小学数学问答手册(六、分数应用题)(13页).doc

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1、-小学数学问答手册(六、分数应用题)-第 12 页六、分数应用题208在分数应用题中，如何进行聚简为繁的训练？在分数应用题的教与学中，特别是对较复杂的分数应用题，通常采用化繁为简的方法，即：把较复杂的题目逐步分解成若干个有联系的简单应用题。这种分散难点、各个击破的方法，实际上是化繁为简的训练。与此同时，还要进行把简单应用题逐步组合成较复杂应用题的训练，使学生既看到较复杂应用题的分解过程，也看到它的组合过程，后者就是聚简为繁的训练。完成了多少米？这是一道求一个数几分之几是多少的一步应用题，属于早已掌握的旧知识，可以顺利地列式解答。结果求出后，立即提出下题：4天修完6000米，平均每天修了多少米？

2、这是一道除法中求一份数是多少的简单应用题，也比较容易列式解答。60004=1500（米）接着提出第三个问题：按每天修1500米的速度，完成计划的36000米，实际要多少天？这是除法中包含除的简单应用题，列式解答也将是顺利的。36000150024（天）在此基础上，提出第四个问题：计划30天完成的任务，实际用了24天，提前几天完成任务？这是减法中求两数差的简单应用题，列式解答为：3024=6（天）在分散的基础上，把四个熟悉并早已掌握的简单应用题组合起来，就组成了一道四步的较复杂的应用题。即：照这种速度，可以提前几天完成任务？这种聚简为繁的训练，可以帮助学生看到较复杂应用题是如何组成的，也就是较夏

3、杂应用题是怎样一步一步地复杂起来的。这是两步应用题教学中，并题训练的扩大。在此基础上，对进行化繁为简的解答，不但起了促进作用，也起了对较复杂应用题在理解上的相辅相成的作用。从而达到培养学生全面地提高逻辑思维能力的目的。209在分数应用题教学中，如何进行一题多变？一题多变是应用题教学中常用的一种教学手段，它是在掌握例题典型性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化和问题的改换，使知识向纵向和横向延伸。这对于防止学生思维的呆板，摆脱思维定势的羁绊，都是极其有益的。一题多变的方法，一般在练习课、复习课和思维训练课上使用。它不仅可以沟通知识的内在联系；还可以使基本题向深度和广度发展，从而看到较复

4、杂题的来龙去脉。既有利于学生思维灵活性的培养，又在有限的教学时间内加大练习和训练的密度。例如：教师先在黑板上板书两个条件：男生25人，女生20人。然后启发学生：依据这两个条件，在学过分数乘、除法应用题上，可以提出什么问题？开始时，一般提出下面四个问题：（1）男生人数是女生人数的多少倍？（2）女生人数是男生人数的几分之几？（3）男生人数比女生人数多几分之几？（4）女生人数比男生人数少几分之几？随着四个答案，教师继续板书，将男生25人用红笔框起来，表示为问题；把女生20人与原来提出的四个问题的答案，作为条件，分别用直线连接。这样就形成了四个新问题：在完成上述四题的口算后，再将女生20人这个条件用红

5、笔框起来，用男生25人与上述四题的结果作为条件。这样又形成了四个新问题：这时，板书已经形成了以下的网状结构：通过一题多变，将两个基本条件，先后组成了十二道基本应用题，同时揭示了分数乘、除法应用题转化关系。如果把男、女生人数和作为标准量，还可以变化出更多的题目。以上所举的例子，只是横向上的一题多变。如果在一道基本题的基础上，附加条件或引申问题，那就是纵向上的一题多变。运用一题多变，有两个问题应该注意：其一，一题多变不是目的，而是促进学生思维灵活的手段。不能为多变而多变，更不是变得越多越好，要从班级实际情况出发，做到“适可而止”。其二，进行一题多变的基础，是学生清晰而明确地掌握基本数量关系和“量”

6、与“率”的对应关系，不能匆忙起步。否则，仓促的多变，反而会引起部分学生思维上的混乱。210在分数应用题教学中，如何进行一题多解？一题多解是应用题教学的一种重要方法。即：在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，以探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生的思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。进行一题多解的训练，通常采用两种方法：一种是先找出常规解法，然后进行发散性的思考，以探求不同的思路；另一种是摆出条件和问题后，不找常规解法而直接进行发散。前者属于“同中求异”，后者属于“异中求同”。因为这两者的目标是一致的：在发展思维的前提下，“殊途同归

7、”。例如：修路队九月份（按30天计算）计划修路2400米，由于开展向国解法一：按分数应用题的常规思路，确定计划2400米为标准量，求出它两数差。解法二：按方程的思路分析，把提前的天数设为x，其含有未知数的等式为：解法三：按工程问题的思路分析，把计划的2400米看作“1”，“1”里面包含着多少个这样的几分之几，就求出了实际的天数，最后用减法求出提前的天数。解法四：按比例应用题的思路来分析，设提前的天数为x，前6天所对的比值，速度是不变量。设：可提前x天完成。解法五：仍按比例应用题的思路分析，根据速度一定，时间和数量成正个数的几分之几是多少，求这个数的方法，就可求出实际完成的天数，最后用减法求出提

8、前完成的天数。其他的解法从略。在一题多解的训练中，选择恰当的题目是非常重要的。题目要从学生已掌握的知识实际出发，题目中条件与条件、条件与问题之间的关系，都应有一定的广度，要能够为求异思维的展开，提供不同的发散点。思路狭窄的题目，是不能为一题多解选用的。一题多解与一题多变一样，多解也不是目的，目的在于通过思维的发散，开拓解题的思路，发展学生的智力。211什么是逆向的思维方法？逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析、解答应用题时，顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的；而逆向思维是不依照题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发，进行逆转推理的一种思维方法。逆向思维与顺向思

9、维是思维训练的主要的基本形式，也是思维形式上的一对矛盾。正确地进行逆向思维，对开拓分数应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会起到积极的作用。以下面两题为例：解：从题意上分析，这是一道典型的“还原法”问题，如果按一般顺向思维的方法进行思考，将难以找到解题的突破口。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的得数出发，一步步地向前逆推。在逆向推理的过程中，对原来题目里的四则运算进行逆向运算。即：加变减、减变加、乘变除、除变乘。的这个数。列式计算为：解：此题如按顺向思维来思考，就是“归一”的思路，先要求出1吨面如果从逆向思维的角度分析，可以形成另外两种不同解法：即：不着眼于先求1吨面粉需多少吨，而

10、着眼于1吨小麦可磨多少吨面粉，然后再求“倍比”的思路，求出面粉的吨数。列式计算为：通过以上两例可以看出，掌握逆向思维的方法，遇到问题可以变换角度，进行正、反两方面的思考，在开拓解题思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。212什么是对应的思维方法？对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。在小学数学的教材中，对应思维所表现的是一般对应和量率对应，一般对应是从一一对应开始的。例如：甲有6个三角，乙有4个三角，甲比乙多几个三角？这里的虚线表示的就是一一对应，即：甲和乙都有同样多的4个三角，而没有虚线的2个，正是甲比乙多的三角。一般对应随着知识的扩展，也表现在以下问题上：煤80吨

11、，平均每小时采煤多少吨？这是一道求平均数的应用题。要求出每小时采煤多少吨，必须先求上、下午共采煤多少吨和上、下午共工作多少小时。这里的共采煤吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所求的解。在简单应用题中，培养与建立对应的思维方法，这是解决较复杂的应用题的基础。因为较复杂的应用题中，间接条件较多，在推导的过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是最后结果，但往往是解题的关键所在。在分数乘、除法里，这种对应思维突出表现在数量与分率（或倍数）的对应关系上；正确的解题思路的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。从题意分析看出，这是一道“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”

12、的分数除法应用题。条件中只有20本这唯一具体的量，解题的关键是要找出这个“量”所对应的“率”。如图：确定“量”所对应的“率”，是解答此类题的唯一思考途径。按照对应的思路，列式计算为：答：书架上原有书240本。从上题的思考过程来看，没有量率对应的思维方法，就不可能找出正确的解题思路。由此可见，在解答分数乘、除法应用题时，对应的思维方法，无疑是一把宝贵的钥匙。213什么是假设的思维方法？假设的思维方法是一种推测性很强的思维方法。这种思维在解答应用题的实践中，具有很大的实用性。这是因为有些应用题用顺向思维和逆向思维都不能找到解题途径时，可以将题目中的两个或两个以上的未知条件，假设成相等的数量，也可以

13、把一个未知条件假设成已知条件，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系，趋于明朗化和简单化，这是假设思维方法的突出特点。当“假设”的任务确定后，就按照假设后的条件，依据数量的相依关系，做出相应的调整后，列式计算并求出正确的结果。题目中有件数和与用布的米数和，由于上、下衣用布量并不一样，做的件数也不一样，按照常规思路，将是无从下手的。但是运用假设的思维方法，此题并不难解决，并且有两个思路：200-80=120（件）上衣500米，比实际总米数少（520-500=）20米，这个差是由于每件上衣用布数才差20米呢？这也是答案之一。列式计算为：200-120=80（件）下衣通过计算表明：这两个思路都运用了假设的

14、思维方法。在整数应用题里的鸡兔同笼问题，实际上也运用的是这种思维方法。假设的思维方法在较复杂的分数乘、除法应用题中，应用也较广泛。如下题：各重多少吨？这样两个标准分率就一样了。用共重的吨数乘以假设后的统一分率，所得的样就可求出其中一堆的重量，另一堆重量用减法即可求出。30-12=18（吨）第二堆30-18=12（吨）第一堆以上的两个思路都是从率入手的。如果从量入手，又会形成两个思路。无论从量从率入手，都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。214什么是转化的思维方法？在分数乘、除法应用题中，常出现两个或两个以上的不同标准量，从属于这些标准量的分率，就很难进行分析和比较。运用转化的思维方法，就可

15、以将不同的标准量统一成一个共同的标准量。在此基础上，其不同标准量的分率，也转化为共同标准量下的分率。经过转化后的数量关系，也就变得简单而明朗，既便于果断地确定思路，也利于准确而迅速地安排解题的步骤。建立转化的思维方法，必须具备扎实的基础知识，对基本的数量关系，特别是对量率对应等关系，都能够熟练地掌握和运用，这是建立转化的思维方法的前提条件。运用转化的思维方法的题目，类型较多，以常见的率转化为例：少岁？从题目的条件与问题分析，这是一道和倍应用题，但标准量却有两个（父这样就转化成分数和倍的基本题。列式计算为：解这道题，也可以通过转化，使父子年龄不同标准量统一为子年龄的标转化为先求子年龄的和倍应用题

16、。如果依据题意画出线段图，还可以转化为另一种思路。一转化，就可以确定父子年龄的倍数关系。如果在观察图形的相等部分时，转换一下思维的角度，此题也可以转化103。有了这个“比”的关系，又有父子年龄的“和”，可以用按比例分配的应用题进行解答。103=13总份数上述四种解法，不仅思路不同，在算理上也有难有易，但有一个共同点：没有转化的思维方法的参与，每个思路都是难以形成的。215什么是消元的思维方法？ 在一些数量关系较复杂的应用题里，有时会出现两种或两种以上物品组合关系所构成的应用题，而在已知条件中，又只给了这几种物品相互混合后的数量的总价，如果按其他思维方法，很难分析出正确的解题思路来。这就需要运用

17、消元的思维方法，即：依据实际的需要，通过直接加、减或经过乘、除后，再间接加、减的方法，消去一个或一个以上未知数，求出第一个结果，然后再用第一个结果推导出第二个或第三个结果来。消元的思维方法与代数中的消元法是一脉相承的，只不过小学中的消元，不设x，因此，也叫做消去未知数的方法。求一升油和一升奶各重多少千克？按照消元的思维方法，题目中的条件可排列如下：7升油+22升奶29.31千克从条件排列中可见：两次的油与油、奶与奶的千克数，都存在着倍数关系，如果先消去油的千克数，把第一个条件扩大2倍，减去第二个条件，油固然可以消去，但奶的升数出现了不够减的情况。因此，只能采用第二个缩小2倍的方法，再减去第一个

18、条件，从而把油消去。条件重新排列及消元的过程如下：千克。列式计算为：油：（29.31-1.0322）7=0.95（千克）答：一升奶重1.03千克；一升油重0.95千克。除上述思路外，按照消元的思维方法，根据它们之间的倍数关系，也可以形成另一种思路。即：把第一个条件都扩大4倍，使这样就可消去奶，而先求出油来。条件排列与思路如下：列算式为：运用消元的思维方法，可以发现解答上述这类题目的规律。由于在解题步骤和分析消元的角度上，并不是唯一的，因此，消元的思维方法也必然会促进整个思维的发散性。216什么是发散的思维方法？ 发散思维的方法是依据题目中条件与条件、条件与问题的相依关系，从不同的角度上去分析，

19、从不同的途径去思考，在推理中寻找解题的线索，在比较中选择最佳思路，从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。求同思维是求异思维的前提，没有求同就没有真正的求异， 或者说：就没有真正的发散。但求异思维不是求同思维的自然发展，重要的是有计划、有目的、有重点地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”和“异中求同”，使求同思维与求异思维协同配合，做到在发散中的同步发展。以下面的两题为例：确的，但思路并不一定是一个，而是从不同角度进行发散思维的结果。7个100千克是700千克，再加1000千克，得数是1700千克。千克。数点向右移动三位，得数是1700千克。上述的三种思路，其所得的结果是一致的，但分析和思

20、考时，与旧知识两部分，采用分别相乘然后相加的方法，在运算中又使用了乘法分配律。思路是用求一个数是另一个数的几又几分之几倍的分数乘法法则进行计算的。思路是先将分数化成小数，然后在乘法中，根据小数点移位所引起小数大小变化的规律，从而简便、准确、迅速地求出结果。（2）当分数、百分数应用题学完后，在练习课上，可通过变直接条件为间接条件的表述，来进行发散思维方法的培养。例如：甲储蓄80元，乙储蓄50元，如果把乙储蓄的50元这个直接条件改为间接条件的表述，采用分数或百分数的形式，可能有几种表述方式：如果把甲储蓄的80元转化为间接条件，还用分数或百分数的形式进行表述，可有以下几种表述方式：类似的表述方法还有

21、许多，解答步骤也会由简到繁。由此可见，发散的思维方法的形式，对于应用题中的数量关系或量率关系，能够进行多角度、多侧面的发散性思考。这种自觉思考习惯的养成，将是一种宝贵的思维品质。217什么是联想的思维方法？联想的思维方法是沟通新旧知识的内在联系，在处理新问题的数量关系或量率关系时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的正迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解答。当学完分数应用题和比例应用题之后，可通过一道应用题部分条件的出现，激起学生的联想，从而显示联想的思维方法在开阔思路上的作用。例如：行驶一段路程，甲车与乙车速度的比是54。出现这些部分条件后，稍做停

22、顿，学生可能产生的联想，有以下几种情况：甲车与乙车的速度比是54，甲车与乙车的时间比则是45。这是依据路程一定，速度与时间成反比关系而联想出来的。如果原题的后面条件是给了甲（或乙）行完这段路程的时间，按原来的速度比去思考，此题将是反比例应用题。通过联想将速度比转化为时间比，此题便由反比例应用题转化为正比例应用题。甲车与乙车的速度比是54，甲车速度就是乙车速度的（54=）求甲车的速度是多少，就可以用求一个数的几又几分之几倍的方法，将原题的正比例应用题转化成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速度去求乙车的速度，就可以用已知一个数的几分之几倍是多少，求这个数的方法，将原题转化为分数除法的应用题。分

23、数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度，求乙车速度，则转化为求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题。反之，则转化为已知一个数的几分之几是多少，求这个数的分数除法应用题。与除法关系的基础上，联想到求一个数比另一个数多几分之几，把乙车看成差率直接对应，那么用分数除法就可以直接求出乙车的速度。一个数比另一个数少几分之几联想的结果。甲车速度作为标准量“1”，如法直接求出甲车的速度。根据甲、乙车速度比是54，则甲乙两车的速度和为（54=）9，配应用题进行的联想。如果原题后面给了两车速度和的条件，就可以用分数乘法分别求出甲车速度和乙车速度。根据甲、乙车速度比是54，所需时间比是45，由此联想出甲车

24、分别从两地同时出发，相向而行，求中途的相遇时间，那么，把全程作为“1”，这道题又转化成分数的工程问题。从上例可以看出，联想面越广，解题思路就越开阔，解题步骤也就越加准确而敏捷。由此可见，联想思维方法所带来的效益，不仅可以促进学生思维能力的发展，也往往从中闪耀出创造性思维的火花。218什么是量不变的思维方法？在一些较复杂的分数应用题中，每个量的变化都会引起相关联的量的变化，就如同任何一个分量的变化都会引起总量的变化一样，这种数量之间的相依关系，常常出现以下的情况：在变化的诸量当中，总有一个量是始终固定不变的。有了量不变的思维方法，在纷繁的数量关系中，就能在确定不变量的基础上，理顺它们之间的关系，

25、理清解题的思路，从而准确，迅速地确定解题步骤和方法。在小学的分数应用题中，涉及到量不变的思维方法，一般有以下三种情况：（1）分量发生变化，总量没有变。从分析题意中可知，甲乙两人的存款数（分量）先后都发生了变化，但二人存款的总钱数（总量）却始终未变，可以断定这是一道总量不变的应用题。抓住了总量不变的特点，就抓住了解题的关键。把乙的存款数看作“1”，存款数占总存款数的几分之几，然后再求乙存款数占总存款数的几分之几。经过上面的分析，标准量已转化到二人总存款数，乙占总存款数的分率此题中，尽管标准量前后不同，中间并经过几度转化，过程也较复杂，但一旦抓住总量不变这个特点，就保证了思维过程的条理和清晰。（2

26、）总量发生变化，其中一个分量没变。根据题意，又买进了一批科技书，说明总量发生了变化，科技书这个分量也发生了变化，但另一个分量（文艺书）却始终没变。抓住这个不变量的特点，可求出文艺书的本数：文艺书的本数没变，但由于后来又买进了科技书，文艺书所占总本数的数前后没变，两次总本数之差720-630=90（本），则是科技书后来又买进的本数。（3）总量和分量都发生了变化，但分量之间的差量没变。张华是36岁时，李丽是多少岁？这是一道差量不变的应用题，因为张华年龄增加的同时，李丽的年龄也在同步增加，两人之间的年龄差却始终未变。与此同时，两人年龄和相应发生变化，张华年龄所占二人年龄和的分率也必然发生变化。抓住了年龄差这个不变量，就找到了解题的突破口。时，李丽则是36-8=28（岁）。