离散数学复习资料(89页).doc
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1、-离散数学复习资料-第 88 页离散数学习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1- 1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a) 离散数学是计算机科学系的一门必修棵b) 吗？c) 明天我去看电影d) 请勿随地吐痰e) 不存在最大质数f) 如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g) 9+512h) x3i) 月球上有水j) 我正在说假话解a) 不是命题b) 是命题,真值视具体情况而定c) 不是命题d) 是命题,真值为te) 是命题,真值为tf) 是命题,真值为fg) 不是命题h) 是命题, 真值视具体情况而定i) 不是命题1-2(1)用P表示命题“天
2、下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上解a)(PR)Qb)QRc)Pd)PQ1-2(2)将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每一命题符号化是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.解:陈述中出现5个原子命题，将他们符号化为:P: 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F陈
3、述中各命题符号化为:P;QR;QU;QS;QS1- 2(3)将下列命题符号化a) 如果3+3=6,则雪是白色的.b) 如果3+36,则雪是白色的c) 如果3+3=6,则雪不是白色的.d) 如果3+36,则雪不是白色的e) 王强身体很好，成绩也很好.f) 四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行解:设P:3+3=6Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:a) 可表示为:PQb) 可表示为: PQc) 可表示为: PQd) 可表示为：PQe) 可表示为：SRf) 可表示为:UV1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,
4、那些不是合式公式a) (QRS)b) (P(RS)c) (PQ)(QP)d) (RST)e) (P(QR)(PQ)(PR)解: a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:a) (AB)B)A),用（AC）代换A，用（BC）A代换B。b) (AB)(BA),用B代换A,A代换B.解:a)(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b)(BA)(AB)1- 3(3)用符号形式写出下列命题a) 假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.b) 我今天进城,除非下雨
5、.c) 仅当你走,我将留下.解a)设P:上午天下雨.Q:我去看电影R:我在家读书S:我在家看报原命题可译为:(PQ)(P(RS)b)设:P:我今天进城Q:天下雨原命题可译为:QPc)设:P:你走Q:我留下原命题可译为:QP(4)称PQ为条件命题PQ的反换式 QP为条件命题PQ的逆换式 QP为条件命题PQ的逆反式试写出如下条件命题的反换式，逆换式，逆反式。（a）如果他有勇气，则他将得胜。（b）如果天下雨，我不去。解（a）设P：他有勇气，Q：他将得胜原条件命题可译为：PQ反换式：PQ，表示：如果他没有勇气，则他将不能获胜。逆换式：QP，表示：如果他将得胜，则他有勇气。逆反式：QP，表示：如果他不获
6、胜，则他没有勇气。（b）设P：天下雨，Q：我去原条件命题可译为：PQ反换式：PQ，表示：如果如果天不下雨，则我去。逆换式：QP，表示：如果我不去，则天下雨。逆反式：QP，表示：如果我去，则天不下雨。1- 4（1）试求下列各命题公式的真值表并解释其结果（a）（PQ）（QP）；（b）（PQ）P；（c）Q（PQ）；（d）（PQ）（PQ）；（e）（PQ）（PQ）；（f）（PQ）QR 。解 （a）从真值表1-1中可看出：（PQ）（QP）（PQ） (b) 从真值表1-2中可看出：（PQ）P是永真式(c) 从真值表1-3中可看出：Q（PQ）是永真式(d) 从真值表1-4中可看出：（PQ）（PQ）是永真式(e
7、) 从真值表1-5中可看出：（PQ）（PQ） PQ PQ （PQ）PQPQQP（PQ）（QP）T TT FF TF FTFTTTTFTTFFT(f) 从真值表1-6中可看出：（PQ）QR是永真式表1-1PQPQ（PQ）PT TT FF TF FTFFFTTTT表1-2PQPQQ（PQ）T TT FF TF FTTTFTTTT表1-3PQPPQPQ（PQ）（PQ）T TT FF TF FFFTTTFTTTFTTTTTT表1-4PQPQPQ（PQ）（PQ）（PQ）T TT FF TF FFFTTFTFTTFTTTFTTTFTT表1-5PQ RPQ（PQ）（PQ）Q（PQ）QRT T TT T FT
8、 F TT F FF T TF T FF F TF F FFFTTTTTTFFTTFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF表1-61- 4（2）用真值表判断下列各组公式是否等价：（a） P(QR)与（PQ）R（b） （PQ）R与（PQ）R解由表1-7可知P(QR) （PQ）R 而（PQ）R（PQ）RPQ RP(QR)（PQ）R（PQ）RT T TT T FT F TT F F F T T F T F F F T F F FTFTTTTTTTFTTTTTTTFTTTFTF 表1-71-4（3）试以真值表证明下列命题： （a）合取运算的结合律 （b）德摩根定律解 （a）如表1-8，（PQ）R（b）
9、如表1-9，（PQ）PQ （PQ）PQPQ RPQ（PQ）RQRP（QR）T T TT T FT F TT F F F T T F T F F F T F F FTTFFFFFFTFFFFFFFTFFFTFFFTFFFFFFF表1-8P QPQPQ（PQ）PQ（PQ）T TT FF TF FFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT表1-92- 4（4）证明下列等价式：（a）A（BA）A（AB）； (b)（AB）C（AC）（BC）； (c) （AB）（AB）（AB）； (d) （AB）C）D）（C（A（BD）（C（AB）D 证（a）A（BA）A（B A）（B A）A（AB）AA（BA）A
10、（AB）A（AB）A（AB）（b）（AC）（BC）（AC）（BC）（AB）C（AB）C（AB）C（c）（AB） （AB）（BA）（AB）（BA）（AB）（BA）（AB）（BA）（d）（AB）C）D）（C（A（BD）（ABC）D）（C（ABD）（ABCD）（CABD）（CD）（AB）（AB）（CD）（AB）（BA）（CD）（AB）（BA）（C（AB）（BA）D（C（AB）（BA）D（C（AB）（BA）D（C（AB）D（C（AB）D1- 4（5）判断下列命题公式的类型（永真；永假；非永真，也非永假）：（a）（PQ）P）Q；（b）（P(P Q)）R； （c）P (P Q) P) Q). 解 （a）（
11、PQ）P）Q（PQ）P）Q（PQ）P）Q（PQ）P）Q（PQ）P）Q（PP）（QP）Q（QP）QTPT（a）为永真式 （b）（P(P Q)）R（P P Q）R（P P Q）RFRF（b ）为永假式 （c）P (P Q) P) Q) P (P Q) P) Q)P (PP )(Q P) Q)P (F(Q P) Q)P (Q P Q)PTP（c ）为非永真式，也非永假式1-4.(6)化简如下语句：“情况并非如此：若他不来，则我不去”。解：首先符号化上述语句。 设P：他来。Q：我去 则原句：（PQ）然后化简上述命题公式（PQ）（QP） （QP）（QP）Q P即：我去了，但他未来。14（7）（a）如果A
12、CBC，是否有AB？如果ACBC，是否有AB？如果AB，是否有AB？ 解（a）不能说必有AB，因为当ACBC时，有可能某种指派使C为T，但A、B的值并不相同（b）不能说必有AB，因为当ACBC时，有可能某种指派使C为F，但A、B的值并不相同（c）结论正确。因为（AB）（BA），所以BA为永真式时，AB也是永真式。即BA时，必有AB。同理AB时，BA。所以BA时，必有AB15（1）试证下列各式为永真式：（a）（P （PQ） ）Q；（b）P（PQ）；（c）（PQ）（QR）（PR）；（d）（PQ）（QR）（RP）（PQ）（QR）（RP）解（a）（P （PQ） ）Q （P （PQ） ）Q （P P）（
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