二阶常微分方程.ppt

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1、二阶常微分方程现在学习的是第1页，共33页 二阶常微分方程 常用齐次定解问题 数学物理中的对称性 特殊函数常微分方程 常微分方程的级数解法 斯图姆刘维尔本征值问题 本章小结现在学习的是第2页，共33页常用齐次定解问题 常用齐次定解问题的要素 常用齐次定解问题的分类 拉普拉斯算符的形式 拉普拉斯算符形式的推导现在学习的是第3页，共33页常用齐次定解问题要素02uuaunt稳定方程：演化方程：泛定方程）（），用球坐标（球形：），用极（柱）坐标（圆形：）用直角坐标（矩形：边界形状,rzzyx）（初始速度：）（初始状态：初始条件rgurfuttt00|现在学习的是第4页，共33页常用齐次定解问题的分类

2、直角坐标极坐标球坐标稳定方程演化方程 ！ ！ 现在学习的是第5页，共33页拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极柱坐标球坐标yyxx2zz2211122zz22sin1sin1sin22112122rrrrrrrrrr现在学习的是第6页，共33页极坐标下拉普拉斯算符形式的推导yyxx2sincosyx2112121cossinsincosyx极坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系现在学习的是第7页，共33页数学物理中的对称性 对称性的概念 定义：对称性就是在某种变换下的不变性 分类对称性的描述 对称性原理 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性

3、。对称性的应用现在学习的是第8页，共33页对称性的分类空间转动对称性空间反演对称性空间平移对称性空间时间反演对称性时间平移对称性时间动力学对称性时空对称性现在学习的是第9页，共33页对称性的描述对称性名称对称条件对称函数沿z轴反演对称沿z轴平移对称绕z轴转动对称绕原点转动对称),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfazyxf),(),(zfzf|)| ,(zyxff ),(yxff ),(),(rfrf),(zff)(rff ),(),(rfrf),(rff ),(),(zfazf),(ff 现在学习的是第10页，共33页对称性的应用柱坐标输运方程对称性未知函数泛定方程无任何对称性沿z

4、轴平移对称绕z轴转动对称双重对称),(tzuu),(tuu),(tuu),(tzuu)(22uuauzztuaut22)(12uuuauzzt)(12uuaut现在学习的是第11页，共33页特殊函数常微分方程 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量 一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程 极坐标下热传导方程的分离变量 一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况现在学习的是第12页，共33页球坐标下拉普拉斯方程0)(22uurrrr0) 1()(2RllRr)1(/)(2llYYRRr0) 1(YllY1llDrCrR/sin)1(/)(sinsin2ll00sin)

5、1()(sinsin2ll0) 1()1(2212xmllxmBmAsincos),()(YrRu)()(Ycosx现在学习的是第13页，共33页球坐标下拉普拉斯方程0)(22uurrrr0) 1()(2RllRr)1(/)(2llYYRRr0) 1(YllY1llDrCrR0sin)1(/)(sinsin2ll0) 1()1(2llx)()(YrRu)(Ycosx现在学习的是第14页，共33页极坐标下热传导方程uaut22022TkaT222/)/(kvvTaT022vkv)exp(22tkaAT/)(22RkRR00)()(221RkR0)1 (221RRRxmxmBmAsincos),(

6、)(vtTu)()( Rvkx现在学习的是第15页，共33页常微分方程的级数解法 常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解现在学习的是第16页，共33页常微分方程中点的分类 二阶变系数常微分方程的一般形式 w”+p(z)w+q(z)w=0 方程中点的分类 常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点 正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况现在学习的是第17页，共33页各点邻域级数解的形式非正则奇点 z0 邻域 有一解为00)(kkkzzaw00)(kskkzzawkskkzzaw)(0常点z0邻

7、域两解均为正则奇点 z0 邻域有一解为其中 s 由判定方程确定a00现在学习的是第18页，共33页勒让德方程的级数解0) 1(2)1 (2yllxyyx勒让德方程为：000kkkxayx为常点，邻域解为：020201)2)(1()1(kkkkkkkkkxakkxakkyxkay级数解的导数为：0) 1(2) 1() 2)(1(02kkkkkkxallkaakkakk代入方程得：0)1() 1()2)(1(2kkallkkakk即：现在学习的是第19页，共33页勒让德方程的级数解kkklklkkkkllkkkaaa)1)(2()1)()1)(2()1()1(2递推公式：06)5)(3)(1)()

8、2)(4(456)5(4604)3)(1)()2(234)3(2402)1)(012)1(2aaaaaaaaallllllllllllllllll！（）（！（）（！具体递推：0)2() 12() 1)()22(22) 12()2() 12(222aaakkllllkkkkkllkk！（）（现在学习的是第20页，共33页勒让德方程的级数解kkklklkkkkllkkkaaa)1)(2()1)()1)(2()1()1(2递推公式：17)6)(4)(2)(1)3)(5(567)6(5715)4)(2)(1)3(345)4(3513)2)(1(123)2)(1(3aaaaaaaaallllllllll

9、llllllll！（）（！（）（！具体递推：1) 12()2()2)(1)12(12)2() 12()2(1212aaakkllllkkkkkllkk！（）（现在学习的是第21页，共33页勒让德方程的级数解)()(1100121222xyaxyaxaxaykkkk通解：！特解：)12()2()2)(1()12(12121201)2()12()1)()22(22200,kkllllkkkkkkkllllkkkkkbxbybxby性质：奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数；退化性：l 为非负整数时，级数解退化为多项式；收敛性：特解的收敛半径为 1 ；有界性：在 x = 1 时，非退化级数解发散。现在

10、学习的是第22页，共33页贝塞尔方程的级数解0)(222ymxxyyx贝塞尔方程为：022202200kkskkkskkkskkkskxaxaxayxxay：为正则奇点，邻域解为0201)1)()(kkskkkskxaksksyxaksy级数解的导数为：0)(0222kkskkxaamsk代入方程得：0)(222kkaamsk即：ak0=0现在学习的是第23页，共33页贝塞尔方程的级数解0)(2kkaamksmks递推公式：02)2)(1(!212)42(41402)1(110)22(21242aaaaaammmmm！具体递推：02)()1(122)22()2(122)1(aaakkmmkkk

11、kmkk！22110)2(1)(1200)1)(1(10)(0kkkakmkamksmksakaamsmskmsamsmsk现在学习的是第24页，共33页贝塞尔方程的级数解 )1(210022)1(!)1(,)(mkkmxkmkmmkaxJy特解：mxxJmxxJmmmmmmmNxDNxCJxBJxAJysin)(cos)()()()()(通解：性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；收敛性：特解的收敛半径为 ；有界性：在 x 0，m0 时, Jm有界，Nm发散。现在学习的是第25页，共33页斯图姆刘维尔本征值问题本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：

12、相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题 斯特姆刘维尔本征值问题 斯特姆刘维尔型方程 斯特姆刘维尔型边界条件 斯特姆刘维尔本征值问题的性质 可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数； 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交； 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。现在学习的是第26页，共33页斯特姆刘维尔本征值问题 斯特姆刘维尔型方程,0)()()(baxyxyxqyxk其中k(x)、q(x)和(x)都非负；k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。 斯特姆刘维尔型边界条件 三类齐次边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件现在学习的是第27

13、页，共33页斯特姆刘维尔本征值问题abkq 本征值问题0L1010L101-111-x2010bxm2/xx0)()0(, 0Lyyyy)()(, 0 xyLxyyy)1(, 0)1(2yyyx0)(,) 0 (, 0 2byyxyyxyxm现在学习的是第28页，共33页本征函数集合的正交性和完备性正交性bammnnmNdxxxyxy2,)()()(完备性)()(xyfxfnnbanNndxxxyxffn)()()(21展开系数现在学习的是第29页，共33页本征函数集合的正交性和完备性例题1LLmnnmdxxyxy02,)()(问题LnLnnndxxyxffxyfxf02)()()()(0)(

14、)0(, 0LyyyyxwywwnnLnnnnsin,2本征函数正交性完备性现在学习的是第30页，共33页本征函数集合的正交性和完备性例题220,2)()(mnnmdxxyxy问题2021)()()()(dxxyxffxyfxfnnnn)()2(,0 xyxyyy)exp(,2imxymmm本征函数正交性完备性现在学习的是第31页，共33页本征函数集合的正交性和完备性例题3211,)()(nnlnlNdxxPxP问题1110)()()()(2dxxPxffxPfxflNlllll, 2 , 1 , 0),(),1(lxPylllll本征函数正交性完备性)1(,0)1(2yyyx现在学习的是第32页，共33页本章小结齐次化特解常微分方程齐次化特解条件非斯刘问题斯刘问题齐次定解问题的解齐次半通解本征变化齐次定解问题非齐次定解问题现在学习的是第33页，共33页