小学数学：关于“多边形面积”单元练习的拓展与提升(9页).doc

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1、-小学数学：关于“多边形面积”单元练习的拓展与提升-第 9 页小学数学论文打造“活、变、动”的几何图形练习 关于“多边形面积”单元练习的拓展与提升【摘 要】 练习是小学数学教学的基本方法之一，它具有对学生牢固掌握某种知识、技能或拓展思维、发展非智力因素的作用。目前大部分教师更注重于练习的操练功能，较少关注它在培养学生发展性、创造性思维方面的功能。本文以“多边形面积”单元练习为例，着重阐述几何图形练习的拓展与提升，从公式的灵活应用，图形的变式与运动，解题方法的多样性等方面入手，研究开发习题，力求培养学生发展性、创造性的数学思维品质。 【关键词】 拓展练习 转化思想 动态几何 图形变式教学“多边形

2、的面积”单元时，笔者发现学生在解决几何图形的面积问题时，形成了一定的思维定势，只会简单的套用公式，方法单一，缺乏转化意识及转化能力。因此图形稍有变化，学生就不知所措了。笔者反思，学生在探究面积公式时思维灵活、方法多样，为何熟练掌握与应用公式后，反而思维僵化，方法单一了呢？笔者认为，这与学生平常进行的练习有关。在对练习功能的认识上，教师较多地偏重使学生形成解题技能技巧的操练功能，因此平常的练习大多是套用公式就能解决的，不需要学生进行深层次的思考与探索，如此下来，学生对几何图形的探究能力得不到锻炼，数学思想得不到应用，也难怪学生思维僵化了。笔者认为练习不仅要巩固基本的数学知识，更要注重渗透数学思想

3、，应用数学方法，在深层次的探究过程中积累经验，提升能力。因此多边形面积的练习设计不仅要有公式应用的基本题，还得有提升学生思维品质的拓展提高题，让学生进行深层次的思考，对图形的本质认识与应用有新的体会、发现与感悟。接下来笔者就多边形面积的拓展练习，来谈谈笔者在设计开发习题时的一些想法与心得。一、发挥想象，让几何图形的公式“活”起来大多数教师和学生在一堂课的探究推导得出图形的面积公式后，都会觉得大功告成，接下来就是公式的熟练应用了。几轮巩固的习题做下来，公式套用是熟练了，但公式同样也被学“死”了。我们可以由公式逆推回图形，或是应用公式时，改变某些条件，使公式“活”起来。1、从公式逆推回图形从图形推

4、导出公式，是一个从直观到抽象的过程，笔者认为，在学生对转化方法应用较为熟练时，可以引导学生从抽象到直观，也就是从公式逆推回图形。如三角形面积公式，是通过把三角形转化成平行四边形或长方形推导得出。那反过来，我们也可通过公式的联系，把平行四边形或长方形转化成三角形。比如三角形面积的推导（图1），不同的推导方法，会使公式的书写顺序有所改变。 S=ah2 S=（a2）h S=a (h2) 图1 三角形面积推导 笔者根据公式的3种不同写法，设计了这样一道练习：你能根据三角形面积公式的三种不同写法，分别画出三角形吗？ S=ah2 S=a (h2) S=（a2）h对于，笔者会引导：看到ah,你会想到哪个图形

5、？（平行四边形）再除以2呢，这图形有什么变化？让学生试着根据公式画一画。对于，笔者引导学生把h2看成一个整体，你会想到什么图形？根据已学知识，学生容易想到长方形或平行四边形。画出如图2.1，图2.2。由图可知，和它们面积相等的三角形的高肯定是长方形或平行四边形高的2倍（图2.1.1和图2.2.1）。水平移动A点，这样的三角形能画出很多（图2.1.2和图2.2.2）。 图2.1.1图2.1.2图2.1 图2.2图2.2.1图2.2.2图2 公式逆推回图形教师水平移动点A动态演示时，可以帮助学生理解同面积同底的三角形与平行四边形或长方形间的关系。在此过程中，也可让学生回顾三角形面积推导过程中的割补

6、法（图3）。教师可以趁此动态演示水平移动线段AB时，三角形转化成平行四边形时割补法的多种应用方法，学生会感概：原来还可以这样割补啊，以前怎么没想到呢？让学生积累并完善割补法的经验。同样的，公式也可以让学生尝试画图，体会三角形和其它图形间的转化与联系。 图3又如：已知三角形的面积和底，求高(图4)。学生会出现两种答案：176222 176222。笔者让学生试着解释为什么要乘2时，学生解释不清。笔者就让学生画图，再指着图，说一说各部分的意思。图4图5如图5是学生所画。由图，学生就容易明白方法中的1762表示两个完全一样的三角形拼合而成的平行四边形的面积，求三角形的高可以转化为求平行四边形的高。方法

7、是先把三角形转换为相等面积的平行四边形，先求出平行四边形的高，由图可知，三角形的高是平行四边形高的2倍，所以要乘2。同样的，笔者在求梯形的高时也会让学生根据梯形的面积公式逆推回图形，当学生熟练后，就不让学生画图，直接让学生在脑海中想象图形。学生一开始会觉得这种逆推法较为费劲，教师教学时也会花费更多时间。但笔者认为进行这样的练习很有必要，这不仅能锻炼发展学生的逆向思维，在图形与公式，公式与图形的相互转换中，学生对转化思想、转化方法的掌握与应用更熟练了，对知识点的把握与理解也更深刻了，对图形几何变换的意识和能力也提高了。以后碰到变换的，或更复杂的几何问题时，学生也就更容易找到解决问题的方法。2、活

8、用公式，用活公式图6学生在运用面积公式进行一些简单图形的巩固练习时，容易形成思维定式，像求梯形面积一定得知道a,b,h。这样一旦碰到如图6的题，都能求出a与b的和了，部分学生却仍纠结a是多少，b是多少。练习：靠墙边围成一个花坛，围花坛的篱笆长46m，求这个花坛的面积（图6）。因此，在平常的联系中，除必要的巩固练习题，应多设计像这类打破学生常规思维的题。二、巧妙设计，让几何图形的本质“凸”起来教学中笔者经常会发现一些基本图形稍作变化后，学生就不认识了。究其原因，是由于学生的转化意识淡薄，识图、辨图能力不足造成的。因此，在图形与几何的练习设计中教师要有意识的渗透转化思想，培养学生几何变换的能力,让

9、几何图形的本质凸显起来。1、 图形变式中渗透转化思想1.1 非标准图形转化为标准图形平时学生的练习大多是求标准图形的面积，这类练习做多了，学生一碰到变式的图形（图7），就会出现一系列的问题，或是不会找高，或是找错了对应的底和高，又或是分辨不出上下底。对待这类只变动了位置的图形，最简单的方法就是旋转图形，把图形变回到标准图形，再去找底和对应的高。图71.2 繁琐图形转化为简单图形图8图9 图10一块梯形的草地，中间一条宽为2m的小路，求草地的面积（图8）。这题学生最常想到的方法是用梯形面积减去长方形面积，但如果学生的几何变换能力较强的话，他会在脑海中对两块草地面积进行拼合，拼合成一个上下底各缩短

10、2cm，高不变的新梯形。这道题可能体会不出图形变换后更简便的好处，那我们接着下一题：一块长16m,宽10m的长方形草地，中间有两条宽为2m的路，一条是平行四边形，一条是长方形，求草地的面积（图9）。同样的，学生的第一个念头是“挖”，从长方形的面积里分别挖去两条小路的面积。这种方法很容易错在两条路重复的面积减去了两次，却忘了还得加回一次；或是先从一条小路中去掉重复的面积，再加上另一条路的面积。这两种方法步骤较多还容易错。如果换一个角度，四块草地的面积不能直接求，那看看能不能拼合，在脑海中进行移动拼合，形成的刚好是长和宽减少了2cm的新长方形。这样把较繁琐的图转化为简单的图，就能很快的找到解决方法

11、。我们还可以更进一步：一块长10m,宽8m的长方形草地，中间有三条宽为2m的平行四边形的路，求草地的面积（如图10）。有了前面的图形转化的经验累积，学生很快就能想到转化法。方法1：把两块不规则的草地面积移动拼合成一个长缩短2m，宽不变的新长方形。方法2：把3条小路进行旋转拼合，发现不管中间有几条平行四边形的路，也不管每条平行四边形路的高是多少，它们都能转化一个大的新平行四边形，再用长方形的面积减去新平行四边形的面积，一下子把复杂的问题简单化了。1.3 不规则图形转化为规则图形为了计算不规则图形的面积，常常需要变动形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可计算出面积的规则图形，如下图。图1

12、1 求阴影部分的面积 图12 阴影部分面积是否相等尽管圆的面积公式还没学过，但这丝毫不妨碍学生做这些题的兴趣，没学过的知识，看起来复杂的问题，稍微变换一下，都能转化成已学的图形。学生做起这些题来是兴趣盎然、意犹未尽的，在笔者教学时，学生甚至会抱怨老师这类题出得太少。平时的练习设置中，多一些这样的设计，让学生通过转化凸显出几何图形的本质，培养学生的转化意识，增强学生和对图形的切拼构造能力及图形的对称、旋转和平移的几何变换能力。三、沟通联系，让几何图形的形态“动”起来几何图形知识前后联系紧密、逻辑性强。练习设计中，适当的化静为动，一方面沟通知识间的内在联系，有利于学生把“散装的知识”纳入原有的知识

13、系统中去，从而完善认知结构。另一方面有利于学生把握知识的本质联系，提升学生的思维品质。1、 沟通图形面积间的联系abSabSahSah2S（ab）h2ahahah图13 多边形转化图在整理复习课中，通过让学生回忆各个图形面积的推导过程，体会到图形之间是可以互相转化的。通过构建知识网络图，让学生在头脑中形成一个联系网。对于梯形、三角形和平行四边形，它们存在着数学本质联系。因此，笔者在教学中进行了这样的动态演示（图14），梯形的上底慢慢缩短变成三角形，梯形的上底慢慢延长变成平行四边形，让学生观察图形的变化与公式的变化，体会几何图形间的本质联系。还可以加入图14 移动点A长方形和正方形这两种已学图形

14、，沟通它们与平行四边形的联系与区别，如图15。图15 多边形的联系2、沟通图形变式间的联系对于几何图形的变换，需要学生的想象，从而发展学生的空间想象能力。为此，在练习时，让图形上的某个点或某条线段动起来，让学生观察对比，感受图形本质，是一个不错的方法。如图16，水平移动A点，形成了不同的三角形，通过观察这些三角形，发现这些三角形的共同点：同底等高的三角形面积也相等，并提问，像这样的三角形你还能找到吗？从而进一步建立了三角形形状与面积的联系。方法2方法1图16 移动点A图17如果把这个三角形放到平行四边形中，就会有新的变化。如图17，空白部分的面积与阴影部分面积有什么关系？根据笔者的教学经验,学

15、生最先采取的方法是分割法。如图17的方法1，添辅助线，把空白三角形分成两部分，分别与阴影各部分的面积相等，从而阴影面积与空白面积也相等；或是用字母a,b表示两个阴影三角形的底，并进行代数推导。笔者引导学生用“同底等高的三角形面积相等”的知识点对阴影部分进行转化，如图17的方法2，把两块阴影部分的面积转化成大三角形的面积，发现刚好是平行四边形的一半，所以阴影面积与空白面积相等。还可以沿着平行四边形的边移动A点，感受变动的三角形与平行四边形间的联系，如图18。图18笔者提问：三角形的面积与平行四边形的面积有什么关系？阴影面积与空白面积又有什么关系？移动A点，它们的关系发生什么变化？再移动呢？通过动

16、态演示，让学生明白，虽然A点在移动，三角形在变化，但它们都可以通过“等底等高的三角形面积相等”的规律等积转化成图18中的第一个图形。图19我们还可以更进一步，当A移动到平行四边形内时，它们的关系又会发生什么变化？，如图19。当然我们可以用分割法或代数推导法，也可等积转化成上面我们讲过的图18。最后，把这一系列的图连起来看，总结提升。学生会发现不管图形怎么变，总有些性质是不变的，抓住图形间的联系，我们总可以把不熟悉的图形转化为熟悉的图形。相信学生经历并思考了图形的动态变化过程，对转化的理解会更深刻，对图形的想象力会更丰富，碰到图形变式时，更容易透过现象发现本质。四、方法多样，让几何图形问题的解决

17、策略“厚”起来设计几何图形的练习时，要注意问题开放性，方法多样性。同一个图形可以运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形几何的属性进行思考，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。在教学完组合图形的面积，笔者让学生进行这样一道练习（如图20），求出阴影部分的面积。图20这道题可以先求出正方形和长方形的面积和，再减去两个三角形的面积，也可以用挖、分、割补等3种方法来解决（图21）。方法3在这道题里无疑是最简便的，但要引导学生思考方法3的适用范围。笔者左右移动线段AB,或上下移动线段BC，使图形发生变化，再追问：“方法3还适

18、用吗？”让学生体会其它方法都是通用的，但割补法有一定的适用范围。A图21方法1方法2方法3BC笔者认为在设计几何图形综合发展练习时，应力求图形的活、变、动、，充分深入挖掘图形，让学生在深层次的思维练习中感受数学的趣味性，并乐于探索、勇于探索，培养学生的发展性、创造性的数学思维品质。 【参考文献】1陈亚明.“多边形面积”教学的深度思考J.小学数学教育，20122沈勤.“图形与几何”教学策略探析J.教学月刊，2014（6）3张卫国.给学生以“思想，附课堂以”灵魂“”多边形面积“单元教学的深度思考J.教学月刊，2014（3）4杨豫晖.义务教育课程标准案例式解读小学数学M.教育科学出版社，20115石慧.以问题引领，践行“变教为学”理念以“组合图形的面积”教学为例J.教学月刊（小学版），2014（12）