不定积分凑微分法和换元法课件.ppt

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1、关于不定积分凑微分法和换元法现在学习的是第1页，共47页问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 1、第一换元积分法现在学习的是第2页，共47页在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( ( ) ( ) ( )( )fxx dxFxCF uC ( )( )f u duux 由此可得换元法定理由此可得换元法定理现在学习的是第3

2、页，共47页 ( )( ) xxdgx ( )( ( )g u duGxC 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明:使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 ( )( )fxx dx 化为化为( ).g u du 左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理定理7.2.17.2.1现在学习的是第4页，共47页例例1 1 求求35.xdx 111u duuC 已已知知解解35xdx 5)ux(令(令13udu 443333(5).44uCxC 现在学习的是第5页，共47页例例2 2221.(0)dx aax 21arctan1d

3、xxCx 已已知知解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 现在学习的是第6页，共47页求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 现在学习的是第7页，共47页例例3 求求2sin.xx dx sincosuduu C 已已知知解解2sin xxdx 2212sin x dx sin12uud 2()ux 1cos2uC 21cos;2xC 现在学习的是第8页，共47页求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin1sin2(2 )2

4、xdx sincosuduu C 已已知知;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 212uduuC 已已知知解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 212uduuC 已已知知现在学习的是第9页，共47页例例4 4 求求.231dxx 解解(32 )(32 )2,dxx dxdx dxx 23111(31132322 )(32 )22x dxdxxx 112duu Cu ln21.)23ln(21Cx ()axbfdx 1( )()uaxbf u dua 其

5、其中中一般地一般地现在学习的是第10页，共47页书中例书中例4 4 求求2.1dxx l1n.uCduu 解解211111,1(1)(1)211xxxxx21dxx 112111dxxx 1(ln1ln1)2xxC11ln.21xCx 现在学习的是第11页，共47页求求.)ln21(1dxxx 解解(12ln )1xdxx 121()lnlnxdx )ln21(ln21121xdx xuln21 112duu Cu ln21.)ln21ln(21Cx 现在学习的是第12页，共47页例例5 5 求求解解5sin.xdx 5sin xdx 4sinsinxxdx 22(sin)(cos )xdx

6、22(1cos)cosxdx 24( 12coscos) cosxx dx cosx 32cos3x 51cos5x .C 说明说明当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分凑微分.现在学习的是第13页，共47页附例附例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 现在学习的是第14页，共47页例例6 6 求求解解2coscosxdxx 1.cos

7、dxx 1cosdxx 21sin1sindxx 111() sin21 sin1 sindxxx 11sinln21sinxCx 221(1sin )ln2cosxCx ln sectan.xxC 现在学习的是第15页，共47页例例7 7 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）现在学习的是第16页，共47页解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )

8、(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx现在学习的是第17页，共47页例例8 8 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 现在学习的是第18页，共47页例例9 9 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos

9、3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 现在学习的是第19页，共47页解解例例1010 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 现在学习的是第20页，共47页例例1111 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 现在学习的是第21页，共47页例例1212 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xx

10、x dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 现在学习的是第22页，共47页例例1313 求求.12321dxxx 解：原式解：原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 现在学习的是第23页，共47页例例1414 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 现在学习的是第24页，共47页作业作业现在学习的是第25页，共47页问题问题

11、?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2、第二换元积分法现在学习的是第26页，共47页定理定理7.2.2 7.2.2 （第二换元积分法）（第二换元积分法）现在学习的是第27页，共47页证明证明证毕证毕现在学习的是第28页，共47页例例1515 书中例书中例7求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 t

12、dtsecln sectanttCtax22ax 22lnxxaCaa 2,2t22lnln .xxaCCCa 现在学习的是第29页，共47页例例16 16 书中例书中例8 求求22.(0)ax dx a 解解sin(),2xatt 令令arcsin,cosxtdxatdta22ax dx 22(1sin)cosatatdt 22cosatdt 2(1cos2 )2at dt 21(sin2 )22attC21sincos22atat atCtax22ax 222arcsin.22axxaxCa现在学习的是第30页，共47页例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxc

13、os2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 现在学习的是第31页，共47页例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 现在学习的是第32页，共47页说明说明(1)(1)以上几例所使

14、用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 现在学习的是第33页，共47页说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221

15、 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 现在学习的是第34页，共47页 积分中为了化掉根式是否一定采用三角积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解现在学习的是第35页，共47页例例1919 求求解解.1

16、1dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx现在学习的是第36页，共47页说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2020 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解现在学习的是第37页，共47页例例2121 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx

17、 dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 现在学习的是第38页，共47页 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 现在学习的是第39页，共47页说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根当被积函数含有两种或两种以上的根式式 时，可采用令时，可采用令 （其（其中中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2222 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235

18、dttt2216现在学习的是第40页，共47页 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 现在学习的是第41页，共47页基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 现在学习的是第42页，共47页;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 现在学习的是第43页，共47页三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)现在学习的是第44页，共47页思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 现在学习的是第45页，共47页思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp现在学习的是第46页，共47页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第47页，共47页