盘点平面几何常考五大模型(4页).doc

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1、-盘点平面几何常考五大模型-第 4 页盘点平面几何常考五大模型 （一）等积变换模型性质与应用简介导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块等积变换模型。等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析 【例1】：如右图，在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,SABD和S AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，SABD和SABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面

2、积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】SADO=5,SDOC=4根据结论2，ADO与DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理SAOB/SBOC=AO/OC=5:4,因为SAOB=15所以SBOC=12。【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相

3、当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。（二）课后练习题讲解与分析（二）鸟头定理（共角定理）模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块鸟头定理（共角定理）模型。o （三）蝴蝶定理模型导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块蝴蝶定理模型。蝴蝶定理模型练习题 【练习1】：在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=

4、12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得SAEF=S阴=15，因为SABC=15122=90,所以SABF=9015=75再次用蝴蝶定理可求SEFC=151575=3所以SABCD=1215+15+3=198【练习2】：如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？【解答】：本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。解法一：取特殊

5、值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的面积为6*6-22=14。解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2：6=1：3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的7/16，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16，那么阴影部分的面积为14。【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的

6、面积是多少平方厘米？【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：1205=24(平方厘米)，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC的面积为1204=30(平方厘米)，所以BAF、AEF和EFC的面积为：303=10(平方厘米)，所以阴影部分的面积为：24-10=14(平方厘米).方法二：本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏(形象演示)AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的三角形ABF占整个三角形的1/3,为301/3=10(平方厘米).所以阴影面积为：24-10=14(平方厘米).（五）燕尾定理模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个燕尾定理模型。 【练习】：已知：如图，D、E分别是ABC的边AB和AC的中点，F是DE的中点。求DFG的和四边形AEFG的面积的比是多少？【解析】因为F为DEF的中点，所以CFD=CEFAFE=AFD因为E为AC的中点，所以CEF=AEF所以CFD=CEF=AEF所以CFA:CFD=2:1根据燕尾定理：AGF:DGF=CFA:CFD=2:1所以DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：5