第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理(5页).doc

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1、-第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理-第 5 页第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、 梅涅劳斯定理定理1 若直线l不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则证明：设分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：。注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例1 若直角中，CK是斜边上的高，CE是的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：。【解析】因为在中，作的平分线BH，则：，即，所以为等腰三角形，作BC上的高EP，则：，对于和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以。例2 从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B

2、、C、D和，试证：。【解析】若，结论显然成立；若AD与相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理2 设P、Q、R 分别是的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于边上的点的个数为0或2，这时若，求证P、Q、R三点共线。证明：设直线PQ与直线AB交于，于是由定理1得：，又因为，则，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于边上的点的个数也为0或2，因此R与或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与同在AB线段上，则R与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当R与同在AB的延长线上时，R与也重合，

3、综上可得：P、Q、R三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；CBA例3 点P位于的外接圆上；是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点共线。【解析】易得：，将上面三个式子相乘，且因为，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。例4 设不等腰的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】被直线XFE所截，由定理1可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，将上面的式子相乘可得：，又因为X、Y、Z丢不在的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。例5 已知直线，相交于O，直线AB和的交点为

4、，直线BC和的交点为，直线AC和的交点为，试证三点共线。【解析】设分别是直线BC和，AC和，AB和的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（），OBC和（），OAC和（，）应用梅涅劳斯定理有：，将上面的三个式子相乘，可得：，由梅涅劳斯定理可知共线。例6 在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线。【解析】记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有，将上面五个式子相乘可得：，点L、M、N共线。二、塞瓦定理定理：设P、Q、R分别是的BC、

5、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：。MQRACPB证明：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则，同理，以上三式相乘，得：，再证充分性：若，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于，由塞瓦定理有：，约翰斯：，因为R和都在线段AB上，所以必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点M。CBA例7 证明：三角形的中线交于一点。【解析】记的中线，我们只须证明，而显然有：，即成立，所以，交于一点，例8 在锐角中，的角平分线交AB于L，从L做边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：。KLNMCBA【解析】作，下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，根据塞瓦定理即要证：，又因为，即要证明：，因为，即要证，根据三角形的角平分线定理可知：，所以CK、BM、AN三线共点，且为P点，所以。例9 设AD是的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则。【解析】过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证，可以转化为证明，因为，故，可得，所以，于是，因为AD、BE、CF共点与P，根据塞瓦定理可得：，所以，所以所以例10 在的边BC、CA、AB上取点，证明【解析】如图对和应用正弦定理，可得，即，同理：，从而。