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1、-矩阵的定义及其运算规则24531-第 5 页矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言,所谓矩阵就是由一组数的全体,在括号()内排列成m行n 列(横的称行,纵的称列)的一个数表,并称它为mn阵。矩阵通常是用大写字母A 、B 来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为:,或。即: (2-3)我们称(2-3)式中的为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母 ,表示矩阵的行数,第二个注脚字母j(j1,2,n)表示矩阵的列数。当mn时,则称为n阶方阵,并用表示。当矩阵(aij)的元素仅有一行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵,有相同的行数和相同的列数,而且它们的对应元素一一相等,即,则称该两
2、矩阵相等,记为AB。2、三角形矩阵由ij的元素组成的对角线为主对角线,构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零,而另外一侧的元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵。例如,以下矩阵都是三角形矩阵:3、单位矩阵与零矩阵在方阵中,如果只有的元素不等于零,而其他元素全为零,如:则称为对角矩阵,可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1,如: ,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示,即: 当矩阵中所有的元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵A(aij)mn和B(bij)mn相加时,必须要有相同的行数和列数。如以C(cij)m
3、n表示矩阵A及B的和,则有: 式中:。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知,矩阵的加法具有下列性质(设A、B、C都是mn矩阵): (1)交换律:ABBA (2)结合律:(AB)CA(BC)5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如:由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质:设A、B都是mn矩阵,k、h为任意常数,则:(1) k(AB)kAkB(2)(kh)AkAhA(3) k(hA)khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素
4、与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若:则矩阵的元素由定义知其计算公式为: (2-4)【例2-1】 设有两矩阵为:, ,试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数,故可乘,其结果设为C:其中:【例2-2】 已知:A,B,求A、B两个矩阵的积。【解】计算结果如下: 矩阵的乘法具有下列性质:(1)通常矩阵的乘积是不可交换的。(2)矩阵的乘法是可结合的。(3)设A是mn矩阵, B、C是两个nt矩阵,则有:A(BC)ABAC。(4)设A是mn矩阵,B是nt矩阵。则对任意常数k有:k(AB)(kA)BA(kB)。【例2-3】 用矩阵表示的某一组方程为:(2-5)式中: (2-6)试将矩阵公
5、式展开,列出方程组。【解】现将(2-6)式代入(2-5)式得: (2-7)将上式右边计算整理得:(2-8)可得方程组:可见,上述方程组可以写成(2-5)式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组,故知(2-5)式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵,称为误差方程组的系数阵,称为未知数阵,称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】 设由n个观测值列出r个条件式如下,试用矩阵表示。【解】现记: (2-9)则条件方程组可用矩阵表示成:精品文档,你值得期待(2-10)上式中称为条件方程组的系数阵,称为改正数阵,称为条件方程组的闭合差列阵。正所谓:“穿金戴银能怎样,平平凡凡又如何,只要你能知
6、足,就什么都不缺”.要知道有的人虽然贫穷,但感觉很幸福;有的人虽然富有,但浮而不实,忧虑重重。当然,人间的一切不幸几乎都与钱有关,但有了钱并不代表真的幸福。乐观者的幸福府首皆拾,悲观者的幸福高山仰止。幸福到底是什么呢?幸福就是一家老、小、平平安安、团团圆圆,即使吃着粗茶淡饭,也满口香甜;幸福就是拥有一位甘苦与共、风雨同舟的知心朋友,可以有福同享有难同当;幸福就是拥有一颗平常心,过着比上不足,比下有余的日子,知足常乐!要知道幸福不是你有多少的钞票,也不是你有几座豪华的别墅、开什么牌子的名车,手上佩戴多少克拉的钻戒和多么华丽的衣裳。真正幸福的人,不一定拥有很多财富,但他们内心一定是踏实快乐的。所谓
7、内心的幸福,是过着和谐的正常生活所感到的快乐,这种幸福和满足是任何金钱换不来的。幸福,其实很简单,不一定是高官显禄,腰缠万贯,而是要懂得怎样生活。只要您不放弃对美好生活的追求,一家人健健康康的活着,开开心心的过着,用一颗平常之心享受平淡生活的美好,快乐地度过人生中的每一天,这就是幸福!因为平淡是一种“福”,它能让我们调整心态,在五味杂陈的大千世界里去发现生活的和谐之美,做到真正的满足!正像黄磊所言:“平凡日常的记忆,最关一餐一饭。平淡生活的温暖处,也许就是与家人、孩子在一起分享美食,分享品味美食的愉快心情。无论走多远,最终也只是为了回家,回到餐桌前。”其实生命的过程,原本就是平平淡淡,就像一杯白开水,我们每天都在喝,不要羡慕别人喝的饮料里有各种颜色,其实未必有你的白开水解渴。不幸福是因为你的欲望太多,索求太多,在杯子里加入不同的成分,所以你的人生也就变得复杂起来。人生在世,浮浮沉沉,炎凉荣辱,需要的是在忙碌的生活中,求一份充实和简单,守一份心静,淡然的安洽于一份心静与知足。只要心简单了,世界就简单,那么到哪里都会有快乐!
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