第5-6章：如何建立数学模型及实例(19页).doc

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1、-第5-6章：如何建立数学模型及实例-第 100 页如何建立数学模型及实例数学建模培训科研处数学建模小组第五章：如何建立数学模型怎样撰写数学建模的论文？1什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。2什么是数学建模? 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象

2、、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。观点：“所谓高科技就是一种数学技术”注 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。注2 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应

3、用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。3数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法： 机理分析 测试分析方法 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理

4、分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。符合实际不符合实际交付使用，从而可产生经济、社会效益实际问题抽象、简化、假设 确定变量、参数建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数用实际问题的实测数据等来检验该数学模型4、数学模型及其分类 模型数学模型的分类： 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生

5、态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。5怎样撰写数学建模的论文？1、 摘要: 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分。数学建模论文的摘要应包含以下内容：所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的方法、获得基本结果以及对模型的检验或推广。论文摘要需要用概括、简练的语言反映这些内容，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广等。一般科技论文的摘要要求不列举例证，不出现图、表和数学公式，不自我评价，且字数应在200以内。前几年，全国大学生数学建模竞赛要

6、求摘要字数应在300字以内。但从2001年开始，为了提高论文评选效率，要求将论文第一页全用作摘要，对字数已无明确限制。故在摘要中也可适当出现反映结果的图、表和数学公式。 2、 问题重述： 数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定问题。撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握住问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。3、 模型假设： 建模时，要根据问题的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的假设。模型假设部分要求用精练、准确的语言列出问题中所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、合理的假设。假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；

7、假设作得过分详尽，试图把复杂的众多因素都考虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。4、 分析与建立模型： 根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。建模时就尽量采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解。在撰写这一部分时，对所用的变量、符号、计量单位应作解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致。为使模型易懂，可借助于适当图形、表格来描述问题或数据。5、 模型求解： 使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对结果进行数学上的分析，如

8、结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等。6、 模型检验： 指导求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常出现在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模。这一步对于模型是否真的有用十分关健。7、 模型推广： 将该问题的模型推广到解决更多的类似问题，或讨论给出该模型的更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一步研究的建议。8、参考文献： 在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出处，并将相应的出版物列举在参考文献中。需标明出版物名称、页码、著者姓名、出版日期、出版单位等、9、 附录： 附录是正文的补充，与正文有

9、关而又不方便于编入正文的内容都收集在这里。包括：计算机程序、比较重要但数据量较大的中间结果等。为便于阅读，应在源程序中加入足够多的注释和说明语句。附：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文格式规范l 甲组参赛队从A、B题中任选一题，乙组参赛队从C、D题中任选一题。l 论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出的页边距。l 论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。l 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。l 论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。l 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字

10、从“1”开始连续编号。l 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。l 论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。l 提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。l 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如13等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述

11、方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。l 在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。l 本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。注 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录

12、”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。全国大学生数学建模竞赛组委会 2006年5月修订2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果

13、引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅

14、前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：第六章几个例子（一）数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据年（公元）人口（百万）1790180018101820183018401850年（公元）人口（百万）18601870188018

15、90190019101920年（公元）人口（百万）19301940195019601970198019902.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出.1 假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.2 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为，由于量大，可视为连续、可微函数.t到时间内人口的增量为：于是满足微分方程： （1）3 模型求解： 解微分方程（1）得 （2） 表明：时，（r0）.4 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1的

16、数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. 5 模型检验： 将x0，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年实际人口（百万）指数增长模型预测人口（百万）误差（%）17901800181018201830184018501860187018801890190019101920 从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大. 分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增

17、长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个. 3. 阻滞增长模型（Logistic模型）1假设：（a）人口增长率r为人口的函数（减函数），最简单假定（线性函数），r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.2建立模型： 当时，增长率应为0，即=0，于是，代入得： （3）将（3）式代入（1）得：模型为： （4） 3 模型的求解

18、： 解方程组（4）得 （5） 根据方程（4）作出 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出xt曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律. ox图1-1 曲线图 xto图1-2 xt曲线图4 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r和xm拟合得：r=0.2072, xm=464. 5 模型检验：将r=0.2072, xm=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得 t=0,1,2, (6)用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表

19、3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较年实际人口（百万）阻滞增长模型公式（5）公式（6）预测人口（百万）误差（%）预测人口（百万）误差（%）1790180018107.2614 0.0085 182018300.11511840185018601870188030.9687 189056.1884 1900191019201930118.9509 19401950148.7978 0.01261960162.4835 1970199.8919 198019906 模型应用： 现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, xm=457.

20、6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.（二）椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 B C A x

21、D二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为，显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，

22、就归结为如下命题：命题 已知、是的连续函数，对任意，*=0，且，则存在，使。 三、模型求解将椅子旋转，对角线AC和BD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使，由，所以。四、评 注 模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。（三）双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将

23、双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。一、 模型假设1、 热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、 室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。二、 符号说明 室内温度 室外温度 单层玻璃厚度 两层玻璃之间的空气厚度 内层玻璃的外侧温度 外层玻璃的内侧温度 热传导系数 热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律

24、：厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为，与成正比，与成反比，即 （1）其中为热传导系数。 1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： （2）由及可得再代入就将（2）中、消去，变形可得： （3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： （4）3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有： （5）显然，。为了获得更具体的结果，我们需要的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导

25、系数（焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的热传导系数（焦耳/厘米.秒.度），于是在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取，由（3）（5）可得： （6）4、模型讨论比值反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与有关，下图给出了的曲线，当由0增加时，迅速下降，而当超过一定值（比如）后下降缓慢，可见不宜选得过大。四、 模型的应用这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求。按照这个模型，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于

26、层间空气的极低的热传导系数，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。（四）钢管订购和运输优化模型要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示(见反面)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单

27、位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。问题：（1）请制定一个主管道钢管的订购

28、和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。思考题：（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306019520272069052017069046216

29、0320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S

30、7A16A17A18A20(A21)图二一 基本假设：1 沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路。2 在主管道上，每公里卸1单位的钢管。3 公路运输费用为1单位钢管每公里万元（不足整公里部分按整公里计算）4 在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，而不考虑其他费用。5 在计算钢厂的产量对购运计划影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况，即钢厂的产量不受限制。6 假设钢管在铁路运输路程超过1000km时，铁路每增加1至100km，1单位钢管的运价增加5万元。二符号说明：第个钢厂； ：第个钢厂的最大产量； ：输送管道（主管道）上的第个点； ：第个钢厂1单位钢管的销价； ：钢厂向点运输的钢管量

31、； ：在点与点之间的公路上，运输点向点方向铺设的钢管量；：1单位钢管从钢厂运到结点的最少总费用，即公路运费铁路运费和 钢管销价之和； ：与点相连的公路和铁路的相交点； ：相邻点与之间的距离； 三模型的建立与求解问题一：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输方案使总费用最小由题意可知，钢管从钢厂到运输结点的费用包括钢管的销价钢管的铁路运输费用和钢管的公路运输费用。在费用最小时，对钢管的订购和运输进行分配，可得出本问题的最佳方案。1、 求钢管从钢厂运到运输点的最小费用1）将图一转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图。由于钢管从钢厂运到运输点要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运

32、输总距离有关。又由于钢厂直接与铁路相连，所以可先求出钢厂到铁路与公路相交点的最短路径。如图三 图三 铁路网络图依据钢管的铁路运价表，算出钢厂到铁路与公路相交点的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂到的边。再将与相连的公路、运输点及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边。以为例得图四 图四 钢管从钢厂运到各运输点的铁路运输与公路运输费用权值图2）计算单位钢管从到的最少运输费用根据图四，借助图论软件包中求最短路的方法求出单位钢管从到的最少运输费用依次为：170.7，160.3，140.2，98

33、.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（单位：万元）。加上单位钢管的销售价，得出从钢厂购买单位钢管运输到点的最小费用依次为：330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（单位：万元）。同理，可用同样的方法求出钢厂到点的最小费用，从而得出钢厂到点的最小总费用（单位：万元）为： 表一 到点最小费用a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15s1198163252256266288302s22662412973

34、01311333347s3276251237241251273287s4316291222211221243257s5301276212188206228242s6306281212201195161178s7326301237226216186162 2、建立模型运输总费用可分为两部分： 运输总费用=钢厂到各点的运输费用+铺设费用。 运输费用：若运输点向钢厂订购单位钢管，则钢管从钢厂运到运输点所需的费用为。由于钢管运到必须经过，所以可不考虑，那么所有钢管从各钢厂运到各运输点上的总费用为：。铺设费用：当钢管从钢厂运到点后，钢管就要向运输点的两边段和段运输（铺设）管道。设向段铺设的管道长度为，则向段的运输费用为（万元）；由于相邻运