第四节多元复合函数的求导法则(5页).doc

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1、-第四节第五节第六节第七节 第四节 多元复合函数的求导法则-第 6 页第八节 多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。重点：各种类型复合函数的求导与计算。难点：抽象函数的二阶偏导数计算。作业：习题84（）一多个中间变量，一个自变量情况定理1 如果函数及都在点可导，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数公式为 （全导数） 证明 设有增量，相应函数及的增量为，此时函数相应获得的增量为又由于函数在点处可微，于是由上节定理3证明有这里，当时，上式除以得当时，所以 ，即 此时，从形式上看是全微分两端除以得到的，常将称为全导数推论 若

2、，复合而的复合函数满足定理条件，则有全导数公式例1设函数，而，求全导数解 二多个中间变量，多个自变量情况定理2 若及在点具有偏导数，而函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点两个偏导数存在，且有公式 例2设函数，而，求 解 注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量向中间变量画两个分枝，然后再分别从向自变量画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数求（）时，我们只要把从到（）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到推论1. 设函数，在点有偏导数，而函数在对应点偏导数连续，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有公式推论2. 设函数具有偏导数，而函数可微

3、，则复合函数在点偏导数存在，且有公式 注意 与区别:是把函数中的看成常数，对求偏导，是把中看常数，对求偏导前者是复合后对的偏导数，后者是复合前对的偏导数例3设函数，而，求和解 例4设函数，而，求全导数解 例5设抽象函数，其中偏导数连续，求解 ，其中，其中，三复合函数的二阶偏导数 若函数，二阶偏导数连续，则复合函数 存在二阶偏导数记号，例6设复合函数，其中对具有二阶连续偏导数，求解 练习题 设函数，其中对具有二阶连续偏导数，求 复合函数求偏导数步骤： （1）搞清复合关系画出复合关系图； （2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量

4、而最后归结到该自变量例7.设复合函数，且具有二阶连续偏导数，求， 解 例8.设函数的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式 （1） ；（2） 解 （1）直角坐标与极坐标关系，则 这里看作由函数及，复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得其中 ；，同理 ， 其中 ；，上边两式平方后相加，得（2） 同理上边两式相加得四全微分形式不变形设函数具有连续偏导数，则全微分若函数，有连续偏导数，则复合函数 的全微分为 可见无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性例9.利用全微分形式不变性求微分，其中， 解 因为又因为 ，所以 若先求出 ，代入公式得结果完全一样思考题 1 如何求复合函数的偏导数？需要注意什么问题？