2007年全国高中数学联赛试题及答案详解﹎.pdf

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1、2007 年全国高中数学联赛 考试时间：上午8：009：40） 一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分） 1. 如图，在正四棱锥P-ABCD中， APC=60，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为 （ ） A. 7 1 B. 7 1 C. 2 1 D. 2 1 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A与B是 集合1，2，3， 100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且 为AB空集。若nA时总有 2n+2B，则集合AB的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54 分，

2、每小题9 分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A( - 3，0)，B(1， - 1)，C(0，3)，D( - 1，3)及一个动 点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD| 的最小值为 _ 。 8. 在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6， 33CA，若2AFACAEAB，则EF与BC的夹角的余弦值等于_。 9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，以顶点A为球心， 3 32 为半径作一个球，则球面 与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_ 。 10. 已知等差数列an的公差d不为 0， 等比数列bn的公比q是小于 1 的正有理数。 若a1=d， b

3、1=d 2 ，且 321 2 3 2 2 2 1 bbb aaa 是正整数，则q等于_。 11. 已知函数) 4 5 4 1 ( 2)cos()sin( )(x x x x xf，则f(x) 的最小值为_ 。 12. 将 2 个a和 2 个b共 4 个字母填在如图所示的16 个小方格内，每个小方格内至多填1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_种（用数字作答）。 来源: 学科网ZXXK 三、解答题（本题满分60 分，每小题20 分） 13. 设 n k n knk a 1 )1( 1 ，求证：当正整数n2 时，an+10 成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B

4、. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 【答案】 D 【解析】 甲、乙二人每人摸出一个小球都有9 种不同的结果，故基本事件总数为9 2=81 个。 由不等式a- 2b+100 得 2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5 时，每种情形a可取 1、2、 9 中每一个值，使不等式成立，则共有95=45 种；当b=6 时，a可取 3、4、9 中每一 个值，有7 种；当b=7 时，a可取 5、6、7、8、9 中每一个值，有5 种；当b=8 时，a可取 7、8、9 中每一个值，有3 种；当b=9 时，a只能取 9，有 1 种。于是，所求事件的概率为 81 61 81 135745 。 D

5、 AB C P M 4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x- c)=1 对任意实数x恒 成立，则 a cbcos 的值等于（ ） A. 2 1 B. 2 1 C. - 1 D. 1 【答案】 D 来源:Z#xx#k.Com 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是 （ ） 【答案】 A 【解析】 设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦 点为O1、O2，且离心率分别是 21 2 rr c 和 | 2 21 rr c 的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2

6、的中垂线是轨 迹的一部份，当c=0 时，轨迹是两个同心圆）。 当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当 02c|r1-r2| 时，圆P的圆心轨迹如 选项 C；当r1r2且r1+r22c时 ，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线 的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 6. 已知A与B是集合 1，2，3， 100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且 为AB空集。若nA时总有 2n+2B，则集合AB的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 【答案】 B 【解析】 先证|AB| 66，只须证|A| 33，为此只须证若A是1

7、，2， 49的任一个34 元子集，则必存在nA，使得 2n+2B。证明如下： 将1，2， 49分成如下33 个集合： 1，4，3，8，5，12， 23，48共12 个； 2，6，10，22，14，30，18，38共4个；25 ，27 ，29 ， 49 共13 个； 26 ，34 ，42 ，46 共4 个。由于A是1，2， 49的34 元子集，从而由抽屉原理 可知上述33 个集合中至少有一个2 元集合中的数均属于A，即存在nA， 使得 2n+2B。 如取A=1，3，5， 23，2，10，14，18，25，27，29， 49，26，34，42，46， B=2n+2|nA，则A、B满足题设且|AB|

8、 66。 9. 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心， 3 32 为半径作一个球，则球 面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。 【答案】 6 35 【解析】 如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在 的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面 BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因 为 3 32 AE，AA1=1，则 6 1 AEA。同理 6 BAF，所以 6 EAF，故 弧EF的长为 9 3 63 32 ，

9、而这样的弧共有三条。在面BB1C1C上，交线为弧 FG且在距球心为1 的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半 径为 3 3 ， 2 FBG，所以弧FG的长为 6 3 23 3 。这样的弧也有三条。 于是，所得的曲线长为 6 35 6 3 3 9 3 3 。 10. 已知等差数列an的公差d不为 0， 等比数列bn的公比q是小于 1 的正有理数。 若a1=d， b1=d 2 ，且 321 2 3 2 2 2 1 bbb aaa 是正整数，则q等 于 。 【答案】 2 1 来源:Zxxk.Com 11. 已 知函 数) 4 5 4 1 ( 2)cos()sin( )(x x x x

10、 xf， 则f(x)的最 小值 为 。 【答案】 5 54 12. 将 2 个a和 2 个b共 4 个字母填在如图所示的16 个小方格内，每个小方格内至多填1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 种（用数字作答）。 【答案】 3960 【解析】 使 2 个a既不同行也不同列的填法有C4 2A 4 2=72 种，同样，使 2 个b 既不同行也不同列的填法也有C4 2A 4 2=72 种，故由乘法原理，这样的填法共有 72 2 种，其中不符合要求的有两种情况：2 个a所在的方格内都填有b的情况 有 72 种； 2 个a所在的方格内仅有1 个方格内填有b的情况有C16 1A 9

11、2=1672 种。所以，符合题设条件的填法共有72 2- 72- 1672=3960 种。 三、解答题（本题满分60 分，每小题20 分） 13. 设 n k n knk a 1)1( 1 ，求证：当正整数n2 时，an+1an。 【解析】 证明：由于) 1 11 ( 1 1 )1( 1 knknknk ，因此 n k n kn a 1 1 1 2 ，于是，对 任意的正整数n2，有 1 11 1 1 2 11 1 1 )( 2 1 n k n k nn knkn aa 0)1 1 ( )2)(1( 1 )2)(1( 11 ) 2 1 1 1 ( 11 n k n kknnnnknn ，即an+

12、1an。 来源: 学科网ZXXK 15. 设函数f(x) 对所有的实数x都满足f(x+2)=f(x) ，求证：存在4 个函数fi(x)(i=1， 2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x) 是偶函数， 且对任意的实数x，有fi(x+)=fi(x) ； （2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 【解析】 证明：记 2 )()( )( xfxf xg， 2 )()( )( xfxf xh，则f(x)=g(x)+h(x) ，且 g(x) 是偶函数，h(x) 是奇函数，对任意的xR，g(x+2)=g(x) ，h(x+2)

13、=h(x) 。令 2 )()( )( 1 xgxg xf， 2 0 2cos2 )()( )( 2 kx kx x xgxg xf， kx kx x xhxh xf 0 sin2 )()( )( 3 ， 2 0 22sin2 )()( )( 4 k x k x x xhxh xf，其中k为任意整 数。 容易验证fi(x) ，i=1，2，3，4 是偶函数，且对任意的xR，fi(x+)=fi(x) ，i=1，2，3， 2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 （本题满分50 分）如图，在锐角ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内 一点。过P作PEAC，垂足为E，作PF

14、AB，垂足为F。O1、O2分别是BDF、CDE的外 心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。 【解析】 证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PDBC，PFAB，故B、D、P、F 四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O1是BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点。 同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知O1O2 BC，所以PO2O1=PCB。因为AF AB=AP AD=AE AC，所以B、C、 E、F四点共圆。 充分性：设P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、O1、P、 E四点共线，C、O2、P、F四点共线，F

15、O2O1=FCB=FEB=FEO1，故 O 1、O2、E、F四点共圆。 必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故O1O2E+EFO1=180。 由于PO2O1=PCB=ACB- ACP，又因为O2是直角CEP的斜边中点， 也就 是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因为O1是直角BFP的斜 边中点， 也就是BFP的外心， 从而PFO1=90 - BFO1=90 - ABP。 因为B、C、E、F四点共圆，所以AFE=ACB，PFE=90 - ACB。于是，由O1O2E+ EFO 1=180得 ( ACB- ACP)+2ACP+(90 - ABP)+(90 - ACB)=180，即ABP=ACP

16、。又因为 ABA C，ADBC， 故BDCD。 设B是点B关于直线AD的对称点， 则B在线段DC上且BD=BD。 连结AB、PB。由对称性，有ABP=ABP，从而ABP=ACP，所以A、P、B、C四点 共圆。由此可知PBB=CAP=90 - ACB。因为PBC=PBB， 故PBC+ACB=(90 - ACB)+ACB=90，故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高 上，所以P是ABC的垂心。 二、 （本题满分50 分）如图，在78的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。 如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56 个棋子中取 出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。 问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。 B O2 O1 F E P D A B C 图 1 图 2 第二步构造一种取法，共取走11 个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有 标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述，最少要取走11 个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。 三、 （本题满分50 分）设集合P=1，2，3，4，5，对任意kP和正整数m，记 f(m，k)= 5 11 1 i i k m，其中a 表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在 kP和正整数m，使得f(m，k)=n。