勾股定理及逆定理证明.ppt

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1、,勾股定理与它的逆定理的证明,开发区中学 王京春 2009、4,驶向胜利的彼岸,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.,驶向胜利的彼岸,勾股定理的证明,方法一: 拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算,这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?,总统证法,这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德 (J.A. Garfield )就任美国第二十任总

2、统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。 图中三个三角形面积的和是 梯形面积为(a+b)(a+b)/2; 比较可得:c2 = a2+b2 。,驶向胜利的彼岸,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边 平方, 那么这个三角形是直角三角形.,已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:ABC是直角三角形.,逆定理的证明,证明:作Rt ABC使 C900，ACAC BCBC(如图),则,AC2BC2AB2 (勾股定理),AC2BC2AB2(已知), ACAC, BCBC(已作), ABC ABC(SSS), C=C 900 (全等三角形的对应角相等), ABC是直角三角

3、形 (直角三角形定义)., AB2AB2(等式性质), ABAB(等式性质),几何的三种语言,勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形,这是判定直角三角形的根据之一,在ABC中 AC2BC2AB2(已知), ABC是直角三角形(如果三角形两边的 平方和等于第三边平方, 那么这个三角形 是直角三角形).,驶向胜利的彼岸,命题与逆命题,1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方 2、如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题,它们的条件与结论之间 有怎样的关系?与同伴交流.,再观察下面三组命题:,如果两个角是

4、对顶角,那么它们相等 如果两个角相等,那么它们是对顶角,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎,三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等.,上面每组中两个命题的条件和结论之间也有 类似的关系吗?与同伴进行交流.,驶向胜利的彼岸,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.,你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?,它们都是真命题吗?,驶向胜利的彼岸,定理与逆定理,一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题,如果一个定理的

5、逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.,想一想 互逆命题与互逆定理有何关系?,我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.,蓄势待发,驶向胜利的彼岸,说出下列合理的逆命题,并判断每对 命题的真假:,四边形是多边形; 两直线平行,同旁内角互补; 如果ab=0,那么a=0,b=0.,请你举出一些命题,然后写出它的逆命题, 并判断这些逆命题的真假.,学无止境,勾股定理是数学上有证明方法最多的定理 有四百多种说明！ 古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法， 不但有数学家，还有物

6、理学家，甚至画家、政 治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里 德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第 二十届总统）等等。其证明方法达数百种之 多，这在数学史上是十分罕见的.,P18读一读：勾股定理的证明.,学无止境,历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。,驶向胜利的彼岸,P18读一读：勾股定理的证明.,梦想成真,1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛 在一面墙的正中间离天

7、花板1英尺的A处,苍蝇则在对 面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?, A,B ,30,12,12,回味无穷,勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）. 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.,回味无穷,命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题, 其中一个命题称为另一个

8、命题的逆命题. 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一 个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一 个定理的逆定理.,知识的升华,P9习题1.4 1,2,3题. 祝你成功！,习题1.4,1.如图，在ABC中，AB=13cm,BC=10cm, BC边上的中线AD=12cm. 求证:AB=AC.,证明:BD=CD,BC=10cm(已知) BD=5cm(等式性质). 在ABD中, AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169 AD2+BD2=AB2 ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第 三边平方, 那么这个三角形是直角三角形)

9、. 在RtADC中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169 AC2=AB2 AB=AC(等式性质).,D,2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？,解:BCAC,A=300,AB=10m(已知), BC=AB/2=1025(在直角三角形中, 如果有一个锐角 等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又CB1AB,BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余),BB1=BC/2=522.5(在直角三角形中, 如果有一个锐角 等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).,B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中, 如果有一 个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？,解:如下图,将四棱柱的侧面 展开,连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知),结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,