一元二次方程根的分布讲课课件.ppt

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1、关于一元二次方程根的分布讲课现在学习的是第1页，共34页 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点一、复习现在学习的是第2页，共34页结论结论零点存在定理零点存在定理(1) (1) 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的一条曲线：的一条曲线：(2) f(a)(2) f(a)f(b)0f(b)0）的 根的分布21212(3)40:300mmxxmx xm 法101mm1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根均为正根（

2、负根）224(3)40003022bacmmfmbma 法2:（ ）yx1x2ox现在学习的是第5页，共34页例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （2）有两个负根2121 2(3)40300mmxxmx xm 9mm现在学习的是第6页，共34页2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负x1x2yoxx1x2yox 00f0a：2）（法法000fa）（或af（0） 000121acxx：法现在学习的是第7页，共34页问题的引入：问题的引入：1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两的两 个根都大于个根都大于1 1，则实数，则实数 的取值范围的取值范围 是是 . . 2

3、2、关于、关于x x的方程的方程 的两个的两个 根均大于根均大于 - 2- 2小于小于4 4，求实数，求实数 的取值范的取值范围围. .03)2(2xmxmm0) 1(222mmxx现在学习的是第8页，共34页问题的解决：问题的解决：例例1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两个根都大于的两个根都大于1 1，则实数则实数 的取值范围是的取值范围是 . . 分析分析（1 1）方程有根，与方程有根，与 有关有关. .仅仅靠韦达定理是仅仅靠韦达定理是不够的不够的. . (2) (2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象象, , 数 形 结 合

4、解 决数 形 结 合 解 决. .此 时 与此 时 与 有有 有关，及有关，及 有关有关. .03)2(2xmxm判别式判别式端点的函数值端点的函数值对称轴对称轴 如图，函数如图，函数 的图象决定着：的图象决定着：（1）最小值的正负，与判别式有关）最小值的正负，与判别式有关;（2）对称轴；）对称轴；（3）函数值）函数值 的正负的正负.) 1 (f现在学习的是第9页，共34页问题的解决：问题的解决：例例1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两个根都的两个根都大于大于1 1，则实数，则实数 的取值范围是的取值范围是 . . 03)2(2xmxm12206) 1 (012)2(2mmfm322

5、6m解：令 ，则 3)2()(2xmxxf现在学习的是第10页，共34页问题的解决：问题的解决： 例例2 2、关于、关于x x的方程的方程 的两个根均大于的两个根均大于 - 2- 2小于小于4 4，求实数，求实数 m m 的取值范围的取值范围. . 解：令解：令 ，则，则 所以所以, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . .)3 , 1(0) 1(222mmxx) 1(2)(22mmxxxf420158)4(034)2(0) 1(442222mmmfmmfmm31m现在学习的是第11页，共34页问题的解决：其实问题的解决：其实, ,有那么复杂吗有那么复杂吗? ? 例例2 2、关于、关于

6、x x的方程的方程 的两个根均大于的两个根均大于 - 2- 2小于小于4 4，求实数，求实数 m m 的取值范围的取值范围. .另解另解: : 原方程的两个根分别为原方程的两个根分别为 而而 ， 所以所以 ，由此可得，由此可得 . . 所以所以, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . .)3 , 1(0) 1(222mmxx11mm1, 1mm4121mm31m现在学习的是第12页，共34页问题的启示：学会具体问题具体分析问题的启示：学会具体问题具体分析. . 对于这道题而言对于这道题而言, ,后一种办法比较简单后一种办法比较简单, ,但是要会但是要会前一种通法前一种通法. . 例如例

7、如, , 关于关于x x的方程的方程 在区间在区间 上有两个不同的解上有两个不同的解, , 求实数求实数 的的 取取值范围值范围. . 用后一种方法解答比较困难用后一种方法解答比较困难. . 两种方法都要会两种方法都要会, ,我们提倡具体问题具体分析我们提倡具体问题具体分析, ,哪哪一种解法简单就用哪一种一种解法简单就用哪一种. . 04) 1(2xmx3 , 0m现在学习的是第13页，共34页问题的根源：方程根的分布问题，问题的根源：方程根的分布问题， 与对与对应的二次函数图象有关应的二次函数图象有关. .（1 1） 函数的性质决定函数的图象函数的性质决定函数的图象, ,函数的图象函数的图象

8、反映函数的性质反映函数的性质. . （2 2）方程有根，与）方程有根，与判别式判别式有关有关. .对应的二次函对应的二次函数图象与数图象与 轴有交点轴有交点. .（3 3）方程有什么样的根，与）方程有什么样的根，与端点的函数值端点的函数值有有关，与二次函数图象的关，与二次函数图象的对称轴对称轴有关有关. .仅仅靠韦仅仅靠韦达定理是不够的达定理是不够的. . 注注: :抛物线就象一根电线抛物线就象一根电线, ,函数值（包括最小函数值（包括最小值）就象铆钉一样值）就象铆钉一样, ,决定着它的走向决定着它的走向. . x现在学习的是第14页，共34页结论：我们从上面的例子总结一下解决这类问 题的步骤

9、：1.1.根据题意大致画出对应的二次函数的图象根据题意大致画出对应的二次函数的图象。2.2.列出不等式组列出不等式组( (一般重点考虑下面四个方面一般重点考虑下面四个方面) ) 判别式判别式 对称轴对称轴 端点端点 开口方向开口方向3.3.解不等式组，得出结论。解不等式组，得出结论。思路说明现在学习的是第15页，共34页意控制三个量：要注二次方程的根的分布，讨论一般地，利用二次函数端点函数值对称轴现在学习的是第16页，共34页考虑：考虑：a0的一元二次方程，当二次项的一元二次方程，当二次项系数小于系数小于0时，先化为正。时，先化为正。强调：把一元二次方程化为强调：把一元二次方程化为标准形式标准

10、形式： ax2+bx+c=0 (a0)现在学习的是第17页，共34页一、若关于一、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的两个根都小于的两个根都小于m，求求a,b,c满足的条件。满足的条件。1xy01xm2x02( )0bmaf m 类型一：类型一：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第18页，共34页二、若关于二、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一个根大于的一个根大于m,另另一个根小一个根小m,求求a,b,c满足的条件。满足的条件。xy0m( )0f m 类型二：类型二：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第19页，共34页例例3、

11、若关于、若关于x的方程的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于的两根一个小于1，另一根大于，另一根大于1，试试求实数求实数k 的取值范围。的取值范围。1xy0123时当0k0) 1 (f由图象得：4 k0k时当0k0) 1 (f由图象得：4 k4k04kk或综上得：2423)(2kxkxxf解：设现在学习的是第20页，共34页例例1、若关于、若关于x的方程的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于的两根一个小于1，另一根大于，另一根大于1，试求试求实数实数k 的取值范围。的取值范围。1xy01230) 1 (kf由图象得：04kk或解得：2423)(2kxkxxf解：设现在学习的

12、是第21页，共34页三、若关于三、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一个根在的一个根在 (m,n)，另一根在另一根在(p,q)，求求a,b,c满足的条件。满足的条件。1xy0pmqn0)()(0)()(qfpfnfmf类型三：类型三：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第22页，共34页例例4、若关于、若关于x的方程的方程3x2-5x+a=0的一根大于的一根大于-2而小于而小于0，另一根大于，另一根大于1而小于而小于3，试求实数，试求实数a 的取值范围。的取值范围。axxxf53)(2解：令0)3()1(0)0()2(ffff. 012a解得1xy01230)1

13、2()2(0)22aaaa（现在学习的是第23页，共34页四、若关于四、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)有且仅有有且仅有一个根一个根在在 (m,n) ，求求a,b,c满足的条件。满足的条件。xy0mn( ) ( )0f m f n 类型四：类型四：2( )(0)f xaxbxca 220)f(k220)(212211kkabkkabkf或或现在学习的是第24页，共34页五、若关于五、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的两个根都在的两个根都在 (m，n)内内,求求a,b,c满足的条件。满足的条件。1xy0mn0)(0)(20nfmfnabm类型五：类型五

14、：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第25页，共34页例例4、已知关于、已知关于x的方程的方程4x2-4x+m=0在在-1，1上上有两个根，求有两个根，求m的取值范围。的取值范围。1xy01mxxxf44)(2解：令0) 1 (01616fm由图象知：10m现在学习的是第26页，共34页一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 （一）与（一）与0比较比较 （1）有两正根）有两正根 （2）有两负根）有两负根 （3）一正一负）一正一负 （二）与（二）与k比较比较 （1）有两个大于）有两个大于k的根的根 （2）有两个小于）有两个小于k的根的根 （3）一个大于）一个大于k，一个小于，一个小

15、于k （4）有一个根在区间）有一个根在区间(k1,k2)内内 （5）区间）区间(k1,k2)内有两个根内有两个根现在学习的是第27页，共34页一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布两个正根 两个负根一正根一负根一根为零 一正一负，且负的绝对值大 0acxx0abxx021210acxx0abxx02121021abxx0acxx0abxx02121C0 考虑：判别式、两根之和、两根之积现在学习的是第28页，共34页一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布0)(20kfkab0)(20kfkab两个根都小于k两个根都大于k一个根小于一个根小于k,k,一个根大一个根

16、大于于k k yxkoyxkoyxkof(k)0）的 根的分布两个根都在（两个根都在（k1 , k2 )内内两个根有且仅有一个两个根有且仅有一个在在(k1 , k2 )内内x1k1 k2 x2 0)(0)(202121kfkfkabk0)(0)(21kfkfyxk2ok1yxk2ok1yxk2ok112( ) ()0f kf k考虑：判别式、开口方向、对称轴、端点值的正负220)f(k220)(212211kkabkkabkf或或现在学习的是第30页，共34页的取值范围。求实数满足、两根的的方程、若关于练习pppxpxx, 21002)13(71221xy02如图解：因为, 21002)13(22802)13(702222pppppppp304221ppppp或或4312pp或0)2(0) 1 (0)0(fff现在学习的是第31页，共34页xy0312110) 1(0f解：要使方程有根，则02310449kk25169k的范围。上有实根，求，在、若练习kkxx 1102322现在学习的是第32页，共34页xy0312110) 1(0f解：要使方程有根，则02310449kk25169k的范围。上有实根，求，在、若练习kkxx 1102342现在学习的是第33页，共34页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第34页，共34页