2019年湖南省湘潭市中考数学试题(含解析)(20201018181429)﹎.pdf

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1、2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号 涂在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分） 1 （ 3 分）下列各数中是负数的是（） A | 3| B 3 C（ 3）D 2 （ 3 分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（） AB CD 3 （ 3 分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000 人， 24000 用科学 记数法表示为（） A 0.24 10 5 B 2.4 10 4 C2.4 10 3 D2410 3 4 （ 3 分）下列计算正确的是（） Aa 6 a 3 a 2 B （a 2）

2、3 a 5 C2a+3a6aD2a?3a6a 2 5 （ 3 分）已知关于x的一元二次方程x 24x+c0 有两个相等的实数根，则 c（） A 4 B 2 C1 D 4 6 （3 分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待将要实施的 “两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3 号线南延至湘潭北站，往返长潭两地 又将多“地铁”这一选择为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行 调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确 的是（） A平均数是8 B众数是11 C中位数是2 D极差是10 7 （3 分）如图， 将OAB绕点O逆时针旋

3、转70到OCD的位置， 若AOB40，则AOD （） A 45B 40C35D30 8 （3 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，湘潭某家小 型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120 个物件所用的时 间与小江分拣90 个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20 个物件若 设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（） AB CD 二、填空题（本大题共8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分） 9 （ 3 分）函数y中，自变量x的取值范围是 10 （3 分）若a+b5，ab3，则a 2 b 2 11 （3 分）为

4、庆祝新中国成立70 周年， 某校开展以 “我和我亲爱的祖国”为主题的 “快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 12 （3 分）计算：（） 1 13 （3 分）将一次函数y3x的图象向上平移2 个单位， 所得图象的函数表达式为 14 （3 分）四边形的内角和是 15 （3 分）如图，在四边形ABCD中，若ABCD，则添加一个条件，能得到平行四 边形ABCD （不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 16 （3 分） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积 所用的经验公式是：弧田面

5、积（弦矢 +矢 2） 孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如 图中的阴影部分） ，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差，运用垂径定理（当半径OC弦AB时，OC平分AB）可以求解现已知弦AB8 米， 半径等于5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米 三、解答题（本大题共10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程 写在答题卡相应位置上，满分72 分） 17 （6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来 18 （6 分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外， 还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如

6、下： 立方和公式：x 3+y3（ x+y） （x 2xy+y2） 立方差公式：x 3 y 3（ xy） （x 2+xy +y 2） 根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x3 19 （6 分）我国于2019 年 6 月 5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技 术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭 到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8 千米，仰角为30火 箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15，求此时 火箭所在点B处与发射站点M处的距离 （结果精确到0.1 千米） （参考数据：1.41 ，

7、 1.73 ） 20 （6 分）每年5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题 的心理健康系列活动为了解师生的心理健康状况，对全体 2000 名师生进行了心理测评， 随机抽取20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： 数据收集：抽取的20 名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89， 96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85， 83，63，92，90 数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x90 x100 80 x 90 70 x80 60 x70 x60 人数5 a5 2 1 等第ABCDE 数据分析：绘制成不完整的扇

8、形统计图： 依据统计信息回答问题 （1）统计表中的a （2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 （3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师 生需要参加团队心理辅导？ 21 （6 分）如图，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且ABCD （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AC16，BC10，求四边形ABCD的面积 22 （6 分）2018 年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考 方案“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参 加选考，“2”是指从政治、化学、地理、

9、生物四科中任选两科参加选考 （1） “1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关， 例如： “物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生 物他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等， 请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率 23 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正 半轴相切于点C，连接MA、MC，已知M半径为 2，AMC 60，双曲线y（x0） 经过圆心M （1）求双曲线y的解析式； （2）求直

10、线BC的解析式 24 （8 分）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特 色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种 湘莲礼盒进价72 元 / 盒，售价120 元/ 盒，B种湘莲礼盒进价40 元/ 盒，售价80 元/盒， 这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800 元，平均每天的总利润为1280 元 （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3 元可多卖1 盒若B种湘莲礼盒的售价和 销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/ 盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大， 最大是多少

11、元？ 25 （10 分）如图一，抛物线yax 2+bx+c 过A（ 1，0）B（3.0 ） 、C（0，）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1） 、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值 范围； （3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点 D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点， 点M、N分别为直线CD和CE上的动点， 求FMN 周长的最小值 26 （10 分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD5，CD5，点 M是线段AC上一动点（不与点A重合） ，连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE

12、于点N， 连接BN （1）求CAD的大小； （2）问题探究：动点M在运动的过程中， 是否能使AMN为等腰三角形，如果能， 求出线段MC的长度； 如果不能， 请说明理由 MBN的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说明理由 （3）问题解决： 如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH 的长度 2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号 涂在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分） 1 （ 3 分）下列各数中是负数的是（） A | 3|

13、 B 3 C（ 3）D 【分析】根据负数的定义可得B为答案 【解答】解：3 的绝对值 30； 30； （ 3） 30； 0 故选：B 【点评】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感 2 （ 3 分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（） AB CD 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图 【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表 现在三视

14、图中 3 （ 3 分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000 人， 24000 用科学 记数法表示为（） A 0.24 10 5 B 2.4 10 4 C2.4 10 3 D2410 3 【分析】科学记数法的表示形式为a10 n 的形式，其中1|a| 10，n为整数确定n 的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数 【解答】解：将24000 用科学记数法表示为：2.4 10 4， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10 n 的形式，其

15、中 1|a| 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 4 （ 3 分）下列计算正确的是（） Aa 6 a 3 a 2 B （a 2）3 a 5 C2a+3a6aD2a?3a6a 2 【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求 每个式子的值，再判断即可 【解答】解：A、结果是a 3，故本选项不符合题意； B、结果是a 6，故本选项不符合题意； C、结果是5a，故本选项不符合题意； D、结果是6a 2，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式 等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题

16、的关键 5 （ 3 分）已知关于x的一元二次方程x 24x+c0 有两个相等的实数根，则 c（） A 4 B 2 C1 D 4 【分析】 根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程， 解方程即可得出结论 【解答】解：方程x 24x+c0 有两个相等的实数根， （ 4） 241 c164c0， 解得：c4 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合 根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键 6 （3 分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待将要实施的 “两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3

17、号线南延至湘潭北站，往返长潭两地 又将多“地铁”这一选择为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行 调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确 的是（） A平均数是8 B众数是11 C中位数是2 D极差是10 【分析】从条形统计图中可以知道共调查40 人，选择公交7 人，火车 2 人，地铁 13 人， 轻轨 11 人，其它7 人， 极差为 13211，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从 小到大排列，第20、21 个数都是 13，即中位数是13，故C是不正确的； （7+2+13+11+7） 58，即平均数是8，故A事正确的

18、【解答】解： （7+2+13+11+7） 58，即平均数是8，故A事正确的 出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确， 从小到大排列，第20、 21 个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的； 极差为 13211，故D不正确； 故选：A 【点评】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意 义是解决问题的前提 7 （3 分）如图， 将OAB绕点O逆时针旋转70到OCD的位置， 若AOB40，则AOD （） A 45B 40C35D30 【分析】首先根据旋转角定义可以知道BOD70，而AOB40，然后根据图形即 可求出AOD 【解答】解：OAB绕点O逆时针旋转7

19、0到OCD的位置， BOD70， 而AOB40， AOD70 40 30 故选：D 【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等， 对应角相等等知识 8 （3 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，湘潭某家小 型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120 个物件所用的时 间与小江分拣90 个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20 个物件若 设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（） AB CD 【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B 【点评】本题考查由实

20、际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应 的分式方程 二、填空题（本大题共8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分） 9 （ 3 分）函数y中，自变量x的取值范围是x6 【分析】根据分母不等于0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x60， 解得x6 故答案为：x6 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 10 （3 分）若a+b5，ab3，则a 2 b 2 15 【分析】先根

21、据平方差公式分解因式，再代入求出即可 【解答】解：a+b5，ab3， a 2 b 2 （a+b） （ab） 53 15， 故答案为： 15 【点评】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键 11 （3 分）为庆祝新中国成立70 周年， 某校开展以 “我和我亲爱的祖国”为主题的 “快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 【分析】 随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数 【解答】解：选出的恰为女生的概率为， 故答案为 【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键

22、12 （3 分）计算：（） 1 4 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案 【解答】解： （） 1 4， 故答案为： 4 【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数 13 （3 分）将一次函数y3x的图象向上平移2 个单位，所得图象的函数表达式为y 3x+2 【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可 【解答】解：将正比例函数y3x的图象向上平移2 个单位后所得函数的解析式为y 3x+2， 故答案为：y3x+2 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此 题的关键 14 （3 分）四边形的内角和是360 【分

23、析】根据n边形的内角和是（n2） ?180，代入公式就可以求出内角和 【解答】解： （42） 180 360 故四边形的内角和为360 故答案为： 360 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单 15 （3 分）如图，在四边形ABCD中，若ABCD，则添加一个条件ADBC，能得到平行 四边形ABCD （不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 【分析】可再添加一个条件ADBC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四 边形ABCD是平行四边形 【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：ADBC 故答案为：ADBC（答案不唯一） 【点评】此题主要

24、考查平行四边形的判定是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理 是解题的关键 16 （3 分） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积 所用的经验公式是：弧田面积（弦矢 +矢 2） 孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如 图中的阴影部分） ，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差，运用垂径定理（当半径OC弦AB时，OC平分AB）可以求解现已知弦AB8 米， 半径等于5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10 平方米 【分析】根据垂径定理得到AD4，由勾股定理得到OD3，求得OAOD 2，根据弧田面积（弦矢 +矢 2）即可得到结论 【解答】解：弦A

25、B 8米，半径OC弦AB， AD4， OD 3， OAOD 2， 弧田面积（弦矢 +矢 2） （ 82+2 2） 10， 故答案为： 10 【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答 三、解答题（本大题共10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程 写在答题卡相应位置上，满分72 分） 17 （6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】解：， 解不等式得，x 3， 解不等式，x 1， 所以，原不等式组的解集为1x3， 在数轴上表示如下： 【点评】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简

26、便求法就是用口诀求解求 不等式组解集的口诀：同大取大， 同小取小， 大小小大中间找，大大小小找不到 （无解） 18 （6 分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外， 还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x 3+y3（ x+y） （x 2xy+y2） 立方差公式：x 3 y 3（ xy） （x 2+xy +y 2） 根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x3 【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即 可解答本题 【解答】解： ， 当x3 时，原式2 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关

27、键是明确分式化简求值的方法 19 （6 分）我国于2019 年 6 月 5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技 术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭 到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8 千米，仰角为30火 箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15，求此时 火箭所在点B处与发射站点M处的距离 （结果精确到0.1 千米） （参考数据：1.41 ， 1.73 ） 【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长 【解答】 解：如图所示： 连接OR， 由题意可得： AMN 90，ANM30，BNM4

28、5， AN8km， 在直角AMN中，MNAN?cos30 8 4（km） 在直角BMN中，BMMN?tan45 4km6.9km 答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角 三角形并解直角三角形 20 （6 分）每年5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题 的心理健康系列活动为了解师生的心理健康状况，对全体 2000 名师生进行了心理测评， 随机抽取20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： 数据收集：抽取的20 名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，

29、96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85， 83，63，92，90 数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x90 x100 80 x 90 70 x80 60 x70 x60 人数5 a5 2 1 等第ABCDE 数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： 依据统计信息回答问题 （1）统计表中的a7 （2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为90 （3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师 生需要参加团队心理辅导？ 【分析】（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可 （2）根据圆心角360百分比计算即可 （3）利

30、用样本估计总体的思想解决问题即可 【解答】解： （1）总人数 210% 20（人） ，a2035% 7， 故答案为7 （2）C所占的圆心角36090， 故答案为90 （3）2000100（人） ， 答：估计有100 名师生需要参加团队心理辅导 【点评】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 21 （6 分）如图，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且ABCD （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AC16，BC10，求四边形ABCD的面积 【分析】（1）由折叠的性质得出ABAD，BCCD，BACDAC，BCAD

31、CA，由平 行线的性质得出BACDAC，得出BACDACBCADCA，证出ADBC，AB ADBCCD，即可得出结论； （2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出ACBD，OAOBAC8，OBOD，由勾 股定理求出OB6，得出BD2OB12，由菱形面积公式即可得出答案 【解答】解： （1）四边形ABCD是菱形；理由如下： ABC沿着AC边翻折，得到ADC， ABAD，BCCD，BACDAC，BCADCA， ABCD， BACDAC， BACDACBCADCA， ADBC，ABADBCCD， 四边形ABCD是菱形； （2）连接BD交AC于O，如图所示： 四边形ABCD是菱形， ACBD，OAOC

32、AC8，OBOD， OB6， BD2OB12， 四边形ABCD的面积ACBD161296 【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等 知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键 22 （6 分）2018 年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考 方案“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参 加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1） “1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关， 例如： “物、政、化”与“物、化、

33、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生 物他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等， 请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率 【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果； （2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解 可得 【解答】解： （1）画树状图如下， 由树状图知，共有12 种等可能结果； （2）画树状图如下 由树状图知，共有9 种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1 种结果， 所以他们恰好都选中政治的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图

34、法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求 出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率 23 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正 半轴相切于点C，连接MA、MC，已知M半径为 2，AMC 60，双曲线y（x0） 经过圆心M （1）求双曲线y的解析式； （2）求直线BC的解析式 【分析】（1）先求出CM 2，再判断出四边形OCMN是矩形，得出MN，进而求出点M的坐 标，即可得出结论； （2）先求出点C的坐标，再用三角函数求出AN，进而求出点B的坐标，即可得出结论 【解答】解： （1）如图，过点M作MNx轴于N， MNO90， M切y轴于C，

35、 OCM90， CON90， CONOCMONM90， 四边形OCMN是矩形， AMCM 2，CMN90， AMC60， AMN30， 在 RtANM中，MNAM?cosAMN2， M（2，） ， 双曲线y（x0）经过圆心M， k22， 双曲线的解析式为y（x0） ； （2）如图，过点B，C作直线， 由（ 1）知，四边形OCMN是矩形， CMON 2，OCMN， C（0，） ， 在 RtANM中，AMN30，AM2， AN1， MNAB， BNAN 1，OBON+BN 3， B（3，0） ， 设直线BC的解析式为ykx+b， ， ， 直线BC的解析式为yx+ 【点评】此题是反比例函数综合题，主

36、要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待 定系数法，求出点M的坐标是解本题的关键 24 （8 分）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特 色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种 湘莲礼盒进价72 元 / 盒，售价120 元/ 盒，B种湘莲礼盒进价40 元/ 盒，售价80 元/盒， 这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800 元，平均每天的总利润为1280 元 （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3 元可多卖1 盒若B种湘莲礼盒的售价和 销量不变，当A种湘莲礼盒

37、降价多少元/ 盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大， 最大是多少元？ 【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方 程组即可解题 （2）根据题意，可设A种礼盒降价m元/ 盒，则A种礼盒的销售量为： （10+）盒，再 列出关系式即可 【解答】解： （1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒， 则有，解得 故该店平均每天销售A礼盒 10 盒，B种礼盒为20 盒 （2）设A种湘莲礼盒降价m元/ 盒，利润为W元，依题意 总利润W（ 120m72） （10+）+800 化简得Wm 2+6m +1280（m9） 2+1307 a0 当m9 时，取得最

38、大值为1307， 故当A种湘莲礼盒降价9元 / 盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函 数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选 择最优方案 25 （10 分）如图一，抛物线yax 2+bx+c 过A（ 1，0）B（3.0 ） 、C（0，）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1） 、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值 范围； （3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点 D，连

39、结CD、CB，点F为线段CB的中点， 点M、N分别为直线CD和CE上的动点， 求FMN 周长的最小值 【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式； （2）可以求出点Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x 2，根据函数的增减 性，可以求出当y1y2时P点横坐标x1的取值范围； （3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对 称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等 于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求 【解答】解： （1）抛物线yax 2+bx+c 过A（ 1，0）B（3

40、.0 ） 、C（0，）三点 解得：a，b，c； 抛物线的解析式为：yx 2+ x+ （2）抛物线的对称轴为x1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q（ 2，y2） P（x1，y1在该抛物线上，y1y2，根据抛物线的增减性得： x1 2 或x14 答：P点横坐标x1的取值范围：x1 2 或x14 （3）C（ 0，） ，B， （3， 0） ，D（ 1，0） OC，OB3，OD， 1 F是BC的中点， F（，） 当点F关于直线CE的对称点为F，关于直线CD的对称点为F，直线FF与CE、 CD交点为M、N，此时FMN的周长最小，周长为FF的长，由对称可得到：F（， ） ，F（ 0，0）即点O， FFF

41、O3， 即：FMN的周长最小值为3， 【点评】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最 小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关 键 26 （10 分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD5，CD5，点 M是线段AC上一动点（不与点A重合） ，连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N， 连接BN （1）求CAD的大小； （2）问题探究：动点M在运动的过程中， 是否能使AMN为等腰三角形，如果能， 求出线段MC的长度； 如果不能， 请说明理由 MBN的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说

42、明理由 （3）问题解决： 如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH 的长度 【分析】（1）在 RtADC中，求出DAC的正切值即可解决问题 （2）分两种情形：当NANM时，当ANAM时，分别求解即可 MBN30利用四点共圆解决问题即可 （3）首先证明ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解 决问题 【解答】解： （1）如图一（ 1）中， 四边形ABCD是矩形， ADC90， tan DAC， DAC30 （2）如图一（ 1）中，当ANNM时， BANBMN90，BNBN，ANNM， RtBNARtBNM（HL） ， BABM

43、， 在 RtABC中，ACBDAC30，ABCD5， AC2AB10， BAM60，BABM， ABM是等边三角形， AMAB 5， CMACAM5 如图一（ 2）中，当ANAM时，易证AMNANM15， BMN90， CMB75，MCB 30， CBM180 75 30 75， CMBCBM， CMCB 5， 综上所述，满足条件的CM的值为 5 或 5 结论：MBN30大小不变 理由：如图一（1）中，BAN+BMN180， A，B，M，N四点共圆， MBNMAN30 如图一（ 2）中，BMNBAN 90， A，N，B，M四点共圆， MBN+MAN180， DAC+MAN180， MBNDAC30， 综上所述，MBN 30 （3）如图二中， AMMC， BMAMCM， AC2AB， ABBMAM， ABM是等边三角形， BAMBMA60， BANBMN90， NAMNMA30， NANM， BABM， BN垂直平分线段AM， FM， NM， NFM90，NHHM， FHMN 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直 角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考 压轴题