复变函数4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理.ppt
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1、4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理,4.4.1 级析函数零点的孤立性 4.4.2 唯一性定理 4.4.3 最大与最小模原理,定义4.7 设f(z)在解析区域D内一点a的值为零, 即:f(a)=0,则称a为解析函数f(z)的一个零点.,如果在|z-a|R内,解析函数f(z)不恒为零, 我们将它在点a展成幂级数,此时,幂级数的系数 不必全为零.故必有一正数m(m1),使得,合乎上述条件的m称为零点a的阶(级),a称为f(z) 的m(级)零点.特别是当m=1时,a也称为f(z) 的简单零点.,4.4.1 解析函数的零点及其孤立性,定理4.17 不恒为零的解析函数f(z)以a 为m级零点的充要条件
2、为:,其中,(4.14),在点a的邻域|z-a|R内解析,且,证明:,设f(z)以a为m级零点,则:,在a点解析,且,设,(z)在a点解析,例4.15:考察函数f(z)=z-sinz在原点z=o的性质,例4.16:求函数sinz-1的全部零点,并指出它们的阶(级),定理4.18 如在|z-a|R内解析的函数f(z)不 恒为零,a为其零点,则必有a的一个邻域,使得 f(z)在其中无无异于a的零点.(简单来说就是,不 恒为零的解析函数的零点必是孤立的.),其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且,(2) 零点的孤立性,证 设a为f(z)的m级零点,于是,由定理(4.17),从而 在点a连续.于是由
3、例1.28知存在一邻域|z-a|r使得 于其中恒不为零.故f(z) 在其中无异于a的其它零点.,(2)在K内有f(z)的一列零点zn(zn0)收敛于a,证 因为f(z)在点a连续,且f(zn)=0,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18必f(z)在K内恒为零.,推论4.19 设,(1)f(z)在邻域K:|z-a|R内解析;,即存在zn K, (zn0) f(zn)=0, zna,注:实可微函数的零点 不一定是孤立的!例,(1)函数f1(z), f2(z)在区域D内解析,由假设知f(z)A(D),在D内有一系列 零点zn(zn0)收敛于aD.如果D本身就是以
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