等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明(5页).doc

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1、-等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明-第 5 页等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明例一：如图所示,已知ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PDAB于点D，PEAC点E，若ABC的面积为14。问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。由已知：AB=AC=8，S(ABC)=14，得S(ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=141/2*8*(PD+PE)=14PD+PE=这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到

2、两腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？关于这道题的证明方法有很多种。求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。已知：等腰三角形ABC中，ABAC，BC上任意点D，DEAB，DFAC，BHAC 求证： DEDFBH 证法一：连接AD则ABC的面积AB*DE/2AC*DF/2(DEDF)*AC/2 而ABC的面积BH*AC/2 所以：DEDFBH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二：作DGBH，垂足为G因为DGBH，DFAC，BHAC所以四边形DGHF是矩形

3、所以GHDF因为ABAC所以EBDC因为GD/AC所以GDBC所以EBDGDB又因为BDBD所以BDEDBG（ASA）所以DEBG所以DEDFBGGHBH证法三：提示：过B作直线DF的垂线，垂足为M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DEDF|BH问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边ABACBC(或

4、其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。解答提示：如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQAG先证明PDPEHQ（见：）而HQAN，FPMN所以PDPEPFANPFAMMNPFAM即h1h2h3h另外一个变式问题：已知：如图，在ABC中，C90，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PEBD，PFAD，垂足分别为点E、F。 （1）当A30时，求证：PE+PFBC （2）当A30（AABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d

5、 e pd+pe=解：作底边BC上的高AM，设腰上的高h，连接PA因为ABAC5，BC6所以BMCM3所以根据勾股定理得AM4因为SABCBC*AM/2AB*h/212所以h24/5因为SABCSABPSACPAB*PD/2AC*PE/2所以5*PD/25*PE/212所以PDPE24/5如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。 解：设AC、BD交于O，作AEBD，PMAC，PNBD，连接OP因为AB8，BCAD15所以根据勾股定理得BD17因为SABCAB*AD/2AE*BD/2所以可得AE120/17因为四边形ABCD是矩形所以OAOD因为SOADSOPASOPDOA*PM/2OD*PN/2（PMPN）*OD/2SOADAE*OD/2所以PMPNAE120/17