第2章 固体结构 笔记及课后习题详解 (已整理 袁圆 2014.8.6)(45页).doc

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1、-第2章 固体结构 笔记及课后习题详解 (已整理 袁圆 2014.8.6)-第 44 页第2章 固体结构2.1 复习笔记物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。而按照原子（或分子）排列的特征又可将固态物质分为两大类：晶体和非晶体。晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。金属、陶瓷和高分子材料的一系列特性都和其原子的排列密切相关。如具有面心立方晶体结构的金属Cu，Al等，都有优异的延展性能，而密排六方晶体结构的金属，如Zn，Cd等则较脆；具有线型分子链的橡胶兼有弹性好、强韧和耐磨之特点，而具有三维网络分子

2、链的热固性树脂，一旦受热固化便不能再改变形状，但具有较好的耐热和耐蚀性能，硬度也比较高。因此，研究固态物质内部结构，即原子排列和分布规律，是了解、掌握材料性能的基础，只有这样，才能从物质内部找到改善和发展新材料的途径。必须指出的是，一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还须视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。21一、晶体学基础晶体结构的基本特征是，原子（或分子、离子）在三维空间呈周期性重复排列，即存在长程有序。因此，它晶体与非晶体物质在性能上的区别主要有两点：（1）晶体熔化时具有固定的熔点，而非晶体却无固定熔点，存在一个软化温度范围；（2）晶体具有各向异性，而非

3、晶体却为各向同性。晶体具有各向异性，而非晶体却为各向同性。为了便于了解晶体中原子（离子、分子或原子团等）在空间的排列规律，以便更好地进行晶体结构分析，下面首先介绍有关晶体学的基础知识。2111空间点阵和晶胞（1）（1）实际晶体中的质点（原子、分子、离子或原子团等）在三维空间可以有无限多种排列形式。为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体，并将晶体其中的每个质点抽象为规则排列于三维空间的几何点，称之为空间阵点。这些阵点在空间呈周期性规则排列，并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵，简称点阵。为便于描述空间点阵的图形，可用许

4、多平行的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个三维几何格架，称为用空间格子来描述，如图2.11所示。图211空间点阵的一部分（2）点阵中取出的最小平行六面体作为点阵的组成单元，称为晶胞。为说明点阵排列的规律和特点，可在点阵中取出一个具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。同一空间点阵可因选取方式不同而得郅不相同的晶胞，图22表示在一个二维点阵中可取出多种不同晶胞。为了最能反映点阵的对称性，选取晶胞的原则为：（1）选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；。（2）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；。（3）当平行六面体的棱边夹

5、角存在直角时，直角数目应最多；。（4）在满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。为了描述晶胞的形状和大小，常采用平行六面体的三条棱边的边长a，b，c（称为点阵常数）及棱间夹角a，6个点阵参数来表达，如图2.23所示。长a，b，c（称为点阵常数）及棱间夹角a，6个点阵参数来表达。事实上，采用3个点阵矢量a，b,c来描述晶胞将更为方便。这3个矢量不仅确定了晶胞的形状和大小，并且完全确定了此空间点阵。图22在点阵中选取晶胞图22 3晶胞、晶轴和点阵矢量根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个7大晶系，和14大布拉维点阵关系表达，如表2.-11、2.-2所列。14种布拉

6、维点阵的晶胞，如图2-1所示。表2.-11 七大晶系按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，布拉（Bravais A）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉维点阵，如表22所列。表2.-2 布拉维点阵114种布拉维点阵的晶胞，如图2.4所示。（a）（b）（c）（b）（c）（d）（e）（f）（d）（e）（f）（e）（f）（g）（h）（i）（g）（h）（i）（h）（i）（j）（k）（l）（j）（k）（l）（k）（l）（m）（n）（m）（n）（n）图2.-41 114种布拉维点阵的晶胞同一空间点阵可因选取晶胞的方式不同而得出不同的晶胞。如图25所示

7、，立方晶系中若体心立方布拉维点阵晶胞用图25（b）中实线所示的简单三斜晶胞来表示，面心立方点阵晶胞用图25（c）中实线所示的简单菱方来表示，显然，新晶胞不能充分反映立方晶系空间点阵的对称性，故不能这样选取。（a）（b）（c）图25立方晶系布拉维点阵晶胞的不同取法必须注意，晶体结构与空间点阵是有区别的。空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相同，故它只能有14种类型；而晶体结构则是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构是无限的。图26为金属中常见的密排六方晶体结构，但不能把

8、它看作一种空间点阵。这是因为位于晶胞内的原子与晶胞角上的原子具有不同的周围环境。若将晶胞角上的一个原子与相应的晶胞之内的一个原子共同组成一个阵点（0，0，0阵点可看作由0，0，0和，这一对原子所组成），这样得出的密排六方结构应属简单图26密排六方晶体结构六方点阵。图27所示为Cu，NaCl和CaF2三种晶体结构，显然，这三种结构有着很大差异，属于不同的晶体结构类型，然而，它们却同属于面心立方点阵。又如图28所示为Cr和CsCl的晶体结构，它们都是体心立方结构，但Cr属体心立方点阵，而CsCl则属简单立方点阵。CUNaCICaF2图27具有相同点阵的晶体结构CrCsCI图28晶体结构相似而点阵不

9、同2122晶向指数和晶面指数在材料科学中讨论有关晶体的生长、变形、相变及性能等问题时，常须涉及晶体中原子的位置、原子列的方向（称为晶向）和原子构成的平面（称为晶面）。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通常用米勒指数（Miller indices）来统一标定晶向指数与晶面指数。1（1）晶向指数点阵结构中从图2.59可得知，任何阵点P的位置可由矢量ruvw或该阵点的坐标u，v，W来确定：。（2.11）不同的晶向只是u，v，w的数值不同而已。故可用约化的u vw来表示晶向指数。晶向指数的确定步骤如下：（1）以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴xX，Y，Zz，以晶胞点阵矢

10、量的长度作为坐标轴的长度单位；。（2）过原点O作一直线OP，使其平行于待定的晶向。；（3）在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值；。（4）将这3个坐标值化为最小整数uU，vV，W，加上方括号，uvw即为待定晶向的晶向指数。若坐标中某一数值为负，则在相应的指数上加一负号，如，等。图210中列举了正交晶系的一些重要晶向的晶向指数。图259点阵矢量图210正交晶系一些重要晶向的晶向指数显然，晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如110和就是两个相互平行，而方向相反的晶向。另外，晶体中因对称关系而等价的各组晶向可归并为

11、一个晶向族，用表示。例如，立方晶系中的八条体对角线111，和，和就可用符号（111）表示。2（2）晶面指数晶面指数标定步骤如下：（1）在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同，但不能将坐标原点选在待确定指数的晶面上，以免出现零截距；求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；。取各截距的倒数；。将三个倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为（h k l）。图211中待标定的晶面alb1C1相应的截距为，其倒数为2，3，化为简单整数为4，6，3，故晶面a1b1C1的晶面指数为（463）。如

12、果所求晶面在晶轴上的截距为负数，则在相应的指数上方加一负号，如，等。图212为正交点阵中一些晶面的晶面指数。图211晶面指数的表示方法图212正交点阵中一些晶面的晶面指数同样，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是而且代表着一组相互平行的晶面。另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以h k z表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。例如，在立方晶系中：这里前六个晶面与后六个晶面两两相互平行，共同构成一个十二面体。所以，晶面族（11110）又称为十二面体的面；这里前四个晶面和后四个晶面两两平行，共同构成一个八面体。因此，晶面族11

13、1111又称八面体的面。此外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是互相垂直的。例如110垂直于（110），lll垂直于（111），等等。3（3）六方晶系指数为了直观表达根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a11，a2，a3及c四个晶轴，a11，a2，a3之间的夹角均为1120，这样，其晶面指数就以（h k il z）四个指数来表示。采用四轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述（见图26），晶向指数可用u v t w来表示，这里要求u+v=-t，以能保持其唯一性。图26六方晶系晶向指数的表示方法（c轴与图面垂直）六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向指数可相互转换如下：对晶面指数而言，

14、从（h k i l）转换成（h k l）只要去掉i即可；反之，则加上i=-（h+k）。对晶向指数而言，则U V W与u v t w之间的互换关系为：（2.2）（22）（4）晶带所有平行或相交于某一晶向直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共带面。晶带轴与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系：（2.3）凡满足此关系的晶面都属于以u v w为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定律。根据这个基本公式，若已知有两个不平行的晶面（h11 k11 l11 ）和（h2 k2 l2），则其晶带轴的晶向指数u v w可以从下式求得：或写成写作如下形式：（2.4）同样，已知二晶向u11

15、 v11 Ww11和u2 v2 w2，由此二晶向所决定的晶面指数（hkl）则为：或写作写成如下形式：（2.5）而已知三个晶轴u11 v11 w11，u2 v2 w2和u3 v3 Ww3，若则三个晶轴同在一个晶面上。已知三个晶面（h11 k11 l11），（h2 k2 l2）和（h3 k3 l3），若（2.6）则此三个晶面同属一个晶带。（5）（5）晶面间距晶面指数不同的晶面之间的区别主要在于晶面的位向和晶面间距不同。晶面指数一经确定，晶面的位向和面间距就确定了。晶面的位向可用晶面法线的位向来表示，而空间任一直线的位向则用它的方向余弦表示。对立方晶系而言，已知某晶面的晶面指数为h，k，l，该晶面的

16、位向则从以下关系求得：（2.67）由晶面指数还可求出面间距dhkl。通常，低指数的面间距较较大，该晶面上原子排列越密集；而高指数的晶面间距则较小，。图215所示为简单立方点阵不同晶面的面间距的平面图，其中（100）面的面间距最大，而（320）面的间距最小。此外，晶面间距越大，则该晶面上原子排列越密集；晶面间距越小，则排列越稀疏。（2.8）晶面间距dhkl与晶面指数（h k l）的关系式可根据图216的几何关系求出。设ABC为距原点0最近的晶面，其法线N与a，b，c的夹角为a，则得。（278）图215晶面间距图216晶面间距公式的推导因此，只要算出之值就可求得dhkl。对直角坐标系，所以，正交晶

17、系的晶面间距计算公式为：（2.89）对立方晶系，由于a=b=c，故上式可简化为：（2.910）对六方晶系，其晶面间距的计算公式为：（2.1101）2133晶体的对称性对称性是晶体的基本性质之一。自然界的许多晶体如天然金刚石、水晶、雪花晶体等往往具有规则的几何外形。晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结构微观对称性的表现。晶体的某些物理参数如热膨胀、弹性模量和光学常数等也与晶体的对称性密切相关。因此，分析探讨晶体的对称性，对研究晶体结构及其性能具有重要意义。1（11）对称元素如同某些几何图形一样，自然界的某些物体和晶体中往往存在着可分割成若干个相同的部分，若将这些相同部分借助某些辅助性的、假想的几何

18、要素（点、线、面）变换一下，它们能自身重合复原或者能有规律地重复出现，就像未发生一样，这种性质称为对称性。具有对称性质的图形称为对称图形，而这些假想的几何要素称为对称元素，“变换”或“重复”动作称为对称操作。每一种对称操作必有一对称元素与之相对应。晶体的对称元素可分为宏观和微观两类。宏观对称元素反映出晶体外形和其宏观性质的对称性，而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。a宏观对称元素（1）a.回转对称轴；。当晶体绕某一轴回转而能完全复原时，此轴即为回转对称轴。注意：该轴线定要通过晶格单元的几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。在回转一周的过程

19、中，晶体能复原n次，就称为n次对称轴。晶体中实际可能存在的对称轴有1，2，3，4和6次五种，并用国际符号l，2，3，4和6来表示，如图217所示。关于晶体中的旋转轴次可通过晶格单元在空间密排和晶体的对称性定律加以验证。图217对称轴（2）b.对称面；。晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面（见图218中B1B2B3B4面），用符号m表示。对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过晶体几何中心。（3）c.对称中心；。若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心（见图219中O点），用符号i表示。对称中心必然位于晶体中的几何中心处。d

20、.（4）回转一反演轴。若晶体绕某一轴回转一定角度（360 n），再以轴上的一个中心点作反演之后能复原时，此轴称为回转一反演轴。图220中，P点绕BB 轴回转180。与P3点重合，再经O点反演而与P 重合，则称BB为2次回转一反演轴。从图中可以看出，回转一反演轴也可有1，2，3，4和6次五种，分别以符号来表示。事实上，与对称中心i等效；与对称面m等效；与3次旋转轴加上对称中心i等效；则与3次旋转轴加上一个与它垂直的对称面等效。为便于比较，将晶体的宏观对称元素及对称操作列于表23。图2.-2 18对称面 图2.-3 对称中心图219对称中心图2.-4 回转一反演轴图220回转一反演轴表23晶体的宏

21、观对称元素和对称操作b微观对称元素a在分析晶体结构的对称性时，除了上面所述的宏观对称元素外，还须增加包含有平移动作的两种对称元素，这就是滑动面；b和螺旋轴。（1）滑动面。它由一个对称面加上沿着此面的平移所组成，晶体结构可借此面的反映并沿此面平移一定距离而复原。例如，图221（a）中的结构，点2是点l的反映，BB面是对称面；但图221（b）所示的结构就不同，单是反映不能得到复原，点1经BB面反映后再平移a2距离才能与点2重合，这时BB，面是滑动面。滑动面的表示符号如下：如平移为a2，b2或c2时，写作a，b或C；如沿对角线平移l2距离，则写作n；如沿着面对角线平移14距离，则写作d。（2）螺旋轴

22、。螺旋轴由回转轴和平行于轴的平移所构成。晶体结构可借绕螺旋轴回转360 n角度同时沿轴平移一定距离而得到重合，此螺旋轴称为咒次螺旋轴。图222为3次螺旋轴，一些结构绕此轴回转l20并沿轴平移c3就得到复原。螺旋轴可按其回转方向而有右旋和左旋之分。图2.-215滑动面 图2.-116螺旋轴图222螺旋轴螺旋轴有2次（平移距离为c2，不分右旋和左旋，记为21）、3次（平移距离为c3，分为右旋或左旋，记为31或32）、4次（平移距离c4或c2，前者分为右旋或左旋，记为41或43，后者不分左右旋，记为42）、6次（平移距离c6，分右旋或左旋，记为61或65；平移距离c3，分右旋或左旋，记为62或64；

23、平移距离为c2，不分左右旋，记为63）几种。232种点群及空间群点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。点群在宏观上表现为晶体外形的对称。晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点上组合运用而得出。利用组合定理可导出晶体外形中只能有32种对称点群。这是因为：点对称与平移对称两者共存于晶体结构中，它们相互协调，彼此制约；点对称元素组合时必须通过一个公共点，并且遵循一定的规则，使组合的对称元素之间能够自洽。32种点群如表24所列。表2432种点群2m表示其对称面与2次轴相垂直，其余类推。211节已指出，根据6个点阵参数间的相互关系可将晶体分为7种晶系，而现在按其对称性又有32种点群，这表明同属

24、一种晶系的晶体可为不同的点群。因为晶体的对称性不仅决定于所属晶系，还决定于其阵点上的原子组合情况。表24中所列的特征对称元素系指能表示该晶系的最少对称元素，故可借助它来判断晶体所属的晶系，而无须将晶体中的所有对称元素都找出来。空间群用以描述晶体中原子组合所有可能的方式，是确定晶体结构的依据，它是通过宏观和微观对称元素在三维空间的组合而得出的。属于同一点阵的晶体可因其微观对称元素的不同而分属于不同的空间群。故可能存在的空间群数目远远多于点阵，现已证明晶体中可能存在的空间群有230种，分属于32个点群。2144极射投影在进行晶体结构的分析研究时，往往要确定晶体的取向、晶面或晶向间的夹角等。为了方便

25、起见，通过投影作图可将三维立体图形转化到二维平面上去。晶体的投影方法很多，其中以极射投影最为方便，应用也最广泛。1（11）极射投影原理现将被研究的晶体放在一个球的球心上，这个球称为参考球。假定晶体尺寸与参考球相比很小，就可以认为晶体中所有晶面的法线和晶向均通过球心。将代表每个特定晶面或晶向的直线从球心出发向外延长，与参考球球面交于一点，这一点即为该晶面或晶向的代表点，称为该晶面或晶向的极点。极点的相互位置即可用来确定与之相对应的晶向和晶面之间的夹角。极射投影的原理如图223所示。首先，在参考球中选定一条过球心C的直线AB，过A点作一平面与参考球相切，该平面即为投影面，也称极射面。若球面上有一极

26、点P，连接BP图223极射投影原理图并延长之，使其与投影面相交于P7，P7即为极点P在投影面上的极射投影。过球心作一平面NESW与AB垂直（与投影面平行），它在球面上形成一个直径与球径相等的圆，称为大圆。大圆在投影面上的投影为N7E7S 7w7也是一个圆，称为基圆。所有位于左半球球面上的极点，：投影后的极射投影点均将落在基圆之内。然后，将投影面移至B点，并以A点为投射点，将所有位于右半球球面上的极点投射到位于B处的投影面上，并冠以负号。最后，将A处和8处的极射投影图重叠地画在一张图上。这样，球面上所有可能出现的极点，都可以包括在同一张极射投影图上。；参考球上包含直线AB的大圆在投影面上的投影为

27、一直线，其他大圆投影到投影面上时则均呈圆弧形（两头包含基圆直径的弧段），而球面上不包含参考球直径的小圆，投影的结果既可能是一段弧，也可能是一个圆，不过其圆心将不在投影圆的圆心上。投影面的位置AB线或其延长线移动时，仅图形的放大率改变，而投影点的相对位置不发生改变。投影面也可以置于球心，这时基圆与大圆重合。如果把参考球看似地球，A点为北极，B点为南极，过球心的投影面就是地球的赤道平面。以地球的一个极为投射点，将球面投射到赤道平面上就称为极射赤面投影；投影面不是赤道平面的，则称为极射平面投影。2（2）乌尔夫网（Wulff net）分析晶体的极射投影时，乌尔夫网是很有用的工具。如图224所示，乌尔夫

28、网由经线和纬线组成，经线是由参考球空间每隔2等分且以NS图224乌尔夫网（分度为2。）轴为直径的一组大圆投影而成；而纬线则是垂直于NS轴且按2等分球面空间的一组大圆投影而成。乌尔夫网在绘制时如实地保存着角度关系。经度沿赤道线读数；纬度沿基圆读数。测量时，先将投影图画在透明纸上，其基圆直径与所用乌尔夫网的直径大小相等，然后将此透明纸复合在乌尔夫网上测量。利用乌尔夫网不仅可以方便地读出任一极点的方位，而且可以测定投影面上任意两极点间的夹角。特别注意的是，使用乌尔夫网时应使两极点位于乌尔夫网经线或赤道上，才能正确度量晶面（或晶向）之间的夹角。图225（a）中B和C两极点位于同一经线上，在乌尔夫网上可

29、读出其夹角为30。对照图225（b），可见口=30，反映了B，C之间空间的真实夹角。然而位于同一纬度圆上的A，B两极点，它们之间的实际夹角为a，而由乌尔夫网上量出它们之间的经度夹角相当于a，由于，所以，不能在小圆上测量这两极点间的角度。要测量A，B两点间的夹角，应将复在乌尔夫网上的透明纸绕圆心转动，使A，B两点落在同一个乌尔夫网大圆上，然后读出这两极点的夹角。图225马尔夫网和参考球的关系3（3）标准投影以晶体的某个晶面平行于投影面上作出全部主要晶面的极射投影图，称为标准投影。一般选择一些重要的低指数的晶面作为投影面，这样得到的图形能反映晶体的对称性。立方晶系常用的投影面是（001），（IIO

30、）和（111）；六方晶系则为（0001）。立方晶系的（001）标准投影如图226所示。对于立方晶系，相同指数的晶面和晶向是相互垂直的，所以标准投影图中的极点既代表了晶面又代表了晶向以晶体的某个晶面平行于投影面上作出全部主要晶面的极射投影图，称为标准投影。一般选择一些重要的低指数的晶面作为投影面，这样得到的图形能反映晶体的对称性。同一晶带各晶面的极点一定位于参考球的同一大圆上（因为晶带各晶面的法线位于同一平面上），因此，在投影图上同一晶带的晶面极点也位于同一大圆上。图226绘出了一些主要晶带的面，它们以直线或弧线连在一起。由于晶带轴与其晶面的法线是相互垂直的，所以可根据晶面所在的大圆求出该晶带的

31、晶带轴。例如，图226中（100），（100）等位于同一经线上，它们属于同一晶带。应用乌尔夫网在赤道线上向右量出90，求得其晶带轴为011。图226立方晶体详细的（001）标准投影图2155倒易点阵在研究晶体衍射时，某晶面（h k l）能否产生衍射的重要条件是，该晶面相对入射束的方位和晶面间距dhkl应满足布拉格方程：n=2dsin。因此，为了从几何上形象地判定衍射条件，须寻求一种新的点阵，使其每一结点对应着实际点阵中的一定晶面，同时，既能反映该晶面的取向，又能反映其晶面间距。倒易点阵就是从实际点阵（正点阵）经过一定转化导出的抽象点阵。如图227所示，若已知某晶体点阵（正点阵）中的三个基矢为a

32、，b，c，则其相应的倒易点阵的基矢a*，b*，c*可以定义如下：（211112）式中，V0为正点阵中晶胞体积。可以证明，两者基本关系为：图227 a*，b*，c*与a，b，C的关系示意图（212）这样，晶体点阵中的任一组晶面（hkl）在倒易点阵中，可用一个相应的倒易阵点来表示，而从倒易点阵的原点到该倒易点阵的矢量称为倒易矢量Ghkl。倒易矢量Ghkl的方向即为晶面（hkL）的法线方向，其模则等于晶面间距dhkl的倒数。通常写为：（2.113）综上所述，正点阵与倒易点阵之间是完全互为倒易的。例如，正点阵中一个一维的点阵方向与倒易点阵中一个二维的倒易平面对应，而前者的二维点阵平面又与后者的一维倒易

33、点阵方向对应。用倒易点阵描述或分析晶体的几何关系有时比正点阵还方便。倒易点阵的主要应用有以下三方面：解释X射线及电子衍射图像，即通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释为晶体相应晶面的衍射结果；研究能带理论；推导晶体学公式，如晶带定律方程，点阵平面间距公式，点阵平面的法线问的夹角及法线方向指数，等等。22二、金属的晶体结构金属在固态下一般都是晶体。决定晶体结构的内在因素是原子或离子、分子间键合的类型及键的强弱。金属晶体的结合键是金属键。由于金属键具有无饱和性和无方向性的特点，从而使金属内部的原子趋于紧密排列，构成高度对称性的简单晶体结构；而亚金属晶体的主要结合键为共价键，由于共价键具有方向

34、性，从而使其具有较复杂的晶体结构。2211三种典型的金属晶体结构元素周期表中所有元素的晶体结构几乎都已用实验方法测出。最常见的金属晶体结构有面心立方结构Al或fcc、体心立方结构A2或bcc和密排六方结构A3或hcp三种。若将金属原子看作其刚性球模型及特点，这三种晶体结构的晶胞和晶体学特点分别如图2.2811117、图2.29181、图2.30191所示和表2.5所列。下面就其原子的排列方式，晶胞内原子数、点阵常数、原子半径、配位数、致密度和原子间隙大小几个方面来作进一步分析。图2.-2811117 面心立方结构图2.-29118 体心立方结构图2.-9 密排六方结构图23011密排六方结构表

35、2.5三种典型金属结构的晶体学特点1（11）晶胞中的原子数由于晶体具有严格对称性，故晶体可看成由许多晶胞堆砌而成。从图228、图229、图230可以看出晶胞中顶角处为几个晶胞所共有，而位于晶面上的原子也同时属于两个相邻的晶胞，只有在晶胞体积内的原子才单独为一个晶胞所有。故三种典型金属晶体结构中每个晶胞所占有的原子数为：面心立方结构体心立方结构面心立方结构：体心立方结构：密排六方结构：密排六方结构2（2）点阵常数与原子半径晶胞的大小一般是由晶胞的棱边长度（a，b，c）即点阵常数（或称晶格常数）衡量的，它是表征晶体结构的一个重要基本参数。点阵常数主要通过X射线衍射分析求得。不同金属可以有相同的点阵

36、类型，但各元素由于电子结构及其所决定的原子间结合情况不同，因而具有各不相同的点阵常数，且随温度不同而变化。如果把金属原子看作刚球，并设其半径为R，则根据几何关系不难求出三种典型金属晶体结构的点阵常数与R之间的关系：面心立方结构：点阵常数为a，且体心立方结构：点阵常数为a，且密排六方结构：点阵常数由a和c表示。在理想的情况下，即把原子看作等径的刚球，可算得c/a=11633，此时，a=2R；但实际测得的轴比常偏离此值，即c/al633，这时，表26列出常见金属的点阵常数和原子半径。表26常见金属的点阵常数和原子半径注：原子半径并非一常数。它除了与温度、压力等外界条件有关外，与晶体结构（配位数）和

37、结合键的变化也密切相关。根据Goldschmidt VM的工作表明，原子半径随着配位数的减小而减小，因此，只有在相同配位数的情况下来比较元素间的原子半径才有意义。故表26中所列各元素的原子半径均按配位数为12计算。3（3）配位数和致密度晶体中原子排列的紧密程度与晶体结构类型有关，通常以配位数和致密度两个参数来描述晶体中原子排列的紧密程度。所谓配位数（CN）是指晶体结构中任一原子周围最近邻且等距离的原子数；而致密度是指晶体结构中原子体积占总体积的百分数。如以一个晶胞来计算，则致密度就是晶胞中原子体积与晶胞体积之比值，即式中，K为致密度，n为晶胞中原子数，v是一个原子的体积。这里将金属原子视为刚性

38、等径球，故，V为晶胞体积。三种典型金属晶体结构的配位数和致密度如表2.67所列。表2.-67典型金属晶体结构的配位数和致密度注：l体心立方结构的配位数为8。最近邻原子相距为，此外尚有6个相距为a次近邻原子，有时也将之列入其内，故有时记为（8+6）。2密排六方结构中，只有当ca=1633时其配位数为l2。如果ca1633，则有6个最近邻原子（同一层的6个原子）和6个次近邻原子（上、下层的各3个原子），故其配位数应记为（6+6）。2222 晶体的原子堆垛方式和间隙（11）堆垛方式：从图228、图229、图230可看出，三种晶体结构中均有一组原子密排面和原子密排方向，它们分别是面心立方结构的111，

39、体心立方结构的110和密排六方结构的0001。这些原子密排面在空间一层一层平行地堆垛起来就分别构成上述三种晶体结构。从上节得知，面心立方和密排六方结构的致密度均为0.74，是纯金属中最密集的结构。因为在面心立方和密排六方结构中，密排面上每个原子和最近邻的原子之间都是相切的；而在体心立方结构中，除位于体心的原子与位于顶角上的8个原子相切外，8个顶角原子之间并不相切，故其致密度没有前者大。进一步观察，还可发现面心立方结构中111晶面和密排六方结构中0001晶面上的原子排列情况完全相同，如图231所示。若把密排面的原子中心连成六边形的网格，这个六边形的网格又可分为六个等边三角形，而这六个三角形的中心

40、又与原子之间的六个空隙中心相重合。从图232可看出这六个空隙可分为B，C两组，每组分别构成一个等边三角形。为了获得最紧密的堆垛，第二层密排面的每个原子应坐落在第一层密排面（A层）每三个原子之间的空隙（低谷）上。不难看出，这些密排面在空间的堆垛方式可以有两种情况，一种是按ABAB或ACAC的顺序堆垛，这就构成密排六方结构（见图230）；另一种是按ABCABC或 ACBACB的顺序堆垛，这就是面心立方结构（见图228）。（2）间隙：图231密排六方结构和面心立方结构中密排面上的原子排列图232面心立方和密排六方结构中密排面的分析从晶体中原子排列的刚性模型和对致密度的分析可以看出，金属晶体存在许多间

41、隙，这种间隙对金属的性能、合金相结构和扩散、相变等都有重要影响。图233、图234和图235为三种典型金属晶体结构的间隙位置示意图。其中位于6个原子所组成的八面体中间的间隙称为八面体间隙，而位于4个原子所组成的四面体中间的间隙称为四面体间隙。图中实心圆圈代表金属原子，令其半径为rA；空心圆圈代表间隙，令其半径为rB。rB实质上表示能放入间隙内小球的最大半径（见图236）。图233面心立方结构中的间隙图234体心立方结构中的间隙图235密排六方结构中的间隙图236面心立方晶体中间隙的刚球模型利用几何关系可求出三种晶体结构中四面体和八面体间隙的数目和尺寸大小，计算结果如表28所列。表2.-78三种

42、典型晶体中的间隙注：体心立方结构的四面体和八面体间隙都是不对称的，其棱边长度不全相等，这对以后将要讨论到的间隙原子的固 溶及其产生的畸变将有明显的影响。2233 多晶型性有些固态金属在不同的温度和压力下具有不同的晶体结构，即具有多晶型性，转变的产物称为同素异构体。例如，铁在912以下为体心立方结构，称为-Fe；在9121394具有面心立方结构，称为-Fe；温度超过1394至熔点间又变成体心立方结构，称为-Fe。由于不同晶体结构的致密度不同，当金属由一种晶体结构变为另一种晶体结构时，将伴随有质量体积的跃变，即体积的突变。图237为实验测得的纯铁加热时的膨胀曲线，在-Fe转变为-Fe及-Fe转变为

43、-Fe时，均会因体积突变而使曲线上出现明显的转折点。具有多晶型性的其他金属还有Mn，Ti，Co，Sn，Zr，U， Pu等。同素异构转变对于金属是否能够通过热处理操作来改变它的性能具有重要的意义。图237纯铁加热时的膨胀曲线3 三、合金相结构虽然纯金属在工业中有着重要的用途，但由于其强度低等原因，因此，工业上广泛使用的金属材料绝大多数是合金。所谓合金，是指由两种或两种以上的金属或金属与非金属经熔炼、烧结或其他方法组合而成，并具有金属特性的物质。组成合金的基本的、独立的物质称为组元。组元可以是金属或非金属元素，也可以是化合物。例如，应用最普遍的碳钢和铸铁就是主要由铁和碳所组成的合金；黄铜则为铜和锌

44、的合金。改变和提高金属材料的性能，合金化是最主要的途径。要知合金元素加入后是如何起到改变和提高金属性能的作用，首先必须知道合金元素加入后的存在状态，即可能形成的合金相及其组成的各种不同组织形态。而所谓相，是指合金中具有同一聚集状态、同一晶体结构和性质并以界面相互隔开的均匀组成部分。由一种相组成的合金称为单相合金，而由几种不同的相组成的合金称为多相合金。尽管合金中的组成相多种多样，但根据合金组成元素及其原子相互作用的不同，固态下所形成的合金相基本上可分为固溶体和中间相两大类。固溶体是以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元原子（溶质原子）所形成的均匀混合的固态溶体，它保持着溶剂的晶体结构类型

45、；而如果组成合金相的异类原子有固定的比例，所形成的固相的晶体结构与所有组元均不同，且这种相的成分多数处在A在B中溶解限度和B在A中的溶解限度之间，即落在相图的中间部位，故称它为中间相。合金组元之间的相互作用及其所形成的合金相的性质主要是由它们各自的电化学、原子尺寸和电子浓度三个因素控制的。2311 固溶体固溶体是以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元原子（溶质原子）所形成的均匀混合的固态溶体，它保持着溶剂的晶体结构类型；固溶体晶体结构的最大特点是保持着原溶剂的晶体结构。根据溶质原子在溶剂点阵中所处的位置，可将固溶体分为置换固溶体和间隙固溶体两类，下面将分别加以讨论。1（11）置换固溶体当

46、溶质原子溶入溶剂中形成固溶体时，溶质原子占据溶剂点阵的阵点，或者说溶质原子置换了溶剂点阵的部分溶剂原子，这种固溶体就称为置换固溶体。金属元素彼此之间一般都能形成置换固溶体，但溶解度视不同元素而异，有些能无限溶解，有的只能有限溶解。影响溶解度的因素：很多，主要取决于以下几个因素：a晶体结构 ：晶体结构相同是组元间形成无限固溶体的必要条件。只有当组元A和B的结构类型相同时，B原子才有可能连续不断地置换A原子，如图238所示。显然，如果两组元的晶体结构类型不同，组元间的溶解度只能是有限的。形成有限固溶体时，若溶质元素与溶剂元素的结构类型相同，则溶解度通常也较不同结构时为大。表29列出一些合金元素在铁中的溶解度，就足以说明这一点。图238无限置换固溶体中两组元素原子置换示意图表29合金元素在铁中的溶解度b原子尺寸因素：