概率论与数理统计答案,祝东进(13页).doc

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1、-概率论与数理统计答案,祝东进-第 13 页 习题 1.11. 写出下列随机试验的样本空间:(1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数.(2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数.(3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.(4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或检查四个产品就停止检查,记录检查的结果.(5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解:(1);(2) (正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), ;(3) (次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次,

2、正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次);2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示:(1) =”出现的点数之和为偶数”.(2) =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”.(3) =”至少掷出一个2点”.(4) =”两颗骰子出现的点数相同”.解: (1) 3. 设是三个事件,试用来表示下列事件:(1) 事件“中至少有一个事件发生”.(2) 事件“中至少有两个事件不发生”.(3) 事件“中至多有一个事件不发生”.(4) 事件“中至少有一个事件不发生”.(5) 事件“至少有一个发生,而不发生”.解:(1);(2) 或 ;(3) 或;

3、(4) 或.4. 指出下列命题哪些成立,哪些不成立?(1) . (2) .(3) . (4) .(5) . (6) .(7) 等价于或或.(8) 若,则.解:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)正确;(5)错误;(6)正确;(7)正确;(8)正确.5. 在数学系的学生中任选一名学生,令事件表示被选学生是女生, 事件表示被选学生是三年级学生, 事件表示被选学生是运动员.(1) 叙述的意义.(2) 在什么条件下成立?(3) 什么时候成立?解: (1)被选学生是三年级男运动员;(2) 因为等价于,即数学系的女生全部都是三年级运动员;(3) 数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.6.

4、 试用维恩图说明,当事件,互不相容,能否得出,也互不相容?解: 不能.7. 设样本空间, 事件,试求: .解:;习题 1.2(6) 设,求(1); (2) ;(3).解: ;(7) 设 且求.解:注意到.从而由得.于是.(8) 设为三个随机事件, 且 ,求.解: 由知. 于是由广义加法公式有(9) 设为两个随机事件,且,问:(4) 在什么条件下, 取到最大值,最大值是多少?(5) 在什么条件下, 取到最小值,最小值是多少?解:(1)由于.由此可见在条件下,取到最大值.(6) 注意到. 因此当时,取到最小值.思考: 有人说(2),在时,取到最小值0. 你能指出错误在什么 地方吗?(10) 设为两

5、个随机事件,证明:(1) .(2) .证明:(1)由广义加法公式可得(2) 由(1)立得. 其余不等式是显然的.(11) 设为三个随机事件,证明:.证明:由广义加法公式可得(12) 设为个事件,利用数学归纳法证明: (1) (次可加性) .(2) .证明: (1) 当时, 由广义加法公式有即对成立.假设对成立, 于是即对成立. (1)得证.(2)当时, 由广义加法公式有即对成立.假设对成立, 即.于是即对成立. (2)得证.(13) 设为一列事件，且，证明:.证明:(利用性质6(1)的结论)显然为一列事件，且，即性质6(1)的条件成立,因此.于是.习题 1.3(7) 掷两颗均匀的骰子,求下列事

6、件概率: (1)两颗骰子的点数相同;(2)两颗骰子的点数之和为偶数;(3)一颗骰子的点数恰是另一颗骰子的点数的两倍.解:(1); (2) ; (3).(8) 有五条线段,长度分别为1,3,5,7,9(单位cm),从这五条线段中任取三条,求所取的三条线段能拼成三角形的概率.解:由古典概型可得所求的概率为.(9) 一个小孩用13个字母:A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的,问组成”MATHEMATICIAN”一词的概率为多少?解:由古典概型可得所求的概率为.(10) 个人随机地排成一列,甲、乙是其中的两个人,求甲、乙两人之间恰好有个人的概率, 这

7、里.解:由古典概型可得所求的概率为.(11) 个男孩和个女孩()随机排成一列,求任意两个女孩都不相邻的概率.解:个男孩和个女孩()随机排成一列共有种排法.任意两个女孩都不相邻可按如下方式进行: 先将个男孩排好,共有个间隔,从个间隔中选出个位置进行女生排列.因此排法总数为.从而由古典概型可得所求的概率为.(12) 从双尺码不同的鞋子中任取只,求下列事件的概率: a) 所取的只鞋子中没有两只成对的; (2) 所取的只鞋子中只有两只成对的; (3) 所取的只鞋子恰成对.解:(1);(2);(3).(13) 掷一枚均匀的硬币次,求出现的正面次数多于反面次数的概率.解:设表示硬币出现的正面次数多于反面次

8、数,表示硬币出现的反面次数多于正面次数,表示硬币出现的反面次数等于正面次数.易见当时,易见,从而.当时,易得.从而.(14) 从一个装有个白球,个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此题设想将袋中的个白球和个黑球全部摸出,则最后一次(第次)摸出白球与本题所述的事件相同.因此由抽签原理可得所求的概率为.(15) 口袋中有5个白球、3个黑球,从中任取两个,求至少取到一个白球的概率.解:所求的概率为.(16) 某人有把钥匙，其中只有一把能打开门,他一把接一把地试开门,不能开门的就扔掉求他恰好在第次把门打开的概率解:所求的概率

9、为.(17) 任取一个正整数,求下列事件的概率: a) 该数平方的个位数是1; (2)该数立方的个位和十位都是1.解:(1)我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关.因此我们观察取出数的个位数,其样本空间为.易知其是古典概型.设表示该数平方的个位数是1, 则,于是.(2)一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关.因此我们观察取出数的个位和十位数,其样本空间为,表示该数立方的个位和十位都是1.则,于是.(18) 某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，假设拔完规定电话位数算完成一次拨号，且假设对方电话不占线，试问他拨号不超过四次就能接通电话的概率是多少?解:所

10、求的概率为.(19) 一公司批发出售服装，每批100套公司估计某客商欲购的那批100套服装中有4套是次品，12套是等级品，其余是优质品，客商在进货时要从中接连抽出2套做样品检查，如果在样品中发现有次品，或者2套都是等级品，客商就要退货试求下列事件的概率：(1)样品中1套是优质品，1套是次品；(2)样品中1套是等级品，1套是次品；(3)退货；(4)该批货被接受；(5)样品中恰好有1套优质品解:(1)样品中1套是优质品，1套是次品的概率为;(3) )样品中1套是等级品，1套是次品的概率为;(4) 退货的概率为;(5) 该批货被接受的概率为;(6) 样品中恰好有1套优质品的概率为.(20) 在桥牌比

11、赛中,把52张牌(不包括大小王)任意地分给东、南、西、北四家(每家13张牌),求下列事件的概率:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花;(2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃；(3) 南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃.解:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率为或;(2) 南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃的概率为(3) 南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃的概率为(21) 将3个球随机地放入4个杯子,求4个杯子中球的个数最大值为2的概率.解: 3个球随机地放入4个杯子共

12、有种放法. 4个杯子中球的个数最大值为2相当于先从3个球中任意地选出2个球作为一个整体和另外一个球放到4个杯子(注意不能同时放入同一个杯子)的放法总数为.于是所求的概率为.(22) 设集合有4个元素, 集合有3个元素,随机地作集合到集合的映射,求该映射为满射的概率.解:该映射为满射的概率为.(23) 将个球随机地放入个盒子中,求下列事件的概率:(14) 每个盒子中均有球; (2)恰好有1个盒子空着的概率.解:设表示第个盒子无球,.(6) 设表示每个盒子中均有球.则.注意到, ,于是由广义加法公式有从而.(7) 恰好有1个盒子空着可以这样理解,先从个盒子任意选定1个空盒,然后将个球随机地放入个盒

13、子,使得个盒子都有球. 从而由(1)及乘法原理可知恰好有1个盒子空着共有样本点,于是其概率为(24) 某班有个同学参加面试,共有张考签,每人抽到考签用后即放回,在面试结束后,求至少有一张考签没有被抽到的概率.(8) 解:设表示第张考签没有被抽到,.设表示至少有一张考签没有被抽到. 则.注意到, ,于是由广义加法公式有(25) 从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率为多少?解:设表示所取的项含第行第列主对角线元素,.设表示所取的项包含主对角线元素. 则.注意到, ,于是由广义加法公式有习题 1.51. 已知,求; ;.解：注意到 故 .2. 设试证:证明: 因为, 故 3

14、. 设件产品中有件不合格品,从中逐一不放回地取出两件产品,(4) 已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率;(5) 已知所取的两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:(1)设表示第次取出不合格品,.于是所求的概率为.(2) 设表示所取的两件产品中有一件是不合格品, 表示另一件也是不合格品.于是所求的概率为4. 掷两颗均匀的骰子,(1)已知点数和为偶数,求点数和等于8的概率;(2) 已知点数和为奇数,求点数和大于6的概率;(3) 已知点数和大于6,求点数和为奇数的概率.解: (1)所求的概率为; (2)所求的概率为; (3)所求的概率为. 5. 一个家庭中有三个小

15、孩,已知其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.解: 表示三个小孩中有一个是女孩, 表示三个小孩中至少有一个是男孩,于是所求的概率为 6. 为防止意外事故，在矿井内同时安装两种警报系统与，每种系统单独使用时，其有效率为0.92,为0.93，在失灵条件下有效概率为0.85求：(1)发生事故时，这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2)在失灵条件下，有效的概率.解:表示系统有效, 表示系统有效. 由题意知从而(1) 所求的概率为.(2) 所求的概率为. 7. 口袋中有只红球和只白球,现从中一个一个不放回地取球,(1) 已知前次都没有取到红球,求第次取出红球的概率.(2) 求第次取出红球的概率.解:

16、 (1)所求的概率为;(2)所求的概率为. 8. 口袋中有只白球、只黑球和个红球,现从中一个一个不放回地取球,试求白球比黑球出现得早的概率.解:设表示白球比黑球出现得早, 表示第次取出白球, 表示第次取出黑球, 表示第次取出红球,则, 且两两互斥,于是9. 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2. 求任取一位射手，他能通过选拔进入比赛的概率.解: 设表示选出级射手,. 表示选出的射手能通过选拔进入比赛.于是由全概率公式得10. 12个乒乓球中有9个新球，3个旧球，第一

17、次比赛，取出3个球，用完放回，第二次比赛又取出3个球.求第二次取出的3个球中有2个新球的概率. 解:设表示第一次比赛取出3个球中有个新球, . 表示第二次取出的3个球中有2个新球.由全概率公式知11. 某商店出售尚未过关的某电子产品，进货10件，其中有3件次品，已经售出2件,现要从剩下的8件产品中任取一件，求这件是正品的概率.解: 设表示已经售出2件产品中有件次品,.表示从剩下的8件产品中任取一件产品是正品.则由全概率公式知12. “学生参加选择题的测验,每一个题目有5个备选答案，其中有一个正确若该学生知道答案，则他一定能选出正确的答案，否则他随机地从5个答案中选一个若该学生知道所有试题的70

18、的正确答案，求：(1)对一试题，该学生选得正确答案的概率是多少?(2)若该学生对一试题已选得正确答案，问他真正知道此题答案的概率是多少?13. 设有来自3个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生报名表的概率.(2) 已知后抽到的一份是男生报名表,求先抽到的一份是女生报名表的概率.14. 口袋中有一球,不知它的颜色是黑的还是白的,假设”该球是白球”的可能性为.现再往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只,已知取出的是白球,求口袋中原来那只球是白球的概率.解: 设表示往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只是白球, 表示口袋中原来那只球是白球.则由贝叶斯公式知15. 甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第次由甲掷的概率.解:设表示第次由甲掷, .显然, ,.于是由全概率公式有从而. . 16. 设,证明:.证明:注意到,不等式两边同除以得17. 设,证明: 的充要条件是.证明: