 PB=PM （全等三角形对应边相等） 又在PCM中有：CMPM-PC(三角形两边之差小于第三边) AB-ACPB-PC。,在 ABC中，ACB=90，AC=BC,直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。 求证：DE=AD+BE,证明：, 1+3=90., 1+2=90., 2=3.,ADC= CEB, ADCCEB, AD=CE,CD=BE, DE=AD+BE,ACB=90 ，,BEMN，,ADMN, ADC= CEB=90.,在 ADC和CEB中,AC=BC,2=3, DE=CE+CD,例题讲解,1.在ABC中, B2C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC,A,B,C,D,

7、E,证明：,在AC上截取A E=AB，连结D E, AD平分BAC 12,在ABD和 AED中,12,A B=AE,A D=AD, ABD AED,BD=DE, B3, 3= 4+ C, B2C, 3=2C, 2C = 4+ C,DE=CE,BD=CE,AE+EC=AC, AB+BD=AC,1,2,3,4, C 4,截长法,例题讲解,在ABC中, B2C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC,A,B,C,D,E,在AB的延长线截取B E=BD， 连结D E.,证明：,补短法,在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.,截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或

8、是将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目,如图，ADBC，AE, BE分别平分DAB,CBA， CD经过点E， 求证：ABAD+BC,练习,在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.,如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是,A,B,C,D,M,N,思考题,在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.,如图2，点M、N边AB、AC上，且 当DMDN时，猜想（I）的结论还成立吗 ?,A,B,C,D,M,N,写出你的猜想并加以证明；,如图3，点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想（I）的结论还成立吗 ?若不成立，又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明.,A,B,C,D,M,N,