空间角的求法(11页).doc

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1、-空间角的求法-第 11 页高中数学知识专项系列讲座（十三）空间角的求法（1）定义法求解空间角的大小，一般都是根据有关角的定义（如异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角），把空间角转化为平面角来求解的。例1、如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，E、F分别是、的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）ABCDEFMO图2BACDEFO图1A、B、C、D、解：（方法一）如图2，取的中点M，连结MOO为底面中心，O为BD中点，从而FO为的中位线，四边形为平行四边形，故（或其补角）即为异面直线和OE所成的角。在中，OE 由余弦定理得： 故选B（方法二）如图3，取的中点N，连

2、结NF、，易知NFEO，（或其补角）即为异面直线和OE所成的角。在中，由余弦定理得： 故选BBACDEFO图3NBACDEFO图4PQ(方法三) 如图4，设BC中点为P，PC中点为Q，连结、EQ、OQ、OP，易知（或其补角）即为异面直线和OE所成的角。在中，由余弦定理得 故选B点评：求异面直线所成的角，一般都是通过“选点平移”将异面直线所成的角转化为其面相交的两直线的夹角来完成，但要特别注意两条异面直线所成的角的范围是。例2如图5，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=PC,E是PC中点。（1）证明PA平面EDB；BPEDAC图5PECDABOF图6（2）求

3、EB与底面ABCD所成的角的正切值。（1）证明：如图6，连结AC，AC交BD于O，连结EO，底面ABCD为正方形，点O为AC中点。在中，EO是中位线，又平面EDB，且平面EDB，平面EDB（2）解：作交DC于F，连结BF，设正方形ABCD的连长为。底面ABCD，F为DC的中点，底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中：中，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。点评：求直线与平面所成的角的关键是抓射影，而由斜线上一点作平面的垂线时，需要确定垂足的位置，然后再将这个角放在三角形中利用三角形的边角关系求解。例3、如图7，在棱长为1的正方体ABCDA1B

4、1C1D1中，AC与BD交于点E，C1B于BC1交于点F。（1）求证：AC1平面BDC1；B1C1图7ABCDFA1D1BHB1C1图8ABCDFA1D1（2）求二面角B-EF-C的大小。（结果用反三角函数值表示）（1）证明：底面ABCD，在底面ABCD的射影，又， 同理 AC1平面BDC1（2）解：如图8，取EF的中点H，连BH、CH。 同理是二面角B-EF-C的平面角。又E、F分别是AC、的中点，是两个全等的正三角形，故：。 二面角B-EF-C的大小为点评：求两平面所成二面角的大小，一般是先根据二面角的定义，作出二面角的平面角，然后在三角形中求解。（2）垂线法当已知条件中出现二面角中的一个

5、半平面内一点到另一个半平面的垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线），可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解。例7、如图16，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1） 求证：AM平面BDE；（2） 求证：AM平面BDF；（3） 求二面角ADFB的大小；MCDABEF图17OMCDABEF图16MCDABEF图19GHMCDABEF图18（1）证明：如图17，连AC、BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF=1，AC=2。分别为AC与EF的中点，四边形AOEM是平行四边形，又OE平面BDE，AM平面BD

6、E，平面BDE。（2）证明：如图18，平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF。 ，AOMF是正方形，由三垂线定理得：同理：，平面BDF。（3）解：设，由（2）知平面BDF。如图19，作交DF于G，连结GH，由三垂线定理知，是二面角A-DF-B的平面角。又，。二面角A-DF-B的大小为点评：利用三垂线定理或其逆定理作二面角的关键是找垂线，即过其中一个半平面内的一点作与另一个半平面垂直的直线。例8、如图20，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为棱AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求（1）该三

7、棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长；（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小。（结果用反三角函数表示）MCAA1B1C1BNP图22P1HMCAA1B1C1BNP图21P1MCAA1B1C1BNP图20解：（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为（2）如图21，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转1200使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。 设PC=，则在中，由勾股定理得：（3）如图22，连结PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线。作于H，又平

8、面ABC，连结CH，由三垂线定理得：，。在中，故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为点评：当两个平面的交线不清楚的时候，首先应探求出这两个平面的交线（即棱），然后才能求其二面角的大小。（3）垂面法在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。例9、如图23，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明：平面PED平面PAB图23（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值。 (1)证明：底面ABCD是菱形AB=AD，DAB=60，ADB为等边三角形又E是AB中点，ABDE又PD

9、面ABCD，PE在平面ABCD上的射影为DE，ABPE（三垂线定理）PEDE=E，AB面PEDAB面PAB，面PED面PAB图24(2)解：AB平面PED，PE面PED,ABPE.如图24，连接EF，EF面PED，ABEFPEF为二面角P-AB-F的平面角设PD=AD=，则PF=FD=，DE=二面角P-AB-F的平面角的余弦值为点评：这里由已知条件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故运用垂面法可顺利找出二面角的平面角。例10、如图25，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角

10、的大小。解： SB=BC且E是SC的中点，又，平面BDE，又SA平面ABC，SABD，平面SAC又DE，DC分别是棱BD的垂面SAC与二面角的两个半平面BDE，BDC的交线即为所求二面角的平面角。 SA底面ABC，设SA=，则AB=，BC=SB=，又。在RtSAC中，SCA30，EDC60，故所求二面角的大小为60点评：找到二面角的平面角后，求解其大小时，这里并没有拘泥于CDE，而是巧妙地运用了所求角与SCA的互余关系进行求解，这样做，简化了运算。（4）公式法求空间角的大小，有时可以直接根据一些公式来求解。公式1 如图26，若斜线AB与平面内直线AC所成的角为，是AB与平面所成的角，是AB在内

11、的射影与AC的夹角，则。此公式揭示了平面内的一条直线和平面的斜线及其在平面内的射影这三条直线所成角之间的关系，运用它可以求线面夹角。例11、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A75B60C45D30解：如图27，作平面ABCD，连结AO，PAO就是侧棱与底面所成的角，根据公式1可得，即：侧棱与底面所成的角为点评：此题由已知条件很容易看出，故可直接利用公式1求解，类似于此题的一些选填题，利用公式1会非常方便、快捷。公式2 设的面积为，在平面上的射影面积为，所在平面与平面所成的角为，则，该定理称为面积射影定理，利用该定理可以来求一些二面角的大小（该公式对任意的多边形也同

12、样适用）例12、如图28，在正三棱柱中，AB=2，AA1=2，M为AA1的中点，求平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小。解：设平面C1MB与平面ABC所成二面角为锐角，则ABCA1B1C1M图28又，又，即平面C1MB与平面ABC所成二面角为450。点评：由于本题中平面C1MB与平面ABC的交线不是很明显，因此要作出二面角的平面角有一定难度，这里利用面积射影定理，将求二面角大小的问题转化为求两个三角形和面积，化难为易，实现了从立体几何到平面几何的转化。公式3 在二面角的两个半平面内分别作出垂直于棱AB的两条异面直线MP与（如图29），则这两条异面直线所成的角与二面角的平面角相等或互

13、补。故可用异面直线上两点间的距离公式：来求二面角的大小。例13、如图30，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.图31（）求证CD平面BDM；图30（）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.（）证明：如图31，连结CA1、AC1、CM，则CA1= CB=CA1=，CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点， CDA1B. A1C1=1，C1B1=，A1B1= 又BB1=1，A1B=2. A1CB为直角三角形，D为A1B的中点， CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M

14、. CDMCC1M，CDM=CC1M=90，即CDDM. 因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM.（）解：设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG/CD，FG=CD. FG=，FGBD. 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1， 所以BB1D是边长为1的正三角形. 于是B1GBD，B1G= B1GF是所求二面角的平面角， 又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=， 即所求二面角的大小为点评：异面直线上两点间的距离公式在用来求二面角的大小时，统一演变为，它可以看成是空间的余弦定理，这时就表示上述背景下二面角的大小。公式4

15、 如图32，在三棱锥P-ABC中，设PC，AC，BC两两互相垂直，是二面角P-AB-C的平面角设，则，应用此式可以使求二面角的问题得到一个新颖便捷的解法。例14、如图33，在棱长为的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF，当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）。解：设BF，三棱锥的体积：当且仅当时等号成立。在三棱锥中，设二面角=，由已知条件知两两垂直，三棱锥的体积取得最大值时，故有.应用公式，可得，则故当三棱锥的体积取最大值时，二面角的大小为点评：应用该公式，可以避开作二面线的平面角所带来的麻烦，把求二面角的问题转化为较易解决的线面角的问题。(5

16、)向量法(文科可选用)利用向量的知识来求空间角，有时会非常简捷。例4、如图9,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.ABCDA1B1C1D1EF图10ABCDA1B1C1D1EF图9解：如图10，以A为原点， 、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有：D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），C1（4，3，2）。于是：（3，0） 、（1，3，2）、=（，2，2）设向量 =（）与平面C1DE垂

17、直，则有整理得 其中取，则是一个与平面C1DE垂直的向量与平面垂直.为二面角C-DE-C1的平面角（2）设EC1与FE1所成的角为，则点评：利用空间向量求二面角时没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线，只需用两个面的法向量（垂向量）表示即可，而求异面直线所成的角也只需用这两条异面直线所表示的向量来表示即可。例5、如图11，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(1)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；B1PACDA1

18、C1D1BOH图12AZB1PACDA1C1D1BOH图11(1)解：平面BCC1B，与平面BCC1B1所成的角即为如图12，建立空间直角坐标系，坐标原点为D，A（4，0，0），P（0，4，1），B（4，4，0）直线AP与平面BCC1B1所成的角为（2）连结D1O，由（1）有D1（0，0，4），O（2，2，4），平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，点评：由于此题的背景是正方体，所以很容易建立空间直角坐标系，对于容易作出空间直角坐标系的图形，作出坐标系容易求解且准确率较高，空间问题一般采用空间向量法解决，显得简捷明快。例6、如图13,已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边

19、长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与平面ABCD所成的二面角为120o。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成的二面角的大小。OE图14图13解：（1）如图14，作平面ABCD，垂足为点O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE。 于是OB平分AD，点E为AD的中点，由此知为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，OE图15 由已知可求得PE=，故点P到平面ABCD的距离为。（2）如图15，建立直角坐标系，其中O为坐标原点，X轴平行于DA，则P（0，0，），B（0，0）PB的中点G的坐标为，连结AG。又知，的夹角即为所求二面角的平面角，故所求的二面角的大小为点评：本题是将二面角转化为两异面直线所成的角，一般来说，用向量求二面角有如下三种转化方法：转化为两个面内垂直于棱的方向向量所成的角；转化为两异面直线所成的角；转化为两个面的法向量所成的角或其补角，向量法充分体现了数形结合思想，解题过程简捷、直观，是求空间角的一种好方法。