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1、-概率论和数理统计模拟考试题目和答案解析-第 31 页概率论与数理统计复习题(一)一 填空1.。若与独立,则 ;若已知中至少有一个事件发生的概率为,则 。2且,则 。3设,且,则 ; 。4。若服从泊松分布,则 ;若服从均匀分布,则 。5设,则 6则 。7,且与独立,则 (用表示), 。8已知的期望为5,而均方差为2,估计 。9设和均是未知参数的无偏估计量,且,则其中的统计量 更有效。10在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信水平愈 愈好,而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 。二假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。设
2、某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3,试求: (1)该时期内这个地区遭受水灾的概率;(2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。三高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,又知若敌机中一弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。(1)求敌机被击落的概率;(2)若敌机被击落,求它中两弹的概率。四 X 的概率密度为且E(X)=。(1)求常数k和c;(2) 求X的分布函数F(x); 五 (X,Y)的概率密度。求 (1)常数k;(2)X与Y是否独立;(3);六
3、.设X,Y独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的分布,边缘分布的部分概率,试将其余概率值填入表中空白处.七. 某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.四、解:由密度函数的性质及数学期望的定义,有 即 由知x的密度函数为当x ;当时 当时 五、由(x、y)联合密度的性质有: 即 由可求出(x,y)的联合密度: 故x, y 相互独立。 由知相互独立。六、略七、解:令x为一年内死亡人数,题中10000人投标,每人每
4、年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立,故x N(10000*0.006,10000*0.006*0.994)即x N(60,59.64)设A:保险公司一年内的利润不少于60000元。即A:10000*12-1000x60000概率论与数理统计复习题(二)本复习题中可能用到的分位数:一、填空题(本题满分15分,每小题3分)1、设事件互不相容,且则 。2、设随机变量的分布函数为: 则随机变量的分布列为 。3、设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和,则= 。4、若随机变量服从上的均匀分布,且有切比雪夫不等式则 , 。二、单项选择题(本题满分15分,每小题3分)1、设则有( )。 (A) 互
5、不相容; (B) 相互独立;(C) 或; (D) 。 2、设离散型随机变量的分布律为:且,则为( )。(A) ;(B) ;(C) ;(D) 大于零的任意实数。3、设随机变量和相互独立,方差分别为6和3,则=( )。(A) 9;(B) 15;(C) 21;(D) 27。 4、对于给定的正数,设,分别是,分布的下分位数,则下面结论中不正确的是( )(A); (B);(C); (D)5、设()为来自总体的一简单随机样本,则下列估计量中不是总体期望的无偏估计量有( )。(A); (B);(C); (D)。三、(本题满分12分) 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本
6、因素,比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%,根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率。四、(本题满分12分) 设随机变量的分布密度函数为试求: (1)常数; (2)落在内的概率; (3)的分布函数五、(本题满分10分)为估计一分钟一次广告的平均费用,随机抽取了100个电台作为样本,计算得样本的平均值元,样本标准差为元,在广告费用X的分布未知时,试求平均广告费的置信区间。解答:由于X的样本容量较大,故认为X近似服从正态分布,临界值,于是一分钟一次平
7、均广告费的置信区间为,六、(本题满分12分) 设为来自总体的一个样本,服从指数分布,其密度函数为,其中为未知参数,试求的矩估计量和极大似然估计量。七、(本题满分12分)设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布,今随机抽取9名罪犯,其年龄如下:22,17,19,25,25,18,16,23,24,试以95%的概率估计犯罪青少年年龄的置信区间。概率论与数理统计复习题(二)参考解答一、 填空题:1、 P()=1-p-q分析: P()=1-p-q2、 x-112P0.30.30.4 分析:依离散型随机变量的分布函数可得.3、P=0.5分析: x+yN(1,3)Px+y1=F(1)= ()= (0)=0.
8、54、b=3,=2分析: 二.单项选择题1. D分析: (A)中,A和B互不相容P(AB)=0,但不能反推; (B)中,P(AB)=P(A)P(B)A、B相互独立; (C)中,P(A)=0或P(B)=0与P(AB)=0无关; (D)中,P(A-B)=P(A)2. A分析:由分布律的性质可知:01且=1即=1;由等比数列求和可知:=1=3. D分析:D(2x-y)=27 4. B分析:由各对应分布的分位数性质可得.5. B分析: (A) 显然为总体期望的无偏估计 (B)E(+)=E+E+E=n 显然不是总体期望的无偏估计; (C)E0.1(6+4)=E(0.6+0.4)=0.6E+0.4E=0.
9、6+0.4= (D)E(+-)=E+E+E=+-=三.解答:设A为事件利率下调,那么即为利率不变, 记B为事件股票价格上涨,由题设P(A)=60% P()=40% P(A)=80% P(B)=40%于是 P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(A)+ P()P(B)= 60%80%+40%40%=64%四.解:由密度函数的性质.1) =1+=1=1A= x落在(,)内的概率为.3)x-1时 F(x)=0 -1x0,未知) 试求未知参数 的矩阵计量。4、设某次考试的考生成绩X服从 , 均未知,从中随机地抽取25名考生的成绩,计算得到平均成绩=67.5 分 ,标准差s=10.5 分 ,试问在显
10、著性水平=0.05 下,是否可以认为全体考生的平均成绩为70分?(25)=1.708, (25)=2.0595, (24)=1.711, (24)=2.064)5、已知:n=6, =426, =30268, =21, =1481, =79. 试计算相关系数,确定y关于x的回归直线方程。五、证明题(每小题5分,共10分)1、对于任意的常数C,试证明:.2、设总体X服从 分布,证明:服从分布.复习题(七)参考答案及评分标准(2010)一、单项选择题(每小题2分,共20分)1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D二填空题(每空处两分,共20分)1. 0.56
11、0.38 2. 6/5 4/53.N(0, 1) 分布(标准正态分布) 分布4. 1 5. 三、判断题(每小题2分,共10分)1. 2. 3. 4. 5.四、计算题(每小题8分,共40分)2.解(1)根据随机变量X密度函数的表达式可知,X服从正态N(3,)分布,从而E(X)=3.由于Y的密度, 所以3.解:总体的数学期望为根据矩估计意义有,解得参数的矩估计为4.解 依题提出原假设 由于主题方差未知,在成立时,统计量 t(25)分布所以检验的拒绝域为:| t | 计算 t统计量值:从而接受原假设,可以认为全体考生的平均成就为70分。5.解:依题意计算:n=6 =71 , =3.5,=22 ; =5.5= 10所以,相关系数 可见y与x之间存在及其显著的线性关系。回归系数 b= a=35.773所以,所求的回归方程为 五.证明 :对于任意的常数C由于 0所以 .2.证明 :由于总体X服从分布,有t分布的定义其中 分布,分布,并且Y与Z相互独立,从而, Y N (0 , 1)分布, 分布, 显然,与Z相互独立,所以由F分布定义,服从分布整理人: 刘荣德060404213 黄少捷 060404208 陈本钳 060404202 杨啟炜060404218 徐小凤 0604042
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