构造全等三角形的方法-(5页).doc

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1、-构造全等三角形的方法-第 5 页构造全等三角形的方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL” 。搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对

2、集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形（ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 1、如图，在ABC中，AD平分BAC。画一画。法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。法二：延长AC到F，使AF=AB，连结DF。法三：作DMAB于M，DNAC于N。2、如图，DCAB，BAD和ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：ADABDC. 证明：在线段AD上取AFAB，连接EF，AE是BAD的角平分线，12，AFAB AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180，AFEC180，又DFEA

3、FE180，CDFE，DE是ADC的平分线，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 3、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD.求证：A+C=180法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 BD是ABC的角平分线（已知） BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） 1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 在BFD和BCD中 AB=EB（已知） BF=BC（已知） 1=2（已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S） B

4、FDBCD（S.A.S） A3（全等三角形的对应角相等） FC（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等） DF=DC（全等三角形的对应边相等） AD=CD（已知），AD=DE（已证） AD=CD（已知），DF=DC（已证）DE=DC（等量代换） DF=AD（等量代换） 4=C（等边对等角） 4=F（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）， FC（已证）A3（已证） 4=C（等量代换）A+ C180（等量代换） 3+ 4180（平角定义） A+ C180（等量代换） 法三：作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） D

5、NBA，DMBC（已知） N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S） ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 4=C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义）， A3（已证） A+ C180（等量代换） 法四：作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这个角

6、的两边距离相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 4=C （全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义） A3（已证） A+ C180（等量代换）4.如图，AC=DB，PAC与PBD的面积相等求证：OP平分AOB证明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB 6.如图，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAEFAE求证：AFADCF证明： 作MEAF于M，连接EF 四边形ABCD为正方形， CDEMA

7、90又 DAEFAE， AE为FAD的平分线， MEDE在RtAME与RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等)又 E为CD中点， DEEC MEEC在RtEMF与RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF， AFADFC(等量代换)二、利用三角形的中线来构造全等三角形（中线加倍法）1.已知：如图，在ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AEEF求证：AC=BF.图1GCFBAED简析由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DGAD，连结BG，则在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，CDBD，

8、所以ACDGBD（SAS），所以ACGB，CADG，而AEEF，所以CADAFE，又AFE BFG，所以BFGG，所以BFBG，所以ACBF说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形2.已知：如图所示，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACBABC求证：CD2CE证明： 延长CE至F使EFCE，连接BF EC为中线， AEBE在AEC与BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC为ADC的中线

9、， ABBD即BFBD在FCB与DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE三、利用利用平行线构造全等三角形1ABC中，ABAC，E是AB上任意一点，延长AC到F，连接EF交BC于M，且EDFD,试说明线段BE与CF相等的理由简析由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段CF平移到EG，所以过点E作 EGCF，则EGBACB，EGDFCD，由于EDFD，EDGFDC，所以EDGFDCC（AAS），所以EGCF，又因为ABAC，所以BACB，即BEGB，所以EBEG，所以BECF说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低此题的辅助线还可以有如图所示的其他几种方法。2. 已

10、知：如图，ABC中，BAC=60 ，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ解答：方法一、证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则D=5AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，BAC=60，ACB=40，1=2=30，ABC=180-60-40=80，3=4=40=C，QB=QC，又D+5=3+4=80，D=40在APD与APC中，D=C, 2=1，AP=AP,APDAPC（AAS），AD=AC即AB+BD=AQ+QC，AB+BP=BQ+AQ方法二、如图，CBQ=ABC=1280=40，CBQ=ACB，BQ=CQ，BQ+AQ=CQ+AQ=AC，过点P作PDBQ交CQ于点D，则CPD=CBQ=40，CPD=ACB=40，PD=CD，ADP=CPD+ACB=40+40=80，ABC=80，ABC=ADP，AP平分BAC，BAP=CAP，在ABP与ADP中，ABC=ADP，BAP=CAP，AP=APABPADP（AAS），AB=AD，BP=PD，AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC，由可得，BQ+AQ=AB+BP