线性代数作业(23页).doc

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1、-线性代数作业-第 23 页线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D=M0，则D1= (B )A.2M B.2M C.6M D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2AB

2、=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B ) A. B. C. D.5.设两个向量组与，则下列说法正确的是( B )A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C ) A. r与s未必相等 B. r + s = mC

3、. r = s D. r + s mAx = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )A. |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确

4、答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 12.若方阵A满足A2 = A，且AE，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且 ，则|2A|= 4 14.设矩阵的秩为2，则t = -3 15.设向量(6，8，0)，=(4，3，5)，则(,)= 0 16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为 (1,1,2) .18.设A为三阶方阵，其特征值为1

5、，-1，2，则A2的特征值为 1,1,4 .19.二次型的矩阵 A= A与B=相似，则A的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：= =x2y2. 22.解矩阵方程：.解：令A=, B=.因为(AE)=，所以.由AX=B，得：X=A-1B=.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：所以，极大无关组为 24.a取何值时，方程组有解？并求其通解（

6、要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：若方程组有解，则，故a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得：，原方程组的同解方程组为：为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组的一个特解：.与导出组同解的方程组为：为自由未知量，令分别取，得到导出组的基础解系：，所以，方程组的全部解为：，其中，c1 ，c2为任意常数.25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P 1AP =（对角形矩阵）解：矩阵A的特征多项式为：所以，A的特征值为：.对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：对

7、于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： .因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以， A相似于对角矩阵，且. 26.用配方法将下列二次型化为标准形： 解： 令，即，得二次型的标准形为：.四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.证：因为，所以线性无关（方法多样），所以向量组是R3空间中的一个基. 线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若

8、三阶行列式=0, 则k = ( C ).A1 B0 C-1 D-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则 ( A ).A BC D4.矩阵的秩为2，则 = (B ).A2 B1 C0 D5.设34矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( D ).A B C D6.向量线性相关,则( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3 7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的

9、解, 则有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.设A为n(n2)阶方阵，且A2=E，则必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩阵等于EDA的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1， 则A-1的特征值为 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 (A ).A正定的 B半正定的 C负定的 D不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.= 5_12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|= _32

10、13.设A=, B =, 则ATB= 14.设A =,则A-1=表示为向量组的线性组合式为16.如果方程组有非零解, 则k =_-1_17.设向量与正交，则a =_2_18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型19.已知矩阵A与对角矩阵=相似，则A2= E _的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）的值.解：原式= A=，B=，求矩阵A-1B .解：得：. 所以，求k的值，使A的秩r(A)分别等于1，2，3.解：对矩阵A施行初等变换：当k=1时，A，矩阵A的秩r(A)=1；当k= -2时，A，矩阵A的秩r(A)=2；当k

11、1且k-2时，A，矩阵A的秩r(A)=3.的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换：所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：，且有.的基础解系，并用基础解系表示其通解.解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：与原方程组同解的方程组为：，其中x3, x4为自由未知量.令分别取得基础解系：.方程组的通解为：. （c1 , c2为任意常数），求正交矩阵P和对角矩阵，使P-1AP=.解：矩阵A的特征多项式为：得矩阵A的所有特征值为：.对于，求方程组的基础解系.，得基础解系为，将此线性无关的特征向量正交化，得：.再标准

12、化，得：对于解方程组.，方程组的基础解系为， 将其单位化，得：.令P=，=，则P是正交矩阵，且P-1AP=.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.证：令整理得：因为线性无关，所以 ，解得：， 故线性无关. 线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶

13、子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是 ( B ).A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩阵不是初等矩阵的是 ( B ). A. B. C. D.是4维向量组，则 (D ).B.至少有两个向量成比例有一个向量能由其余向量线性表示可由其余向量线性表示A为mn矩阵，且m0 B. A的每一个元素都大于零C. D. A的正惯性指数为nA，B为同阶方阵，

14、且r(A) = r(B)，则 ( C ). A. A与B相似 B. A与B合同C. A与B等价 D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 24 .12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6 .AX=B，其中A=，B=，则 X=.14.已知向量组的秩为2，则k = -2 .15.向量的长度=.在基下的坐标为 (3，-4，3) .是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .19.若是正定二

15、次型，则满足 .A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：(1) A-2E=| A-2E |= -1；(2)22.已知向量组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：所以，向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组为：，且有.23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等

16、行变换：若方程组有解，则，从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为： ，为自由未知量.令，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T.导出组的同解方程组为：，为自由未知量.令分别取得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T.所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(-4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.解：因为.当a=2或a=-6时，向量组相性相关；当a2且a-6时，向量组线性无关. 25.已知矩阵A=，(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2

17、)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵. 解：矩阵A的特征多项式为：所以，A的特征值为：.对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：，(c0).对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： .因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以， A不能相似于对角矩阵. 26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.解：(1) 利用配方法，将二次型化为标准形： 令，即，得二次型的标准形为：.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求证：由，得： A2+2A= -E，从而 A(A +2E)= -E, A(-A -2E)= E所以A可逆，且.