二重积分的运算.ppt

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1、关于二重积分的运算现在学习的是第1页，共28页 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图作出积分区域的草图选择适当的坐标系选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限选定积分次序，定出积分限1。关于坐标系的选择。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑个方面来考虑一、主要内容一、主要内容现在学习的是第2页，共28页被积函数呈被积函数呈 )(),(22xyfyxf 常用极坐标常用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2。关于积分次

2、序的选择。关于积分次序的选择选序原则选序原则能积分，少分片，计算简能积分，少分片，计算简3。关于积分限的确定。关于积分限的确定二重积分的面积元二重积分的面积元 )( rdrdddxdyd 为正为正确定积分限时一定要保证下限小于上限确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形积分区域为圆形、扇形、圆环形现在学习的是第3页，共28页看图定限看图定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先选序，后定限先选序，后定限直角坐标系直角坐标系。先。先 y 后后 x ，过任一过任一x a , b ,作平行于作平行于 y 轴的直线轴的直线穿过穿过D的内部的内部从从D的下边界曲线的下边

3、界曲线)(1xy 穿入穿入内层积分的下限内层积分的下限从上边界曲线从上边界曲线)(2xy 穿出穿出内层积分的上限内层积分的上限。先。先 x 后后 y过任一过任一 y c , d 作平行于作平行于 x 轴的直线轴的直线定限定限现在学习的是第4页，共28页左边界左边界 )(1yx 内层积分的下限内层积分的下限右边界右边界 )(2yx 内层积分的上限内层积分的上限则将则将D分成若干个简单区域分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加分片计算，结果相加极坐标系极坐标系积分次序一般是积分次序一般是 后先r过极点过极点O作任一极角作任一极角 为为

4、),( 的射线的射线从从D的边界曲线的边界曲线 )(1 r穿入穿入从从 )(2 r穿出穿出。如。如D须分片须分片现在学习的是第5页，共28页)(1 r内下限内下限)(2 r内上限内上限具体可分为三种情况具体可分为三种情况)()(,21 rrr 极点在极点在D的边界上的边界上)()(,21 rrr 是边界在极点处的切线的极角是边界在极点处的切线的极角 ,)(1 r绝大多数情况下为绝大多数情况下为0极点在极点在D的内部的内部)(0 ,20 rr 化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D的外

5、部的外部现在学习的是第6页，共28页4。关于对称性。关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，分区域两个方面，不可误用不可误用对对 DdxdyyxfI),(若若D关于关于 x 轴对称轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 y

6、DyxD现在学习的是第7页，共28页现在学习的是第8页，共28页若若D关于关于 y 轴对称轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若若D关于关于原点原点对称对称时时当当),(),() 1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD现在学习的是第9页，共28页 DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(称为关于积分变量的轮换对称性称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质是多元积分所独有

7、的性质 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为简述为“你你对称，我对称，我奇偶奇偶”、简单地说就是、简单地说就是若若 D 关于关于直线直线 y = x 对称对称现在学习的是第10页，共28页5 关于二重积分的换元法关于二重积分的换元法f(x,y)在在D上连续上连续 变换变换T： x=x(u,v),y=y(u,v)将将 uov 平面上的闭区域平面上的闭区域D1 变成变成 xoy

8、平面的闭区域平面的闭区域D（1） x=x(u,v),y=y(u,v)在在D1上具有连续的一阶偏导数上具有连续的一阶偏导数（2）在）在D1上上0),(),(),( vyuyvxuxvuyxvuJdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD 1),(),(),(),(现在学习的是第11页，共28页的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(1yxfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 注意注意现在学习的是第12页，共28页二、例

9、题分析二、例题分析例例1 计算计算 Ddyx )(222242:xyxxD 解解积分区域由不等式给出积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域但它们围不成区域224,2xxx 要要使使都有意义都有意义必须限制必须限制 2 , 0 x因此因此D只能在只能在x=0 ， x=2 之间之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单域的特点，化成极坐标计算较为简单现在学习的是第13页，共28页20 显然显然 r 呢？呢？极点在极点在D的边界上，所以的边界上，所以20 r

10、 那就错了那就错了不能以为极点不能以为极点O在区域的边界上在区域的边界上就误以为对就误以为对 r 积分的下限为积分的下限为0定定 r 的积分限，应先固定的积分限，应先固定2, 0 以原点为起点作射线以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交这射线和两个半圆相交 cos2 r穿入穿入从从从从2 r穿出穿出积分限如何确定积分限如何确定现在学习的是第14页，共28页尽管极点在尽管极点在D的边界上的边界上但极角为但极角为 )2, 0( 的射线并不是从极点穿入的射线并不是从极点穿入2cos2 ,20 r 而不是而不是20 ,20 r 202cos22 rdrrdI45)221432(4 204)cos161

11、6(41 d域域D的极坐标表示为的极坐标表示为现在学习的是第15页，共28页 Ddyxx )232(2222:ayxD 解解D关于关于 x , y 轴及原点及轴及原点及 y = x 对称对称故故 Ddyx0)32( Ddyx )(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故故 Ddyxx ) 232(22424aa 例例2 计算计算现在学习的是第16页，共28页 Ddxdyyx)cos(2020: yxD解解例例3 计算计算2 yxD1D2 2020)cos( xdyyxdx Ddxdyyx 2)sin( yxD0 ,0:现在学习的是第17页，共28页 Dyxy

12、xDdxdyyx22:,)(解解D的边界的边界 21)21()21(22 yx极点在极点在D的边界上的边界上圆周在圆周在(0, 0)的切线斜率为的切线斜率为1 y故故43,4 434sincos02)sin(cos drrdI 4344)sin(cos31 d 4344)4(sin34 d例例4 计算计算现在学习的是第18页，共28页 04sin34tdt2 )4( t令例例5 计算计算 Ddyxyfx )(1 221, 1,:3 xyxyDD2D1解解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 （和差化积）（和差化积）现

13、在学习的是第19页，共28页例例6设设 f (x) 在在 0,1 上连续上连续 10)(Adxxf求求 101)()(xdyyfxfdx解解 101100)()()()(xydxyfxfdydyyfxfdxI 100)()(xdyyfxfdx 100101)()()()(2xxdyyfxfdxdyyfxfdxI 10101010)()()()(dyyfdxxfdyyfxfdxD现在学习的是第20页，共28页 1022)(Adxxf22AI 上上连连续续在在设设),()( xf试将二重积分试将二重积分 DdyxfI )(221: xyD化成定积分化成定积分解解由积分域和被积函数的对称性由积分域和

14、被积函数的对称性有有 1)(422DdyxfI xyxD 0 , 10:1用极坐标用极坐标例例7现在学习的是第21页，共28页 sec0 ,40 r 40sec0)( rdrrfdI 为将二次积分化为所需要的定积分，须变为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序换积分次序 10402141arccos)(4)(4 rdrrfdrdrrfdrIdrrrfrdrrrf)()1arccos4()(1021 drrrrfdrrrf 20211arccos)(4)( DD1现在学习的是第22页，共28页依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数 )(22yxf

15、化为一元函数化为一元函数 自然想到用极坐标自然想到用极坐标其次，若先对其次，若先对 r 后对后对 不可进一步化为定积分不可进一步化为定积分 又想到换序又想到换序例例8设设 f(x) 连续，证明连续，证明 DAAdttAtfdxdyyxf|)()(2| ,2|:|AyAxD 注注现在学习的是第23页，共28页证一证一令令yxvyxu ,则则yuvxuv2,2 AuvAAvuADD ,:021),(),( vuyxJ DDdudvufdxdyyxf)(21)( AuAAuAuAuAdvduufdvduuf00)(21)(21 00)()(21AAduuAufduuAufuv现在学习的是第24页，共

16、28页 00|)(|)(AAduuAufduuAuf AAduuAuf|)(证二证二 2222)(AAAxAxdttfdx 022022)()(AAtAAAAtdxtfdtdxtfdt DAAAAdyyxfdxdxdyyxf2222)()(xy现在学习的是第25页，共28页 00)()(AAdttAtfdttAtf AAdttAtf|)(证三证三记记 xdttfxF0)()(则则 Ddxdyyxf)( 2222)(AAAAdyyxfdx 22)2()2(AAdxAxFAxFu v 现在学习的是第26页，共28页 AAdvvFduuF00)()(（分部积分）（分部积分） AduuufAuuF0)(0)( 0)(0)(AdvvvfAvvF AAdtttfdtttfAAFAAF00)()()()( AAAAdttftdttfA)(|)( AAdttftA)(|现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看现在学习的是第28页，共28页