余弦定理优质课.ppt

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1、关于余弦定理优质课现在学习的是第1页，共26页1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：复习回顾：现在学习的是第2页，共26页RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角4 4、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的形，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实

2、现三角形边角关系的状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化转化复习回顾：2 2、A+B+C=A+B+C=现在学习的是第3页，共26页 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置上选一适当的位置A A，量出，量出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，再利用经纬仪测的距离，再利用经纬仪测出出A A对山脚对山脚BCBC（即线段（即线段BCBC）的张角，最后通过计算求出山脚的长）的张角，最后通过计算求出山脚的长度度BCBC已知：AB、 AC、角(两条边、一个夹角)实际问题实际问题现在学习的是第4页，共26页实际问题

3、数学化: 在ABC中，已知边AC，BC及C ,求AB.ABc分析转化分析转化现在学习的是第5页，共26页 任意一个三角形，已知两边和夹角，求第任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边三边.c=?若若ABC为任意三角形，已知为任意三角形，已知BC=a，AC=b及及C，求，求AB边长边长c.即ABcab一般化问题一般化问题现在学习的是第6页，共26页 0 02 22 22 2 A AB B= = A AC C+ +2 2 A AC C C CB B c co os s( (1 18 80 0 - - C C) )+ + C CB B证明：证明：2 22 22 2c c = = a a + +b b

4、 - -2 2a ab bc co os sC C向量法向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCaCabbaccos2222现在学习的是第7页，共26页bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点垂点垂直于直于CB的直线为的直线为y轴，建立如图所示的坐轴，建立如图所示的坐标系，则标系，则A、B、C三点的坐标分别为：三点的坐标分别为：( cos, sin)A bC bC2 22 22 2c c = = a a + +b b - -2

5、2a ab bc co os sC Cxy( ,0)B a(0,0)C坐标法坐标法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222现在学习的是第8页，共26页现在学习的是第9页，共26页 三角形三角形任任何一边的平方等于其他何一边的平方等于其他两边平方的和减去两边平方的和减去这这两边与它们两边与它们夹夹角的余角的余弦的积的两倍弦的积的两倍.2 22 22 2- -c c = = a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = = b b + +c c2 2b bc cc co os

6、sA A2 22 22 2- -b b = = a a + +c c2 2a ac cc co os sB B余弦定理余弦定理ABCabc余余 弦弦 定定 理理现在学习的是第10页，共26页问题问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边平勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？理之间的关系？剖剖 析析 定定 理理勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广是勾股定理的推广.现在学习的是第11页，共26页

7、问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）剖剖 析析 定定 理理现在学习的是第12页，共26页2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B（3 3）已知）已知a

8、a、b b、c c（三边），可以（三边），可以求什么？求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA 222090cbaA 222090cbaA abcbaC2cos222问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？剖剖 析析 定定 理理现在学习的是第13页，共26页（1）已知三边求三个角）已知三边求三个角；2 22 22 2b b+ + c ca ac c o o s s A A = =- -2 2 b b c c2 22 22 2a a+ + c cb bc c o o s s B B = =- -2 2 a a c c2 22 22 2a a+

9、+ b bc cc c o o s s C C = =- -2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用是余弦定理在解三角形中的作用是什么？什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三边们的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理现在学习的是第14页，

10、共26页例例1 在在ABC中，已知中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41 ，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1 cm）.解：解：方法一：方法一： 根据余弦定理，根据余弦定理， a=b+c-2bccosA =60+34-26034cos41o 1 676.82， a41(cm).现在学习的是第15页，共26页接上页接上页 由正弦定理得，由正弦定理得，因为因为c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用是锐角，利用计算器可得计算器可得C33，B=180o-(A+C)180o-(41o+33o)=106.例例1 在在ABC中，已知

11、中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41 ，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1 cm）.现在学习的是第16页，共26页 根据余弦定理，根据余弦定理， a a=b=b+c+c-2bccosA-2bccosA =60 =60+34+34-2-260603434cos41cos41o o1 676.821 676.82， a41(cm).a41(cm).由余弦定理得由余弦定理得所以利用计算器可得所以利用计算器可得C33C33， B=180B=180o o-(A+C)180-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106)=106.

12、 .方法二：方法二：现在学习的是第17页，共26页注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.思考思考: :在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？现在学习的是第18页，共26页例例 2、在、在ABC中，已知中，已知a7，b10， c6，求，求A、B和和C.解：解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36 B180(AC)100. .sinC 0.5954, C 36或或14

13、4( (舍舍).).c sinA a()现在学习的是第19页，共26页Bacacbcos2222 解解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或现在学习的是第20页，共26页已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和二角一边和二角( (如如a,B,C)a,B,C)两边和夹角两边和夹角( (如如a,b,C)a,b,C)两边和其中一边两边和其中一边的对角的对角( (如如a,b,A)a,b,A)三边三边(a,b,c)(a,b,c)由由A+B+C=180A+B+C=180求角求角A,A,由正弦定理由正弦定理求出求出b b与与c.c.

14、解三角形的四种基本类型解三角形的四种基本类型正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c c，再由正弦定理求，再由正弦定理求出剩下的角出剩下的角. .正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,B,再求角再求角C,C,最后求出最后求出c c边边. .可有两解可有两解, ,一解或无解一解或无解. .余弦定理余弦定理先由余弦定理求出其中两个角先由余弦定理求出其中两个角, ,再利用内角和为再利用内角和为180180求出第三个角求出第三个角. .现在学习的是第21页，共26页练习练习CA201现在学习的是第22页，共26页练习练习现在学习的是第23页，共26页AB

15、C中,（1）a4，b3，C60，则c_；14.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _.104.5（3）a2，b4，C135，则A_.13练习练习现在学习的是第24页，共26页1. 1.余弦定理余弦定理 推论推论2 22 22 2b b+ + c c- - a ac co os sA A = =，2 2b bc c2 22 22 2c c+ + a a- - b bc co os sB B = =，2 2c ca a2 22 22 2a a+ + b b- - c cc co os sC C = =2 2a ab b2.2.余弦定理的作用余弦定理的作用（1 1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角它两角课堂小结课堂小结CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222现在学习的是第25页，共26页2022-8-30感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第26页，共26页