第一次习题课 第八章 向量代数与空间解析几何(一)(10页).doc
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1、-第一次习题课 第八章 向量代数与空间解析几何(一)-第 10 页第八章 向量代数与空间解析几何(一)练习题练习3 设,试求,和.解:因为是直角坐标系的三个单位向量,故,.因此,.当然,利用坐标表达式可得.同样,利用,可知直接利用坐标表达式计算注意:!注:计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式,或根据单位向量的内积和外积的运算规律计算. 练习题4 已知三个单位向量满足条件,试求之值,并证明.解:注意到所以.因为,两边与作外积,得,即.同理,若两边与作外积,就有,于是.练习题5 设是的面积,是的周长之半,试证:(1)正弦定理,即;(2)三角形面积的海伦公式:;(3)如果,试求的面积. 解
2、:(1)由向量积的几何意义有2=,即 ,同时除以,即得,从而.(2)根据内积的定义及余弦定理,有,于是故.(3),故,=12.5. 练习题6 已知与垂直,与垂直,求,其中为非零向量. 解:利用两向量垂直的充要条件有,即.两边除以,并令,得,解得,即.因此,故.练习题7 已知向量和有共同起点,试确定沿着向量和间夹角的平分线方向的向量的坐标.分析:所求向量的模已知,关键是确定它的方向.向量和直接相加减,均得不到沿角平分线的向量,但由简单的几何知识可知,菱形的对角线平分两邻边之夹角.由此可考虑取和的单位向量和,则与同向的向量必平分.解:=,设,且,所以 ,由此得.故.注:向量=表示向量和夹角的角平分
3、线的方向. 练习题8 已知,求一单位向量,使,且与共面.解:设所求的向量=,依题意,与共面,可得; (1),即; (2),即. (3)由(1)(2)(3)式联立解得,所以.注:欲求一个向量,即是求满足一定条件的向量的坐标.(1)当所求向量平行于向量(或与之共线)时,可设所求向量为,然后利用其他条件求得.(2)当所求向量垂直于向量时,可设所求向量为,由此得方程,再与其他两个条件所建立的方程联立,求得.(3)当所求向量同时垂直于两个向量和时,即说明所求向量平行于向量,故可设所求向量为,然后利用其他条件求得. 练习题9 求过直线,且平行于直线的平面的方程. 分析:求平面方程一般考虑用点法式方程,即要
4、求出平面的法向量.注意到该法向量同时垂直于两条直线,故法向量可取这两条直线的方向向量的外积. 如果已知平面过一条已知直线,经常可考虑用平面束方程求得. 解:方法1 根据题意,平面过直线,所以过直线上的点.又因为平面过直线且平行于直线,所以平面的法向量为,因此平面方程为,即.方法2 将直线变为一般式.故可设所求平面的方程为,即,其法向量为.由得,解得.故平面的方程为. 练习题10 求由平面和构成的二面角的平分面方程. 分析:两个平面构成的二面角有两个,所以本题的解为两个平面.本题的解法也有两种,一是利用平分面上任一点到已知二平面的距离相等;二是利用平面束方程. 解:方法1 设为所求平面上的任一点
5、,根据题意,到两已知平面的距离相等,所以,即因此 ,故所求平面方程为,或 方法2 设所求的平面方程为,其法向量为.记,根据题意,与所夹锐角和与所夹锐角相等,所以,解得,故所求平面方程为,或. 练习题11 一平面通过点,它在正轴,轴上的截距相等,问当平面的截距为何值时,它与三个坐标面所围成的空间体的体积最小?并写出此平面的方程. 分析:这是求最小值的问题.先写出体积表达式,再利用求最值的方法求解.解:设此平面的截距式方程为,根据题意,故平面方程为,因为点又在平面上,所以,解得.设此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积为,则,令,得(舍去),或.所以当时,此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积最小
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