03届 普通高等学校招生全国统一考试数学试题（广东卷）(附解答)　.doc

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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1暂缺2已知（ ）ABCD3圆锥曲线（ ）ABCD4等差数列中，已知，则n为（ ）A48B49C50D515双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2=120，则双曲线的离心率为（ ）ABCD5设函数若，则x0的取值范围是（ ）A（1，1）B（1，+）C（，2）（0，+）D（，1）（1，+）7函数的最大值为（ ）ABCD28已知圆的弦长为时，则a=（ ）ABCD9已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积

2、的最大值是（ ）ABCD10函数（ ）ABCD11已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）. 设P4的坐标为（x4，0），若则的取值范围是（ ）A（，1）BCD12一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A3B4CD6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13不等式的解集是 14展开式中的系数是 15在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB

3、2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 16如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离.1

4、8（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60，且是和的等比中项. 求.19（本小题满分12分） 已知c0，设P：函数在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21（本小题满分14分）已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G

5、分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22（本小题满分14分） 设为常数，且 （1）证明对任意； （2）假设对任意有，求的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A二、填空题：13 14 15S2ABC+S2ACD+S2ADB=2SBCD三、解答题：（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM， F为BD1中点， FMD1D且

6、FM=D1D又EC=CC1，且ECMC，四边形EFMC是矩形 EFCC1 又CM面DBD1 EF面DBD1BD1面DBD1，EFBD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.（II）解：连结ED1，有由（I）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则SDBCd=SDBDEF.9分AA1=2AB=1. 故点D1到平面BDE的距离为.18 解：设，则复数由题设1920解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程

7、，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设由此有E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）直线OF的方程为：直线GE的方程为：从，消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.22本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14

8、分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 （i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 综上，式对任意nN*，成立，有故a0的取值范围为解法二：如果（nN*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时，对任意nN*， 由an的通项公式 （i）当n=2k1，k=1，2时， （ii）当n=2k，k=1，2时， 故a0的取值范围为