小学数学：小学数学“空间与图形”错例成因分析及教学对策(6页).doc

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1、-小学数学：小学数学“空间与图形”错例成因分析及教学对策-第 6 页小学数学“空间与图形”错例成因分析及教学对策【摘要】 “空间与图形”这部分内容在小学数学教育中占有重要的地位，对培养小学生初步的空间观念起着不可替代的作用。但由于小学生特殊的认知、心理、思维等方面的原因，给他们学习“空间与图形”带来了许多障碍。本文撷取了小学数学“空间与图形”方面常见的错例，从“几何概念”、“生活经验”、“空间观念”等五方面探讨了小学生学习“空间与图形”时存在的学习和认知障碍，以及针对这些障碍提出了相应的对策，在此与同行商榷，共同提高。【关键词】 空间观念 概念 感知 直观现实生活中，儿童最先感知的是我们生活的

2、空间、周围的事物，即“空间与图形”。“空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，它们是人们认识和描述生活空间、进行交流的重要工具。2学习“空间与图形”有助于培养儿童的空间观念及形象思维能力，有助于儿童智力的发展和创新精神的形成。但是小学生的思维方式正处于以具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，这一阶段恰恰也是儿童空间知觉，即形体直观认知能力形成的重要阶段。所以在学习“空间与图形”知识的过程中，学生往往受认知结构、心理特征以及思维水平发展等因素影响，出现一系列学习和认知障碍。本文列举了学生在空间概念学习上的障碍及空间应用中存在的障碍，并提出了一些教学对

3、策，与同行商榷学习。 错例回放“乱花渐欲迷人眼”一、“几何感觉”并非“几何概念”几何概念是空间形式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物共同属性的思维形式，是构建几何知识大厦的基石，是几何基础知识，同时也是数学基础知识的重要组成部分。几何概念学习过程，就是对客观事物中一类有关空间形式的本质属性进行抽象概括的过程，也是舍去该类对象非本质属性的过程。根据奥苏伯尔有意义学习理论，小学生主要是通过概念形成和概念同化两种认知方式学习、掌握数学概念的。而影响小学生几何概念学习的因素有很多，如学生的经验，学生的认知结构和认知方式，教师教学时材料的表现形式等。4 【错例回放一】图1l 【成

4、因聚焦】教师往往认为这样的错误属于审题不仔细或考虑不全面，只是因为学生的粗心而已。其实真正的原因是对平行线的概念不够明确。由于学生在学习直线的认识时，教师经常会出这样的题：过一点可以作多少条直线？在学生动手操作和教师课件演示下，得出可以画无数条直线。这一结论学生印象非常深刻，导致学生看到“过一点画线”，就认为可以画无数条。如果教师在课堂教学过程中强调平行是两直线之间的相互关系而不是一条直线的话，这样的错误应该会减少。 【错例回放二】图2图3l 【成因聚焦】学生对轴对称图形的定义不清晰，只是凭感觉判断平行四边形是轴对称图形；对梯形的定义里的“只有”与“有”的意义也没有理解透，以为两个字的意思一样

5、，而判断失误。上面第二个图形是由三个圆形相切而成的一个组合图形，学生没有把它看作一个整体，对“轴对称图形”和“对称轴”这两个几何概念不是很明确。二、“生活经验”并非“学习经验”只有当经验向学习过程转变时，我们才能依靠经验来学习。但是也可以有一种阻止进一步经验的造成强烈印象的作用。因此，生活经验对学生的几何概念学习来说，有积极的促进作用，也有消极的阻碍作用。 【错例回放】图4l 【成因聚焦】当几何概念与生活经验在语汇上相近时，经验会阻碍概念学习。2例如，几何概念中的“垂直”，与日常经验中的“竖直”在语汇上较为接近，学生就往往会将“垂直”理解为是“竖直”的状态。如图4，学生认为选项A是垂直状态，而

6、选项C不是，究其原因，也就在于此。三“眼见为实”并非“眼见为真”俗话说“眼见为实”，但数学却只是在一定程度上认可眼见为实，它并不认可“眼见为真”。 【错例回放】图5-1l 【成因聚焦】图5-1是两条相互垂直的线段，学生观察后认为线段CD比线段AB要长，这也许是实际的感觉，但真实的结论是两条线段一样长，所以实际的感觉不一定就是真理。与此类似的案例还有以下几组：（3）（4）图5-3（1）（2）图5-2图5-6图5-5图5-4在图5-2和图5-3中，有的学生认为线段（2）比线段（1）长，线段（4）比线段（3）长，其实包括思维水平发展完善的我们也会这样认为。图5-4中，矩形外边的线是同一条直线，但我们

7、看上去却好像是来自不同的线。图5-5和图5-6中间都是正方形，但我们却把图5-5中的看成是一个受挤压的正方形，图5-6则看成是受拉张的正方形。其实这些是由于人的视觉误差所引起的，也就是心理学上说的错觉，即对客观事物的不正确、歪曲的知觉，错觉产生的原因很复杂，往往由生理和心理等多种因素引起。四、“空间知觉”并非“空间观念”空间观念是指在空间知觉的基础上，形成的关于物体形状、大小、位置关系的表象，它是在合同一类事物的多次感知的基础上形成的，是记忆的重要形式，是想象的必要材料，是形成空间想象力的基础。4由于学生的生活经验、认知结构、思维水平等的不同，因此在发展空间观念时的进程不同，学生的生活经验丰富

8、、认知结构完善、思维水平较高，则有利于空间观念的发展，反之则阻碍其发展，也会对学生的解题造成困难。 【错例回放一】图6l 【成因聚焦】学生常常会出现802=40（平方厘米）。这是一种非常直接的思维，不具有抽象性，不是我们需要的数学思维。学生只是简单得理解为“一分为二”。没有经过实际操作，学生很难想象分割后两个立方体的表面积之和会比长方体的表面积大，至于增加了哪几个面，是什么形状，更是难以想象。 【错例回放二】 “长方体的表面积计算”图7图8l 【成因聚焦】以上错例都是属于求长方体的四个面（前、后、左、右面）的面积和。错例(图7)的学生没弄清求哪几个面的面积；错例（图8）的学生虽然知道求几个面的

9、面积，但列式时条件找错了，应求左、右面面积却当求上、下面面积。由此可见学生的空间观念比较弱，无法在头脑中形成一个空间图形。 【错例回放三】剪去阴影部分，可拼成什么图形？图9图10图11图12l 【成因聚焦】有的学生对此图的识别比较困难，而有的学生能够识别并构造出小长方形表象（如图9），其实抽掉阴影部分拼成的图形是图12，为什么有学生会构造出图10呢？首先，当学生观察图11时，在空间知觉（即人脑对物体空间特征的反映）的基础上，有的学生便会在头脑里形成小长方形的表象(如图9),接着对表象进行改造，由于一部分学生表象储备不足，空间观念和空间想象力弱，对于表象的重新组合或再造而产生新表象的过程将会比较

10、困难,从而进行错误的改造。有的学生在辨认方位、位置时比较困难。例如，让小学生举起右手来，他们几乎都会很快举起；如果问他们某个物体在他们的什么位置时，他们经过思考也能答出，但如果让他们说出某A物体在某B物体的什么位置时，有的学生就感到困难，这也是因为他们的空间方位感、空间观念弱，空间想象力差，不能正确形成表象和改造表象，特别这部分学生在学习三维立体图形时，如观察物体、作简单的三视图，对于他们就比较困难。五、“显著特征”并非“本质特征”数学知识的摄取是在多种心理成分共同作用下进行的，其中起主要作用的核心心理因素是感知。感知是感觉与知觉的合称，感觉和知觉都是直接作用于人感官的客观事物在大脑中的反映。

11、4感知是大脑对事物直接、具体的认识过程，即感性认识。也正因为感知是对事物的外表特征的感性认识，而非本质认识，所以学生在观察、认识事物时会存在偏差，给学习空间与图形带来困难。 【错例回放一】图13l 【成因聚焦】学生认为阴影部分是一个平行四边形，但它却是一个梯形。我们在认识区分图形时，要抓住图形的本质属性，而不仅仅是感觉图形的“形状”，在这里还得用感知规律中的强度律来解释。强度律是指被感知的对象必须达到一定的刺激强度，主体才能获得清晰的感性认识，这里说的强度具有相对意义。4在图13中，线段EH与BC平行是强刺激部分，而线段EH与BC的长度不等、EB与HC不平行是弱刺激部分。由于学生感受数学信息刺

12、激的强弱具有特殊性，强刺激部分往往又会掩盖弱刺激部分，他们往往更容易注意到事物的显著特征即强刺激部分，而忽视被掩盖的不太明显的特征即弱刺激部分。所以，他们从整体感知上就误认为是平行四边形。 【错例回放二】图14l 【成因聚焦】学生在比较两个图形的面积时，容易被强刺激部分即平行四边形较长的边这个非本质特征所迷惑，而往往掩盖了弱刺激部分即等底等高这个本质属性，误认为平行四边形的面积比长方形的大。这就要求教师在教学时要有意识的强化重要的弱刺激。 对策链接“拨开云雾见月明”一、明确几何概念注重“变式”与“反例”数学概念是小学数学知识的基本要素。对于“空间与图形”数学概念引入时 ，教师可从学生的生活实际

13、入手，充分运用实物、教具、图表等直观教具，以及动手操作等直观手段，帮助学生获得正确、完整、丰富的表象，训练学生的形象思维。 例如“面积”的概念，可通过引导学生观察黑板、桌子、课本等实物的面引入，还可以引导学生用小刀剖开萝卜观察它的截面，让学生亲眼看一看，亲手摸一摸引入。通过多种感官的协同活动，使面积的具体形象在学生头脑中得到全面的反映。 对于错例（图2），首先引导学生正确理解轴对称图形的定义：“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。”然后让学生动手操作：将一个平行四边形沿着某一条直线对折，反复操作，看看得到的图形能否完全重合。通过操作，使学生明白平行四边

14、形不是轴对称图形。对于梯形定义的理解，教师可以举例说明“只有”和“有”的含义是不一样的。在四边形里，如果说只有一组对边平行，那意味着另一组对边是不平行的。而在四边形里，如果说有一组对边平行，那另一组对边有可能也是平行的。在教学梯形的概念时，教师可以先向学生呈现“标准图形”，接着再展示“变式图形”和反例，如图15。15-115-215-315-415-5图15图15-1、15-2、15-3是梯形的变式图形，通过变换梯形摆放的位置、方向、角的性质等非本质属性，突出梯形“只有一组对边平行的四边形”这一本质属性，学生认识了梯形的各种表现形式，留在脑中的梯形表象将更加鲜明，理解更加深刻。图15-4、15

15、-5是梯形的反例，图15-4故意变换“只有一组对边平行”为两组对边分别平行，从梯形变质为平行四边形，从而突出了梯形“只有一组对边平行”的本质属性。图15-5故意变换“四边形”为“五边形”，从而突出了梯形是四边形的本质属性。二、巧用生活经验注重“区分”与“辨别”对儿童来说，尤其是对低年级的儿童来说，经验是学习空间与图形的起点，是发展他们空间观念的基础。在儿童生活的现实空间中有着许多的几何图形，儿童在自己的现实活动如游戏活动等的过程中，可能已经积累了一定的几何经验。虽说儿童的生活经验在一定程度上会给概念学习带来困难，但它在教学中所起的作用也是不容忽视的。数学课程标准强调“数学课程教学要从学生已有的

16、生活经验出发”，同时强调“数学学习活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础上”。学生积累了一定的生活经验，丰富了原认知结构，这对学生的学习和教师的教学都是非常宝贵的资源。教师要充分利用学生的生活经验教学，当学生的生活经验与几何概念不同时，要及时的引导学生识别、认清几何图形的本质属性，摆脱生活经验的负面影响。5例如，在学习“圆的认识”时，教师可以问学生：“你们见过车轮吗？车轮是什么形状的？”由于他们已有较丰富的生活经验，学生便还会列举出钟面、圆桌等实物，这对学生认识圆是很有帮助的，教师在这时要及时的引导学生认识到圆是指一条特殊的封闭曲线，而不是生活中的圆面。三、感知学习材料注重“数学表象

17、”与“直观感知”小学生认识事物带有很大的具体性和直观形象性，根据理解与感知的关系，在教学中要高度重视学生的感知活动。3一方面在理解前引导学生充分利用操作和观察等活动全面感知学习材料，让他们在头脑里建立起所学数学知识的丰富表象，以此为理解过程中的思维加工提供材料和依据。3另一方面在理解过程中，特别是在对那些内容非常抽象的数学知识理解过程中，教师要注意适时地给学生提供恰当的感性材料，以此为学生的抽象逻辑思维的顺利进行提供必要的支持，保证他们的思维过程得以顺利进行。学生观察图5等几个图形时，往往被眼睛所欺骗，其实这也是缺乏直观学习的一种表现。重视直观感知，使学生获得充分的感性认识，更有利于学生从感性

18、认识上升到理性认识，从而正确理解掌握事物的本质属性。四、培养空间观念注重“实践操作”与“题组训练”心理学研究证明： 视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的形成和巩固。教学中让学生通过看一看、摸一摸、比一比、量一量、想一想、画一画、折一折、剪一剪、摆一摆等实践活动，逐步建立图形的表象，对于建立空间观念是很重要的。例如解决“找对称轴”错例，明确定义以后，要通过动手操作加深体验。为了帮助学生准确找出对称轴，让学生把题中的图形画出来，并剪下来，折一折，看看是否为轴对称图形。注意指导学生从不同方向折一折，看各有几条对称轴。 为了让学生进一步熟练找对称轴，多出一些类似的练习题，

19、逐步过度到不用动手操作，凭空间想象来找轴对称图形的对称轴。又例如解决“长方体的表面积计算”：可训练学生根据题意画出图形，并标出已知数据。（如下图）利用画图帮助解题应该是学生要形成的一个良好学习习惯，我们要在平时的学习当中就要不断向学生渗透这种观念，逐步培养。例如在一个长方体里剪出一个最大的圆，或者在一个长方体里削出一个最大的圆柱体，只要一画图学生就会马上理解为什么要以最短的边为半径。又如绕圆形花坛周围铺小路，通过画图学生解题算直径就不会只加一边的小路宽，大大降低错误率。让题组训练使学生意识到画图对自己解题的帮助和重要性，学生就会自觉画图，长期坚持下来，就可以逐步形成习惯。五、选用典型材料注重“

20、强度律”与“弱刺激”概念的本质属性越明显、越突出，就越利于学生对概念的理解和掌握；而概念的非本质属性越多、越不明显，就越不利于学生对概念本质属性和非本质属性的辨别，学生就难以理解和掌握概念。4因此，在教学中要选用那些能反映概念本质属性的典型材料来说明概念。例如，在教学“平行四边形”时，教师展示的平行四边形应该是两组边是不等长的，如果教师展示的平行四边形看上去两组对边差不多长，那么四边等长这个非本质属性就会迷惑学生。从前面的图13、图14的分析中可知，强刺激部分往往会掩盖弱刺激部分，如果弱刺激部分很重要，对解题有着本质的影响，那么就要强化重要的弱刺激，在这里教师可以通过让学生仔细观察、语言上提示

21、或图形上提示（作辅助线）等来强化，使学生获得正确的认识。数学课程标准指出：“空间与图形”学习的最重要目标是使学生更好地理解自己赖以生存的世界，形成空间观念。空间观念的形成不是朝夕即成的，而是一个循序渐进的过程。“空间与图形”就其自身表现形式来说是比较直观、具体的，而小学生的思维也具有具体形象性，所以他们对此部分内容的学习热情普遍比“数与代数”的高，但这并不代表他们对“空间与图形”的学习畅通无阻。教师只有在平时的课堂教学中勤于观察、体验，在了解学生认知发展、 学习心理、思维水平发展的基础上，从学生自身的认知结构、认知方式、日常生活经验以及教师教学时所呈现的材料的表现形式等方面，关注学生在学习空间与图形时存在的困难，让学生体验“做数学”的乐趣，从而帮助学生解决困难，提高教学质量。【参考文献】1 方芳，发现病灶，对症下药J ，小学数学教师 2010.9 2 言方才、路琴琴，小学生几何概念学习过程中的思维障碍及对策J，江苏教育2001.22 3 林丽萍、夏俊，如何正确对待学生解题中的错误J，教学月刊（小学版）2011.7-84 张楚延，数学教育心理学M，北京：警官教育出版社. 2000，4.第三版 5 李继锋，透视错例，巧开处方J，中小学数学（小学版）2011.1-2 杨 锋