半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场.pdf

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1、第3 2卷第 3 期 20 07 年 5 月 声学学报 A C TAACU ST IC A V o l . 3 2 , N o . 3 Ma y , 2 0 07 半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场 * 张碧星 (中国科学院声学研究所 北京 1 0 00 80 ) 2 0 0 6年6月26日收到 2 0 0 6年11月2 1日定稿 摘要研究了半无界层状介质自由表面任意形状的面源产生 的弹性波场 。 首先 , 我们将层状介质中的传递矩阵理论从二维推 向三维空间 , 在频率域研究了任意面源激发的三维弹性波理论问题 。 然后 , 深入研究了Ra yl e i gh 波和Lo v e 波的激发与

2、传播 特性 , 发现 Ra yl e咭h波和L o v e波的传播速度在与自由表面平行的平面 内与传播方位角 0无关 , 但其激发强度却强烈地 依赖 于传播方位角0 。 最后 , 我们具体研究了矩形源 、 无穷长条形源和圆盘激励出的弹性波场 , 并通过数值计算给出了R ayle i g h 波和L o v e 波的位移指 向性分布图 。 PA CS数 : 4 3 2 0 , 4 3 . 35 E la stie w a v eexeite dby a Plan esoure eon the sur f a eeo f a m u ltils y e r ed m ed ium ZHA NGB

3、ixing (爪 sttote o f A e o。t坛e s, T h e C h :。e se A e a dem, o f Se云 eoee s B ei jing 10 0 0 80) R e e e iv ed Ju n . 2 6 , 2 006 R evis ed No v . 2 1 , 2 0 0 6 Ab strac t Ela stiewa v e s e x eited b y a pla n esoure e w ith anarb itrary sh叩eon the su r iae eofa m ultila手吧r ed m ediu m ha v e b een

4、stu d i ed . Atf i rst, ZD ela s tiewa v ef ield ina m ultil叮e red m ediu m 15 ex tend ed to3D spaee , andthepropagation ofela s tiewa v e 15 stu diedinth e f r equeney d o m ain . Then , the exeita tion an dp r opag a ti ono ftheR即l eigh and Lovewa ve s a reanalyz ed f u rther . It15f o u nd tha tt

5、hep r opag a t ion velo eity o ftheR叮l eigh and Lo v e wa v e s d o es not d ependon thep ro Pagation a z im uth 8 in thePlan e pa ra l lelto thef r e esurf ae e ofthe m ultil叮ered m ediu m w hile thedispla eemen t amplitude ofthe R叮l eigh and L ove wa v e s 15 strong lyd epen d e n t on the a z im

6、uth 8 . Fin ally,the elastie f i eldsexeited 饰 a re etangles oure e,strips our e e w ithinf initelength , and eireu l a r disk sour e e are stu di ed , and the o retieal repr e sen tation andn u m eriea l re su lts o fthedispla e em ent dir e etivity dist ribution both o ftheR叮leigh an d L o v e wa

7、v es are obta in ed . 层状介质中弹性波的传播在无损检测(ND T) 、 薄膜检测 、 超声成像 、 地球物理等领域都是十分重要 的研究课题 。 传递矩阵法是研究层状介质弹性波传 播的一个重要而又有效的方法 , 大 部 分研究者都采 用这种方法卜 ” , 早期的传递矩阵法存在高频有效数 字丢失现象 , Ab o 一z en a 【 , 0 和M enkel, 提出了一种 避免高频有效数字丢失的方法 , 后来一些其它方法 也不断地被提出 l 2 一“7, 使层状介质中的弹性波理论 逐渐地得到了完善 。 在超声 N D T 中 , 通常用 一个压电换能器在介质 表面进行 激发

8、, 换能器在电信号激励下沿厚度或宽 度方 向产生振动 。 Mi l le r【z s l研究 了均匀无界半空 间 *国家 自然科学基金资助项目( l0 3740 95 ) 表面一个无 限长的压 电条或压 电 圆盘沿厚度和宽度 方向振动时产生的弹性波 , 汪承颧【 2”,s 0 l 等研究了均 匀半空间压电晶体表面任意面元激发的声场 。 我们知 道 , 层状介质是一维结构 , 而任意源在层状介质中的 弹性场是一个三维波场 , 然而到目前为止 , 所有关于 层状介质的参考文献研究的都是二 维波场 , 即使是 三维场 , 也只是建立在体系具有轴对称性的情况 , 这 时的波场可以在柱坐标系下严格给出

9、。 对于处在层状 介质半空 间自由表面上 的平面压 电源(例如矩形源) 激励出的弹性波场 , 还未见到有关的研究报道 , 这种 情况下的弹性波场在科学技术快速发展的今天显得 越来越重要 , 也将是以后 的一个重要发展方向 , 层状 介质表面任意形状面源激励出的弹性波场研究将为 无损检测或其它应用领域提供重要的理论基础 。 194 声学 学报 2007 年 在本论文中 , 我们在A bo - - z ena o 、 M enke 川和 z ha ns l l g 的基础上首次研究了层状介质表面任意形 状面源激励的三维弹性波场 , 并深入分析了Ra y l e ig h 波和 Lov e 波的位移

10、指向性分布函数 。 其中 k;= 、/ 岭 , k 3 = 、/V s , 、 为 角频率 。 引入关于 x 和 军的二维傅里叶变换 : O O 产 / J 飞 厂 了 了 一 叨 几 / 了o o 舟 I 了J 戈 关 产 / 了 加 厂 了了 1 传递矩阵 考虑由N层均匀各向同性弹性固体介质组成 的 层状半空 间 。 我 们采用 直 角坐标系(x , y , 司 , 其 / 轴 方向指向介质内部 , / =0 为第一层介质 的自由表 面(图l ) , 第j层介质处在 平面 / = 勺 一; 和 / = z, 之 间 , 其厚度 、 纵波速度 、 横波速度和密度分别用 h, , 岭 , ,

11、V s ; 和巧表示 , 为方便 , 在不引起混淆的情况 下我们将下标 j 省去 。 沪(x , 夕 , 二) = 例 x , y , 司 = 灭(x , 梦 , : ) = 价(k 二, k。 , : ) e(k + k “)d k二d k, , 砂(k 二, k, , ; ) e,(“!+“”)d k二d 无。, 义(k 二, k, , : ) 。(“之+无“)d 儿二d 、。 , 一(一 C心 (3) 其中 k 二 和 k, 分别为 x 和 夕方向的波数 , 我们将在 波数域(k 二, k,)研究弹性波场 。 从方程(2)和(3)不难得到 : i i i i i ( 月 , 2 +k:p

12、 ) 必(k ! , k一,一。 , /护 _ 。 、 _ 又厕 +“刁劝人“如 少一 。, 戈 4) r全 J 之 月 , 2 +“: )、(“一 ” 一, 一 o , 其中从 , 习每而 , 一斌 砰邢 , 称 = 训 买 爵可为 x o夸平面内的波数 , 棍 ; 和棍 , 分别 为 P 波和 S波在 : 方向上的波数 。 从而 , 位移势可表示为 : k x棍棍 苗 劝 义 图 1 层状介质模型 二, k, , z 二, k, , 之 由下式引入位移势 纵波) 、 劝(S V波)和斌SH , 无、 , 之 )= A e 儿; +刀。一 k 二 “ = 价 + + 沪 一 , )= e k

13、二+ D e 一,k二 = 劝 + +劝一 , (5) )= 刀e“二 “ +F e 一火二 =义+义一 波) 这里 , 价 + , 劝 + 和 x + 表示沿 : 轴正方向传播的波 , 而 扩 , 劝 一和 x 一表示沿: 轴负方向传播的波 。 定义下述位移 一 应力矢量 S和位移势矢量毋 在频率域 V价+V X (灭 e 二 )+V X V x (劝 e : ) . (1) 位移势满足 : (v Z +k勇 )功二 0 , (甲 2 +k了 )灭 = o , (v Z +k彗 )劝二 0 , (2) 了 / 、 T l_IU,U , T , 丁, , U , 丁, , ” 一 气 渝舒示

14、, 示 , 渝求少 一( e ) ( ,一 (护 , 沪 一 , 、+ k , , 、一“ , 扩 , 、一 ) l . 不难发现 : S =几 丁毋 (7) l二 一补 夕(甲一1) 一脚补l x l。 一脚介l, l x 饰 户(守一l) 门补l x l、 一用知l。 一lx守 , 1 一户勺守 。 户(守一l)lx 一l。甲 占 户(守一1)l, 产 价守 , 户(守一1)l二 l,守 , 户(守一l)l, l。 0 O 一刃守 , l, / 2 一l, 脚, J I二/2 l。 0 O 脚守 32, / 2 一l, 一用守 。l二 / 2 (8) 其中 k : p 二 z呈十l蓦 ,=

15、2嵘/心 , 补 i k 二孙, 棍 。 = 一 办 异五万 /k r , 一 、 撅不可/k t , 呱 、 守 , l二二无 二 /林 , l,=无 , / 丸 二, 时复杂得多 。 , “ , 9 , 2 1 。 如果 波是沿着 x 轴传播 ( l 。= 0 , z 二 = l ) , 那么 1 。 方程(s )表明三维空 间的弹性波场比二维 3 期张碧星 : 半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场 1 95 飞 1 r 甲 “ 几呱= MI , _ 。 = V 一妙 1 一守p p(守一 l ) 一户勺饰 0 0 1 饰 户(年一1) 不均 守p 0 0 一户勺守 s 户(守一l)

16、0 0 户守守 s 户(守一1) 0 O 0 O 0 0 一1 用守 , / 2 0 0 0 0 一1 一用守 s / 2 ( 9) 这里几么 即 为二 维情况下 相应的矩阵 l 0 ,1 1,1”,“l 可以发现 : M = a M6 , 保持不变 , 而( 二二 , 二。)和 (几 二, 几 、) 由绕: 轴旋转角 度 。= ta n 一 (l, /l 二) 的旋转矩阵相联系 。 因此逆矩阵 ( 10) a一l 表示绕 : 轴旋转角度 一。 的变换 。 O 0 与 00 00 O0 . 上 一l。 0 O 00 00 1 上 01 00 00 00 (1 1) 。一 1= 01 O0 O0

17、 00 (1 2) O 与 ol x0 0几O 夕 0l xo一 军 l x 00 0一o / 口 了. . . . . . . . . . . . 龟 、 、 、 、 , . . . . 1 . . 刀 z V ,口 乙 0 0 0一ol x 00l x0o 几 o 勺 l x 0 0 0 与 O /了 . . . . 1 . . . 1 龟 、 、 这表明矩 阵 M 能够由从b通 过绕 : 轴旋转角度 a二ta n 一 1 伪/l 二 )而得到 , 在这个变换中 , 。二 和爪 : a 和 a一 与介质参数无关 , 只 依赖于旋转角度 。 从而逆矩阵M可表示为 : M 一 = 从厂 a一

18、( 13) 守一1 2补 守一1 2为 守 2 1 2用p 1 2用p 1 2P 1 2 P 0O 上 2 P生知1 一一 守 一2 呵于 1 = 年 2 甲一1 2守 s 守一1 2守 s 2门 s 1 2用 s ( 14) 11 甲 一 0 2 户勺守 s 1 q,土 子卿守 s 不难发现 毋(勺)= 入毋(勺一 i) , (15) 其中 : 入= d iag(只p 一1 , Q , Q 一1 , Q , Q 一1 ) , p= 。一、称h , Q = 。 一、 称h , h二勺 一勺一卜 因此 , s( 之, )= M 毋( : , )=M 入毋(勺一 1)= M 入M 一s ( z ,

19、一 1 )二 p( ;, , 勺 一1)S (勺 一1 ) , (16) p (勺 , 勺 一 1 )= M 入M 一 = ap。(勺 , 勺 一l)a一, ( 27) p 。(勺 , :, 一 1 )= M0 入MJ I . ( 15) 其中州勺 , :;一 : )和 p o(勺 , 勺 一 1 )分别为三维和二 维情 况下 的传递矩阵 , 方程(17)对于层状介质中的任意 两点都是有效的 。 传递矩 阵 p 。(勺 , 勺一 1)是一个准对 角矩阵 , 然而 , 在三维情况下 , 传递矩阵叫 :, , 勺 一 1 ) 不再是一个准对角矩阵 。 从而 , 在 : =O和 / 二 :N一l 处

20、 的位移 一 应力矢 量由下式联系 : S( : 、一 1)= p ( z、一 1 , :。)S ( :0)= 叩 。(“、一 1 , : 。)a一 15 ( ;。) .( 19) 2 位移场 当 / 趋向无穷大 时波场应 趋于零 , 这表示第N 层介质中不存在沿负 : 轴传播的波 , 因此 : 价 + 0 砂 + k 二 0 x + O 二几蝠 p ( 二、一, , :。)s ( :。)= ( 20) z = 名N_ l+0 ( M0 )凡 p。(:、一1 , :。)a一 S (句) , 19 6 学 20 07 年 为方便 , 我们引入 着 P 一SV 和SH波 , 方程(2 0)表明 :

21、 W 一“一 “一,一 ( l 二廿二 +l,u , ik , t L Z 几 之 k 二 公2 一 . , 一 ,一 ,、 T ( z l ) 竺 二芝二二丝全卫三 三 当l二 如丝生 竺l红卫里生、 石 ,2 福 冬 ; , 2 1 , 一二,孟胃 / 和 H 二 ( M0 )凡 po ( : , 一 : , :。) . 矩阵H能够表示为 : (22) ( ;淤 5 )(淤) 声洪 6 ) 淤) 一 ( 24) 矩阵H的意义和 二维情况下相 同 , 可 以证明 l , 例: ?夕和肠 、 、 l l r l / 矛 饥眺饥 了 / 了. . . 、 、 、 、. . . . . . . .

22、 . 户 / 口 崛一成 00一 卫 酬 望 职砂一酬砂一犁 / 、 一一 、 、. . . 夕 / 苦 W l哄哄 /召 了 . . . 飞、 、 、 、 e e l e e e s e e . s e . w e e s l . e s 0 0 0 0 H 6 H S H = H i4 O H 24 O H 3 4 0 H 4 4 0 0 H 5 5 0 H 6 5 (23) O0 H l s崛崛成 0 。 成成如崛 0 。 ,土 工 1 11.上 H l场场从 0 0 / 了. s e e e w e e e e s . s e . s e l . e e 、 、 这里从只三 4 , j

23、兰4)和从 。(乞 4 , , 4)分别对应 其中月 l ) , 宾l ) , 宾 l ) 和 属 , 的意义见文献 1 1 献1 9 . 因此由 (2 1)式可 以得到 : 、 、. . . . . , 了 / 竺 沪 三耐互耐 一 影 嵘 一 会 ,; 影 l x (2 6) 了域 1 ) . 几 6 、 , l一一,二二十 二二一.乙,、 只玉 工 月6 51 一 、 O / 带 望 酬 箭 分母为 属 ,和 场 。 的矩阵元分别对应着P 一sv 波和 SH波 。 如果弹性场是由自由表面上 的应力分量几 : 激发的 , 那么 : 这时 P 一SV 场和 SH 场都存在 。 在得到 自由界

24、 面上 的 位移应力分量 后 , 由传递矩阵就可得到任意一 点 的 位移应力分量 , 由于篇幅的限制 , 以下只讨论 / 二 0 面上的位移应力分布 , : o 时的位移应力分布具 有类似的结果 。 3 场的空间分布 首先 , 我们考虑几 二 激发 的情况 , 由(2 7)式 , 自 由表面 : 二 O上 的位移 分量在空 间域可写 为 : 名 之 黔黔粉 一一一一一一 这时只有 P 一SV 的 , 那么 : 如果场是由应力分量 (27) 几 二 激发 刀二 ) J 劣万 之 。U肠U7勿 了. . . . . . . ., 、 . . . .J z二几 二ei(儿+ 无“夕)dk二d k、,

25、 厂 望 ,2、 塑 12 、 戈畔 , 场 5 一 丫 壳 r 丁几 , 了瓦1 ) . 凡 6 、 = l一 一六二 十二二- 珍 、凡 , 月6 5/ 尽 、典 二 二, (2 8) k 二 砚 , 一i、2或1) l x几 x , 越兰 豁 硕 W Mj寻 坷 艺 争 l。几 二e i(人二+ 儿夕)d无二d 无, , 几 之ei(k+ ky ”)d 无 , d丸、 (29) 材工 甘名UU 廿 了. . 里. . . . . .J、. . . 3 期 张碧星 : 半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场 197 在极坐标下表示则更 为方便 ( 洲了,、 毛r冬2刀、l) 二二址了竺上

26、兰竺一 . ,2 1 。(1) 如 _, 户州 、 认 6 U d / 二 (“ 一、)。S、 “一(一“,d、 , 、 、.了 ,. .明 0 却 “ 八O ; 7 一 、 了 争 d 天 了 二 (凡一, 51 “rr c。 甲一“ d一 一 、 了 军 d 无 j (、 一, “r个c“s( 一“ d沪 , 其中( : , 0 )和恤 r , 司分别为空 间域和波数域中的坐 标 。 在(3 0)式中包含了纵波 、 横波和导波(Ra yl e i gh 和Lo v e 波)的各个模式 。 为以下的分析方便 , 将(3 0)式对 k r 的积分改为从 一c o 到c o , 即 : 爪 二

27、(k 二, 口+钾)e无 ,rCos d 无 二 , 减一玲 产 / Js o o 钾 d 沪 S V O 。二(: , 。)一 扁 。(: , 。)一 乡 二二 ( , , 。)一 赤 sin 沪d沪 厂 鲜 黑二 J 石么 一产 一. 嵘砚 爪 二 ( k 二, 0+沪) ek 子“0 甲d 、二, ( 31) 嵘砚 ) 砚 , 几 二 (k 二 , 0+沪)e 无r C osd 天 二 . 仪夕厂 户 JS 护 d 巾 产 / J 砂谁 r / J 巾巾 产 I J 砂 一一一 这 一推导 过程可参见附录 1 。 我们再来考虑 几 二 激发的情况 , 这时自由界面 : 二0 上的位移空

28、间分量由( 25 ) 式进行类似的推导过 程可以得到 : 二二 ( : , 0)= 一二/2 二/2 下瓦l ) 。 _ 、 从 。 。 1 。 d沪 1 1首五 co s(以+ 沪)+ 石拼sin (0 + 爷)无卖几二(k 二 , 0+钾)e ,凡”rc。”沪 d k 二 , 众 L石6 1 65 侧 广 / J 1 一 沪 二。(: , 0)= 共/ C。s ( 。、)Sin ( 。、)d、 / 甲 一 J J 一二/2 二/2 ( 霎 一 李、 、 ;二 二 (* 二 , 。+、)i一d “一 ( 32, 力6 J J 的/ 。二 ( : , 8)= i公2 f 一( “+、)d、 f

29、 一二/2 E二 ,) _ 。 剪 凡:几 ( 口+沪,“伍比 甲d k 二 4 导波 (3 1)和(3 2)式中的无 r 积分(从 一c o 到o o)沿着 无 二 平面上 的实轴 , 如果用 f表示(3 1)和(3 2)式中 的被积函数 , 我们在实轴和上半平面上构筑一个围 R 道 积分 了 fd“ 一R 如果 + f C 尺 fd k 二, 并令 R丹c o , 心 升c o , f d k 二C 生4 o c o , (3 3) 那么 , 与实轴和 上半平面内极 点对应的各个模式对 弹性波场的贡献就可由极点的留数给出 。 这里 , 我们 只讨论处在实轴上对应于导波的极点的贡献 , 这些

30、 导波又可分 为Ra yl e ig h波和 Lov e 波 , 它们分别属于 P 一S V 和SH波 。 一般情况 下 , 由于位移场积分函数中包含指数 因子 e k rr“05 甲帅任 卜二/ 2 , 二/2) , 从而条件( 3 3)式 自 然得到满足 , 事实上 , 有限大小的声源激发的声场在 空 间是收敛的 。 在 几 二 激发下 , 只有 P 一SV 波场存在 , 这时 Ra y l e igh波位移由相应极点的留数给出 : 厂 了J 以 198 20 0 7 年 二介 ( : , 0)二 。舒 ( r , 0)= 7 T 嵘砚 , 、Za砚)/a 、 , 诚矛砚 ) 、, 。砚/

31、。k 二 几 : ( k , 0+ 甲)e o s沪e儿 rCos d爷, 几 : ( k 二, o+沪)sin沪e,无 rrCoS 沪d沪, ( 34) 佗 .2 2 卜 ZT 耐 / 川 叮 / 可 巾 / 巾 _:。2。(l ) n ,_ . 了11几J山匕 门注tl L J 、_ , J “ , 火 , L ,j一一一户一一万不刃, 一一 ,2 月尸戈人j/月乙 胃 口召6/口丹r 爪 : ( k 二, 0+ 树 ei无, rCos 甲d沪 这里 , k r 不再 是积分变量 , 而是一个与频率有关的 量 , 具体由下式来确定 : 成 , =o , (3 5) 上式即 为 R a y

32、l e i gh 波频散方程 , 与波的传播方位角 e无关 , 这表明 R a y l e i gh 波的频散特性不依赖于传 播方位 , 然而 Ra y l e i gh 波 的位移却强烈地依赖于传 播方位 。 在二维 面元激励下 , 在不 同方位上 , 弹性波 场诸分量具有不同 的特性 , 从而 贡献出不同 的位移 强度 。 在 几 二 激励下 , (3 2)式表明 R a y l e i gh 波和Lo v e 波 同时存在 , 对于 Ra y l e igh 波 , 频散方程仍为(3 5) 式 , 其位移为 : 7 T无 莽砚 , 、2。砚 /。、 7 Tk尹 砚 ) 、Za 万; /。

33、 、 7 T 磷E二 。,a砚 /。、 , 几 二 ( k 二 , 0+护)eo sZ ( 0+沪)。 儿 rr Cosd甲, 几 二 ( k 二 , 0+甲)e os(0 + 尹)sin ( 0+沪)e 火 frcos 沪d甲, ( 36) 几 二(kr, 0+沪)eo s (0 +沪)。人 r eos 沪d沪 。 长 。 派 。 户 砂 在极坐标下位移分 量则表示 为 : 了 厂 了 叮司了厂 了口 2 7 T 鲜砚 ) 、2。宾 /ak 沁 。2。砚 /。、 诚矛 衅 , (37) 、,。砚 /ak 二 几 二( k r, 0+沪)eo s(0 +沪)e o s沪e k ” “05 d沪

34、 几 二( k 二 , 0十沪)eo s(0+沪)sin护e 凡 ,” “05 尹d护, 二(无, . , 口+ 尹)e o s(口+沪)。 人 rrCOS d沪 . 一二/2 对于 Lo v e 波 , 频散方程为 : H肠= 0 (38) 其位移分量可由( 3 2)式推导得到 : 。夕 ( r , 0)= 戒嵘凡6 、2口H 6 5/ ak 二 爪 二 (k 二, 口十 沪)sin ( 乡十 护)。in沪e k rrCOS d沪 (3 9) 几 , ( k 二 , 0+尹)sin ( 0+钾)e o s 沪。 天r Cos d护, 。 / 洲 户 。 。舌 ( r , 0)= 们嵘凡6 、

35、2口 H 6 5 /a k 二 。夕 ( r , 0)=O 同样表明Lo v e 波 的频散特性与传播方位无 关 , 但其 位移分布依赖于方位角 e 。 ( 34)式 、 ( 36)式 、 (3 7)式和(39)式表明 : 在 同 一面元激励下 , 对于不 同 的层状结构和 不 同 的导 波 模式 , 导波位移与传播方位 的关系(即位 移指向性分 布函数)都是相 同的 。 3 期 张碧星 : 半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场 19 9 5 不同类型声源的激发 在这部分 , 我们将给出由矩形源 、 无穷长条形源 和 圆盘形声源激励的 Ra y l e i gh 波和 Lo v e 波的位

36、移 分布 。 5 . 1 矩形源 考虑一个矩形源S 0 , 分布在!x l三 a 和引三b 内 , 在 几 二 激励下 , 我们假定 7 - z 二 在 : 二0 的平面上 满足( A 6)式而其它应力分量为零 。 这时 b 一 “二d/ 一 “二d。 一T ( 、,/“, , 270 90 02 0 . 15 。 产 / J 一一沪r , 丸 Z 几 、 尹 、 .,z 0 ,1 44 廿 1 1 胜、 其中 T (司 二 sin (k 二a eos沪)sin (k 二b sin 沪) CO S 沪 s ln 沪 因而 R a yl e i gh 波位移为 : 。夕 ( : , o)= 4二

37、刀二 / T (“+ 、, 一 、 “ ! 子 ? Za 属 , /”“ 几弄 2 eos 沪d沪 u 舒( r , 0)= 4二砚 f T (“+ 沪, Sn 沪 / , 。巍 , /“k二约 2 ei儿rr Cos 沪d沪, 270 902 60 ( c ) 4二i砚 , 。Za宾, /口、 二/2 。梦 ( : , 。)= : 或 T(o+沪)。,无 rrcos 沪d甲, (42) (4 2)式表明 Ra y l e i gh 波位移与传播方位有关 。 图 2 给出 了 Ra y l e ig h 波位移与传播方位的关系图(即位 移指向性分布图) , 给出了 Ra y l e i gh

38、波位移各分量与 传播方位的关系 , 图 2 中 , 无 , a =1 , k r b=3 , k r : 二1 0 。 可 以发现 R a yl e i gh 波分量 。在0= 0 和 0二7 r /2时为 零 。 在 几 二 激励下 , 几 二 (k 二, 树 =4T (司/嵘 , R a yl e ig h 和 Lov e 波位移分别 为 : 图 2 矩形源在几 二 (a ) 。二 分量 , 、 ; 一尸/ 300 270 激励下 R a y l e 咭h波位移指向性分布图 (b) 二o 分量 , ( e ) 二二 分量 二尹 ( : , o)= 4二i宾 , 、2。成 /a k 二 。舒

39、 ( : , 0)= 4二,砚 , 。,a砚 /。、 4二砚 、Za砚 /。、 二 T (口+ 沪)e o s(o+甲)。0 5沪e k rCos 沪d沪, T (0 +甲)e o s(0+沪)sin沪e 儿r r“05 甲d沪, (43) T(0+沪)e o s(0+沪)。无 r eo s 沪d甲, 啼 J ; 一丫 “.印 一JJ 井 i 了 叭 了了 口 困 7叭22 ; /z户口 户 。梦 ( r , 0)= 20 0 2 0 0 7 年 T ( 0+尹)。in ( 0+护)sin甲e 人r r“05 沪d尹, 司 舟 了 了 了 。夕 ( r , 0)= 4介iH 6 6 、Za场5

40、 /口k , 一7 T/2 二台 ( : , 0)= 4汀iH 6 6 、2aH 6 5/ 口k r 7 r / 2 f T ( “+、)S (“+ 、)一、1、 r 一 d、 , 二/2 ( 4 4) 。誊 ( : , 夕)= o , 图 3 和 图 4 分别绘出了几 二 激励出的 Ra y l e igh 和 Lov e 波的位移指向性分布(即位移与传播方位的 关系)图 , 图中参数和 图 2 中的相 同 。 可以发现 , 对 于 R即l eigh 波(图 3) , u, 和 。二 在 8= 二/2 时为零 , 12。一少鉴气。 ( a) 而 u。 在 0= O 时 为零 。 对于 Lov

41、 e 波(图 4) , 。, 在 0= 7 T / 2 时为零 , 而 。 在 0= o 时为零 。 事实上 , 矩形源激励的 R a yl e i gh 和L ov e波位移 指向性分布函数与从场点到矩阵源中心 的距离 : 有 关 , 当 : 改变时将会得到不同 的指向性分布图 , 但是 对于远场 , r 远大于 波长和 矩形源 的尺度 , 那么指 向哇分布图将与距离 : 无关 。 5 . 2 无穷长条形源 考虑一个处在!x l 三 同样假定应力分量 a 内在 (或 为 : 夕轴上无穷长 的条形 爪 二) 在条形源上均匀 e一 i无,ydy = ( 4 5) 从 因 丹 / 了 源 , 分布

42、 在 几 : 激励下 e 一ik 二x d x 。 了 厂J 一一 几 : (k r, 树 , sin (k xa ) 。,、月_ sin (儿 二a e o s沪) 。, 、 任7 T 0吸凡 , J=任开 0(岁J ,舟 、 汀 / ,月艺 、 ”八?几二七t J乙铸 6 0 (a) 3。 , 、 5 粉 书 2 7 0 902 60 (c) 2 7 0 9 008 60 (b) 2 40 、 一一一/ 300 2 70 图3矩形源在几 二 激励下Ra yle igh波的位移指 向性分布图 ( a ) 二, 分量 , (b) 二。分量 , ( e ) 。二 分量 240、一一一产/300

43、2 70 图4矩形源在几 二 激励下L o ve 波的位移指向性分布图 ( a ) 。二 分量 、 (b) 二。分量 3 期张碧星 : 半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场 201 其中占为 Dir a 。 函数 。 利用( 34)式可 以得到 : 。梦 ( : , 。) “梦 ( : , o) 。梦 ( : , 乡) 一4二2刀二 , 一 。Za砚,/。、 , 511 1 ( k , a ) e人 , 以及 。全一。尝 一 岭 一0 . ( a s ) 方程(4 6)一(4 8) 结果与我们物理 分析的结果是一致 的 。 =0 , E ; 1) _4二2iE 言 , 、2。砚 /”k 二

44、 sin (k 二a ) e 人x , 在 几 二 激励下 , (4 6) 5 . 3 圆盘形 源 这里只考虑几 二 激发 。 假定圆盘半径为 a , 几 : ( x , 功 在盘内均匀 分布 : 成 1) 。梦 ( : , 0) “梦 ( : , o) 。梦 ( r , 。) 。Za砚)/。、 r sin (k 二a ) e无, , =0 , 一4二2 砚 , 、2。 砚 /a k 二 sin ( k r a ) ek x, 二 ( 一 、,一/ d 了 一 一 ,d“一 27 T Jl(、 二)/、 二 00 ( 47) ( 4 9) 为方便起见 , 我们先对 尹 进行积分 , 利用(3

45、0)式 , 可得到 : 助 产 / JO舒户 / 沙o断产 / J。 燮 酬 8 几 / 口 08丹 / 护08 l 一 护 1 一 沪二二(r , 0)=dk 二 几 z ( k 二, 沪)e o s(沪一0)e 无rr “0 5 (沪一“)d尹 , d k 二 几 二 ( k 二 , 沪)sin ( 甲一0)ek r“05 (沪一“)d沪 , (50) 马山r 不 走.凡 一 。(: , 8)= 。二 ( 二, 。)一 六/ J d k 二 几 二 (k 二 , 沪)e 儿r COs(沪 一”) d沪 . 翌 酬 将(49)式代入(50)式得 : 加 八 / J。 阮 尹 / Jo Jl(

46、林a ) d k 二 co s(沪一 0)e 无r Cos(一口)d 沪 , ( 3一L r 一 ,产 了陀 一 仁) O 2二ai f U价吸7一口 I 二二一 吧丁 l 厂,芯 , 砂 J 0 。(: , 0)= 刀二 1) J 2汀ai f无 , E态 少 了 一二一止望- 一- ,.2 1 一 1 、 胃 J 乃去 U 廿 Jl(k r a ) d杯 sin (沪 一0 ) e 儿r cos(沪 一口) d沪 , (5 1) ( 5 一 l r 一 了 上 O ,。、 2二a f U , 吸了 一, 口雳二二- -气二 I _ 、,了,Z , 胃 J 2介 Jl(“二,d “ f一“一

47、(一“,d 、 0 利用 宾 , 为 k 二 的奇函数 , 从而(5 2) 式可写为 : o o 产 l 尸 e k rrcos(剧)d 沪 =2二J。(k r : ) , 。二(: , 0)= 2汀Z a k 二砚 eo s (沪 一0)e,儿 rr “05 (甲一“)d甲= 2二iJI (无 二r ) , 。 : ( : , 0)= 公2 2介Z a J, (、 二a )H )(、 r: )d 、 二 , i c o o 公2 j k 二 砚 ) 砚 一 C 宾 Jl(、 二a )H名 , (、 rr )d、 二, (5 3) sin (沪一0) ek , r cos (剧)d沪= o ,

48、 其中H各 (称约和 H , (k r 约为 。阶和1 阶 Ha nk el函 数 。 很容易发现(5 3)式中的积 分函数在 k r 上半平面 内 , 在 r 七 a 的条件下 , 当心升 c o时趋于零 , 也就 是说这时条件(3 3)式是成立的 , 因此 , Ra y l e ig h波位 移为 : 既 产 / J。 既 内 / J。 浙 . / J。 可得出 : 月一2 /八、 , 八 “ Urt了一 口 t 二二 一 , 了,咨 如砂 。(r , 8)=0 , k , 瓦 ) 口 Jl(k 二a )J l(krr )d k 二, (5 2) 2二3k 二a 以 ) 砚衅 产 / Jo

49、 。尹 ( r , e)= 4吓Z a 无 二 Jl(、 二。)H )(、二r ) , 冈 产 / J 。二 ( : , 0)= (5 4) 宾耳 国2 1) Jl(k , a )J 。(k二: )d k 二, 。梦 ( 二, 夕)= 2介31 0 可以发现恤 , 91: 林a砚 , , 和成 , 为杯 J l(、ra )H吕 (、 r : ) . 的偶函数 , 而 、, 。磷 ,/ ”k 二 2 0 2 声学 学 报 2 007 年 类似地 , 对于 r a 有 。厂 ( : , 0)= 2开31 2 称a砚 , 。E ; )/ a称 H (、 二a )J , ( k 二r ) , (5 5) 。梦 ( : , 。)= 2井31 公2 林a砚 ) 。砚 /。林 H (、 r a )J 。(k二: ) 6 结论 论文研究了层状半空 间自由表面上任意平面源 激发的弹性波场 , 深入研究了三维弹性波 的矩阵 传播理论 , 并着重分析了导波的传播特性 , 给出 了 Ra y l e igh波和Lo v e 波位移的一般表达式