第十八章隐函数定理及其应用学习题课(11页).doc

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1、-第十八章隐函数定理及其应用学习题课-第 11 页 第十八章隐函数定理及其应用习题课一 疑难问题与注意事项1是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程，当时，不能确定任何函数，使得，只有当时，才能确定隐函数.隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程能确定定义在上的函数，使得但这个函数却无法用的算式来表达.2在隐函数定理中，若，则一定不能确定隐函数吗？答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程在不满足,但仍能确定惟一的连续函数.

2、例如:由于,与连续，故满足(i)（ii）（iii）,但因, 致使在的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意属于的邻域，不能保证有唯一的来对应）.3求隐函数的一阶导数有哪些方法？答：法1：用隐函数定理注意：在用隐函数定理时，对求导把看作常数，对求导把看作常数.法2：把看作复合函数，对方程两边求导，注意此时是的函数.法3：全微分法对两边微分，即，则有.4在隐函数组定理中，若在点等于零，则一定不能确定吗？答 不对，隐函数组定理的条件是充分条件，只能讲只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数.5.空间曲线在处的切线方程中若某一个分母为，怎么理解？答 若，则理解为注 不全为零.6.若是函数

3、在条件下的极值点，那么也是函数的极值点，对吗？答 不对，反例是在条件下的极值点，但不是的极值点.二 典型例题1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解：令，则有）在原点的某邻域内连续；），在原点的某邻域内连续；故由隐函数存在唯一性定理知，方程在原点的某邻域内可确定隐函数，但不知道能否确定注 注意对哪个变量求偏导不为0，就把该变量作为应变量，其它变量是自变量.注 定理条件是充分的，但不满足定理条件时，就不好用隐函数定理.2方程在点的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?解：令,则）在点的某邻域内连续；），,均在上述邻域内连续；故由隐函数存在唯一性定理知，在点的某邻域内原方程能确定出方

4、程函数和，不知道能否确定3函数在哪些近点旁可唯一决定单值连续，且有连续导数的函数解：由于及，都在全平面连续，且当时，故由隐函数定理可知满足条件的点的近旁，方程可唯一决定单值连续，且有连续的导数的函数4证明：在点的某邻域内存在唯一的连续可微函数，满足，并求证：令，求得，可知函数在的邻域内有、连续，且有，故由隐函数存在定理知在点的某邻域内存在唯一的连续可微函数，满足，且有5.设是由方程确定的隐函数，求，解法1（公式法） 设，则则由隐函数定理得解法2（直接法） 在方程两边分别对，求偏导数，将看成是，的函数，得于是解法3（全微分法） 利用全微分形式不变性，在方程两边求全微分得即 ，于是 ， 6.设，求

5、解 在方程两边分别对求偏导数，并注意是，的函数，得 于是 ， 再对两边对求偏导数，并注意是，的函数，得于是 将的表达式代入上式得 7.1）,求2）,求和解 1）把看成的函数,两边对求偏导数,则有所以 把看成的函数,两边对求偏导数,即得 所以 把看成的函数,两边对求偏导数,即得 所以 2）把看成的函数,两边对求偏导数,得故 原方程两边关于求偏导数,得故 8.设,其中为由方程所确定的隐函数,求及解：由方程,得因,故9.试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组?解 令则(1) 在点的某邻域内连续;(2) 均在点(1,-1,2)的邻域内连续;(4) 故由隐函数组定理,在点的附近所给方程组能确定形如

6、的隐函数组10.求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)求；(2)求解 (1)设方程组确定的隐函数组为对方程组两边关于求导,得或解此方程得 (2)把看成的函数,对求偏导数或由克拉默法则得11.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：求解 把看成函数，方程组两边对求导得由克拉默法则得12设以为新的自变量变换下列方程：设 解 把当中间变量所以将上述，代入原方程，并化简得，即13.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：（1），在点；（2），在点解 （1）因为因此于是切线方程为： ，即 法平面方程为：，即（2）令则所以故切线方程为；法平面为14.求下列曲面在所示点处的切平面与法线： （1），在点 （

7、2），在点解 （1）令，则故切平面方程为法线方程为 （2）令，则故切面方程为即法线方程为15.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1）若（2）若（其中）；（3），若解 (1)设对求偏导数,并令它们都等于,则有（轮换性）解之得由得，于是显然在取得极小值,因此在取得极小值(2)设且解方程组得由于当个正数的积一定时,其和必有最小值,故一定存在唯一稳定点取得最小值也是极小值,所以极小值(3)设,并令解方程组得的六组值为：又在有界闭集上连续,故有最值因此,极小值为极大值为16(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体解：（1）设长方体的长、宽、高分别为，表面积为，

8、则体积为，限制条件为设，并令解得根据题意长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体（2）设长方体的长、宽、高分别为，体积为,则表面积限制条件：设并令解得故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体17求空间一点到平面的最短距离解：到平面的距离为由于与能同时取得最大值与最小值，则问题可归结为求在条件下的最小值问题由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在设且由(1),(2),(3)得,代入(4)解得所以故为所求最短距离18证明：在个正数的和为定值条件下,这个正数的乘积的最大值为并由此结果推出个正数的几何平均值不大于算术平均值证：设,解得由题意知,最大值在唯一稳定点取得所以故 因此 19.写出函数在点带型余项的二阶公式解1：，而于是有解2