二次型及其标准形.ppt

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1、二次型及其标准形二次型及其标准形现在学习的是第1页，共53页 学习要点： 1. 了解向量的内积、长度及正交等知识. 2. 掌握实对称矩阵的对角化方法. 3. 重点掌握实二次型的标准化方法，主要 有正交变换和配方法两种常用方法： 4. 了解正定二次型的性质、判定和应用.现在学习的是第2页，共53页6.1 欧氏空间 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广， 但是只定义了线性运算， 而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们构成了三维空间丰富的内容.我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),cos(yxyxyx 建立标准的直角坐标系后, 可用向量的

2、坐标来计算内积设TTyyyyxxxx),(,),(321321 则332211yxyxyxyx 现在学习的是第3页，共53页TnTnyyyyxxxx),(,),(2121xyyxyxyxyxyxTTnn2211,称x,y为向量x与y的内积.令(内积的定义)设有n维向量定义了内积的实向量空间称为Euclid空间.现在学习的是第4页，共53页;,(1)xyyx;,(2)yxyx;,) 3(zyzxzyx. 0,0, 0,(4)xxxxx有时且当(内积的性质),22221nxxxxxx（向量的长度）长度（或范数）.称 为n维向量x的x现在学习的是第5页，共53页,2yyxxyx(Cauchy-Sch

3、warz不等式)即niiniiniiiyxyx121221niiiiiiiytyxtxytx122220)()(2)(这由的判别式 易知.0(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证)（向量长度的性质）(1)非负性 当 时， ；当 时， 000；0；xx(2)齐次性.yxyx(3)三角不等式现在学习的是第6页，共53页)(0,arccosyxyx（单位向量）当 时，称 x 为 n 维单位向量.1x（向量的夹角）在欧氏空间V中，所确定.任意两个非零向量的夹角由 （向量的正交）在欧氏空间V中，若 ，0,称向量x和y正交.向量 是与 同方向长度是1的向量，称为对 单位化.1若x=0，则显然

4、x与任何向量都正交.现在学习的是第7页，共53页 若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交: ，则称该向量组为正交向量组. 又如果这些向量都是单位向量: ，则称该向量组为规范正交向量组. 若该向量组是一个向量空间 V 的基，又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基. )(0,jijir,211i（规范正交基）现在学习的是第8页，共53页例如:100,010,001321eee是向量空间R3的一个规范正交基(通常称为自然基).010,00121ee再如:是下面向量空间V的一个规范正交基.),span()0 ,(|21213eexxxRxVT现在学习的是第9页，共53页, 0021111T由

5、.01从而有. 02r同理可得.,21线性无关故r使又设有数r,21，02211r得左乘上式两端以,1aT，0111T证明 ,r21 设 是正交向量组正交向量组必线性无关.现在学习的是第10页，共53页 设 是向量空间V的一个基(坐标系),如何在向量空间V中建立(规范)正交基(坐标系)?r,21这个问题就是找与 等价的正交向量组r,21r,21问题现在学习的是第11页，共53页11,1112122111122221111,rrrrrrrrr222321113133,设 线性无关r,21令则 两两正交, 且与 等价. r,21r,21111/ 222/ rrr / 是与r ,21等价的规范正交组

6、（施密特正交化过程）现在学习的是第12页，共53页TTTaaa)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1(321 Tab1 , 1 , 1 , 111 1112122,bbbabab TT1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求 的一个规范正交基, 并求向量),span(321aaa222321113133,bbbabbbbabab TTT3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 T0 , 2, 1 , 1 解 易知 线性无关, 由施密特正交化过程32

7、1,aaaTaaa)4 , 2 , 5 , 5(321 在该规范正交基下的坐标.例6.3现在学习的是第13页，共53页再单位化 111121111bb 3120141222bb 021161333bb 当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后, 求一个向量的坐标就特别方便332211 两边分别与 内积321, ,332211 6, 0, 8321 608,111,4255321321 aaa T)4 , 2 , 5 , 5( 现在学习的是第14页，共53页A 是正交矩阵（正交矩阵）若n阶方阵A满足ATA=E，则称A为.A 的列组是规范正交组A 的行组是规范正交组AAT=EA-1=AT现在学习

8、的是第15页，共53页 100010001212221212111nTnTnTnnTTTnTTT njijijiijjTi, 2 , 1, 0, 1 当当当当 ,21nA 记记EnTnTT ,2121 EAAT 证 (只证第一条)现在学习的是第16页，共53页(1) A是正交矩阵，则A-1和A*都是正交矩阵；(2) A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3) A是正交矩阵，则 ；1A(4) P是正交矩阵，则 ，nRxxPx,即正交变换保持向量的长度不变。AAAEAAAEAAAAATT2*)(22)()(xxxPxPxPxPxPxTTTT现在学习的是第17页，共53页对称矩阵不同特征值对应的

9、特征向量必正交.实对称矩阵的特征值必为实数.(证明自学)从而特征向量可取到实的.证明21222111,AA21221211111TTTTTAA0)(2112T021T6.2 实对称矩阵对角化现在学习的是第18页，共53页ndiagAQQ,211n,21是A的特征值。设A是一个n阶实对称矩阵，则必存在一个n 阶正交矩阵Q，使得 ，其中对称矩阵必可正交对角化。即对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数.即等于其对应的最大无关特征向量的个数.iiiinnAEAEnn)r()r(即现在学习的是第19页，共53页011101110A把对称矩阵 正交对角化。: 求特征值。111111| AE1111011)

10、1(21111001) 1(2) 1)(2(, 21132(特征值必都是实数)111101121rr例6.7现在学习的是第20页，共53页: 求线性无关的特征向量.21对 ，解方程组0)2(xAE?)2(AEr求得基础解系(即最大无关特征向量)11110001101012111211122rAE现在学习的是第21页，共53页132对 ，解方程组0)(xAE?)r( AE000000111111111111rAE求得基础解系(即最大无关特征向量)101,011321111前面的?,21?,31?0,32现在学习的是第22页，共53页: 检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交, 用施密特过

11、程正交化， 再把正交的特征向量单位化。101,01132222112110121011,2223233还是特征向量吗？32,现在学习的是第23页，共53页: 把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵.单位化： 11131111 01121222 21161333 则 1121APPAPPT令 ,3, 21 P 62316121316121310现在学习的是第24页，共53页在平面解析几何中，我们知道标准方程122yBxA中222Ryx的图形为圆。12222byax的图形为椭圆。12222byax的图形为双曲线。对于一般二次曲线dcybxyax22的图形是什么？6.3 二次型及其矩阵表示现在学习的是

12、第25页，共53页引言判别下面方程的几何图形是什么？)1(103222 yxyxcos( )sin( )sin( )cos( )xxyyxy 作旋转变换代入(1)左边，化为：22511022xy见图所示.6 221420 xyxyxy现在学习的是第26页，共53页称为二次型。（1）1221111212131311222223232221,111,1(,)222 22 2 nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxx 2 nnna x 含有n个变量 的二次齐次多项式12,nx xx定义1：现在学习的是第27页，共53页例如：22(

13、, )45f x yxxyy 22( , , )2f x y zxyxzyz 1234122324(,)f x xxxx xx xx x 都是二次型。22( , )5f x yxy 22( , )22f x yxyx 不是二次型。现在学习的是第28页，共53页2211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取2ijijijijjiija x xa x xa x x 则则（1）式可以表示为11112211()nna xa xxxa 21122222()nna xa xxxa 1122()nnnnnna x

14、a xxa x ,1nijiji ja x x 二次型用和号表示现在学习的是第29页，共53页nnnnnnnnnna xa xa xa xa xxa xa xaxxxa x 21111122121122221122(,)1111212122221212(,) nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax 现在学习的是第30页，共53页12 nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令 TfX AX 则其中A为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素iia恰好是nixi, 2 , 12的系数。3、jixx的系数的

15、一半分给.jia可保证.jiijaa 现在学习的是第31页，共53页1123231-20(,) -201/2 01/2-3xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x 例如：二次型注：二次型 对称矩阵把对称矩阵 称为二次型 的矩阵；Af也把二次型 称为对称矩阵 的二次型fA对称矩阵 的秩称为二次型 的秩。Af TfX AX 二次型定义2：现在学习的是第32页，共53页例1写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。解3231213322211410695xxxxxxxxxf AxxxxxxxxT 321321975753531,Bxxxxxxxxxx

16、xfT 321321321987654321,),(2)r()r( Af： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?AxxfT 现在学习的是第33页，共53页只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在 中取值的标准形0 , 1, 1 221221rppxxxxf (：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。)称为二次型的规范形。现在学习的是第34页，共53页简记nnycycycx12121111,)(,nnijcCCYX设,21TnxxxX.,21TnyyyY若一、 非退化线性变换（可逆线性变

17、换）nnycycycx22221212nnnnnnycycycx2211为可逆线性变换。CYX 当C 是可逆矩阵时, 称6.4 化二次型为标准型当C是正交矩阵时，称为正交变换。XCY现在学习的是第35页，共53页对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型经过可逆线性变换CYX 2221122 nnfk yk yk y使得为什么研究可逆的变换？即经过可逆线性变换CYX 可化为AXXfTYACCYTT)()()(CYACYTACCBT令),(,21nkkkdiagB现在学习的是第36页，共53页矩阵的合同： . ,

18、 , , BAACCBCBAnT合合同同于于则则称称使使得得若若存存在在可可逆逆矩矩阵阵、阶阶方方阵阵两两个个 证明TTTACCB)( ) 1 (2) TBC ACC因为 可逆)()( ArBr所以所以 )()( )2( )1(ArBrACCBT 仍仍是是对对称称矩矩阵阵定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则TTTTCAC)(BACCT注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1) 反身性(2) 对称性(3) 传递性现在学习的是第37页，共53页二. 化二次型为标准形正交变换法（重点） 配方法目标：AXXfT 二二次次型型 CYX 可可逆逆线线性性变变换换YACCYfTT)( 标准形标准形2

19、222211nnykykyk YYT 问题转化为： 为为对对角角矩矩阵阵，使使得得求求可可逆逆矩矩阵阵ACCCT现在学习的是第38页，共53页回忆： CAC 1使使得得所以，对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵C对于任意实对称矩阵A, 总存在正交矩阵CT C AC 使使得得现在学习的是第39页，共53页(P191 定理6.2.1) 总总有有任任给给二二次次型型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换fPyx, 1. 正交变换法(重点)现在学习的是第40页，共

20、53页3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf124242421A 4512424250512424242112AE4, 5:321的特征值为所以A解 二次型的矩阵为例例1 1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。现在学习的是第41页，共53页4, 5:321的特征值为所以A101,0121:, 05, 522121得基础解系为解对XAETXAE1 ,21 , 1:, 04, 433得基础解系为解对3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：1231421112,2 ,1 ,3545052 现在

21、学习的是第42页，共53页4, 5 , 5,32455031452523245451,41321diagAQQAQQQQT并且是正交矩阵。则令5)写出正交变换 X=QY，则可得标准型222123554fyyy现在学习的是第43页，共53页 二次型必可化为规范形。证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:)0(22112211 irrppppkykykykykf再做一次可逆的线性变换 nrizyrizkyiiiii, 1 , 2 , 11则 f 化为221221rppzzzzf 6.5 正定二次型与正定矩阵现在学习的是第44页，共53页定理定理( (惯性定理惯性定

22、理) ) 任何实二次型总可以经过一个适当任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,规范形是唯一的。222211pprfZZZZ其中r 为f 的秩，p为正惯性指数，rp为负惯性指数。现在学习的是第45页，共53页都有 正定二次型定义 设AXXxxxfTn,21为实二次型( A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量,),(21nTnRxxxX)0(0),(21AXXxxxfTn称 f 为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型 f 的矩阵A为正定(半正定)矩阵。二次型的对称矩阵A是正定二次型二次型AXXxxxfn),(21现在学习的是第46页，共53页22213212),(xxxx

23、xf例1 判别下列二次型的正定性故半正定.1.2221212),(xxxxf2.解 1. 任0),(321xxx代入都有. 0) 1 , 0(f2. 0)0 , 1 (f),(21xxf不定.123( ,)0f x x x现在学习的是第47页，共53页当设存在可逆变换, 0),(21nxxxXCYX , 01XCYC)1 (nss证明可逆,充分性:使2221122nnfk yk yk x0,sk seY 第 个列向量)时,s), 2 , 1(0niki时. 0,21nxxxf必要性:则取,使假设存在s(第 个分量是1,其余分量为0的单位向量), 0),(21snkxxxf0ssXCYCeC与

24、f 正定矛盾.sC(其中 为可逆矩阵 的C定理 实二次型AXXfT正定标准形中n个系数全为正.现在学习的是第48页，共53页定理2 实二次型AXXfT正定标准形中n个系数全为正.实对称矩阵A正定存在可逆矩阵P，使得推论推论A的 n 个特征值全为正.TAP P 现在学习的是第49页，共53页证明),(21nTdiagAQQ为实对称阵,A,1TnQQA则存在正交矩阵,Q使必要性:), 2 , 1(0nii,11TnnQQA现在学习的是第50页，共53页则 为可逆矩阵,P令令.PPAT由于 可逆,P, 0X,21TnQP且充分性:任意XPPXAXXTTT)(),()(PXPXT则, 0PX从而. 0AXXT现在学习的是第51页，共53页, 011a), 2 , 1(0) 1(212222111211nraaaaaaaaarrnnrrr各阶顺序主子式全大于0,即定理3A正定, 022211211aaaa. 0,A奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子A负定式为正,即现在学习的是第52页，共53页判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性., 051 , 0262 , 0803 A例4解,402062225 A二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别 为正定.现在学习的是第53页，共53页