生统方差分析.pptx

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1、一、为什么要学习方差分析？一、为什么要学习方差分析？ 第四章学习的t 测验方法，只适于比较只有两个试验处理的平均数间差异是否显著。对于多个处理平均数间的差异显著性比较（或差异显著性测验），如仍采用 t 测验方法，就会表现出下列一些问题： 第1页/共177页 若进行5个处理平均数间的差异显著性比较，则需进行C25=10次t 测验，无效假设分别为：H0:1= 2 , 1= 3 , 1= 4 , 1= 5； 2= 3 , 2= 4 , 2= 5；3= 4 , 3= 5； 4= 5 ，因此，计算量非常大。1.计算工作量大第2页/共177页 两个样本平均数比较采用t测验，=0.05时，犯第一类错误的概率

2、为0.05，推断的可靠性为1- =0.95。 若对5个处理采用10次 t 测验，10次测验中都不犯一类错误的概率为0.9510=0.5987，即10次推断总的可靠性降到0.5987，总的犯一类错误的概率上升到（1-0.5987)=0.4013。2.2.推断的可靠性降低 ，犯第一类错误的概率增大第3页/共177页3.无统一误差且误差估计值偏高使检验真实差异的灵敏度降低有5个处理，每处理重复4次，共有20个观察值，作 t 测验每次只利用8个观察值，误差自由度为2（4-1）=6，若利用全部观察值估计试验误差，误差自由度为5（4-1）=15。自由度越小，误差估计值越大，检验灵敏度越低；自由度越大，误差

3、估计值越小，检验灵敏度越高。第4页/共177页 因此对多个处理平均数进行差异显著性因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用测验，不宜采用t测验，而需采用一种新的测验，而需采用一种新的统计方法统计方法方差分析法（方差分析法（analysis of variance）。）。第5页/共177页1、方差：度量一组资料的变异程度。2、方差分析基本思路： 将k个样本的观察值作为一个整体考虑，把观察值总变异分解成不同变异来源分量，进而获得不同变异来源所属总体方差的估计值均方。通过计算均方之适当比值，测验假设H0:1= 2= k是否成立，进而确定多个处理平均数间是否存在显著差异。二、方差分析的基本思路

4、二、方差分析的基本思路第6页/共177页三、方差分析的作用方差分析有助于发现影响生物某性状发生变异的各种因素在总变异中所占的比重大小。从而分清主要因素与次要因素，指导生产和试验。1、在单因素试验中，可以分辨出最优水平。2、在多因素试验中，可以分辨出最优水平组合。第7页/共177页第一节 方差分析基本原理与步骤一、 数学模型与基本假定二、 平方和与自由度的分解三、 F检验四、 多重比较第8页/共177页一、数学模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理，n次重复，完全随机设计，则共有nk个观察值，其数据结构和符号如表5.1所示。第9页/共177页表5-1 k个处理n次重复完全随机观察值符号表.2

5、1xxxxxxkiite第10页/共177页方差分析的线性数学模型ijiijxijiijiikixk则上式可写为：若令：11), 0(N2ij01ki第11页/共177页由于ij相互独立且服从正态分布N（0，2），所以各处理Ai(i=1，2，k)观察值所属总体亦应呈正态分布，即AiN(i ,2)。尽管各处理所在总体的平均数 i i 不一定相等，但总体方差2则必须假定是相等的。ijiijx第12页/共177页 用样本符号表示观察值的数学模型 每个观察值的变异包含处理间变异和处理内变异两部分。.)(.).(.iijiijiijiijiijiijxxxxetxxxxxxxetxx移项第13页/共17

6、7页 单因素完全随机试验资料的数学模型包含有以下几个基本假定： 效应的可加性（additivity） 分布的正态性（normality） 方差的同质性（homogeneity） 方差分析这三个基本假定也是进行其它类型方差分析的前提。iijiijiijxxxxet)xx(第14页/共177页二、平方和与自由度的分解iijiijiijxxxxet)xx(分。变异的处理内方差两部处理方差和度量处理内异的差分解为度量处理间变即把度量总变异的总方。异分量资料的变异程度所以用方差来度量各变点，因为样本方差有许多优第15页/共177页nkxxxxSSijijT222.)(nk个观察值的变异构成了整个资料的总

7、变异，总变异的平方和等于各个观察值与总平均数的离差平方和，它反映了全部样本观察值间总的变异程度。1 1、总变异平方和与自由度、总变异平方和与自由度dfdfT T=nk-1=nk-1第16页/共177页2 2、处理间处理间平方和与自由度平方和与自由度 处理间平方和指各处理的平均数与总平均数的离差平方和的和，它反映重复n次的各处理平均数 的总变异程度。即nkxxnknxnxnkxxnxxnSSiiiiiit2.2.22.22.2.2.2)(1)()()(.ixdft=k-1第17页/共177页3 3、处理内处理内平方和与自由度平方和与自由度 处理内平方和处理内平方和SSi指各处理内的n个观察值与其

8、相应平均数 的离差平方和，它反映了同一处理内重复观察值间的变异程度。处理1(第一组)：处理2(第二组)：处理k(第k组)：nxxxxSSnxxxxSSnxxxxSSkkjkkjkjjjj2.222.22222222.1212111) .(.)(.)( .ix第18页/共177页 由于同一处理内各观察值的差异是由由于同一处理内各观察值的差异是由偶然因素造成的，因而，偶然因素造成的，因而，SSSS1 1、SSSS2 2、 、SSSSk k实际上都属于随机误差平方和，将其合实际上都属于随机误差平方和，将其合并得全试验资料处理内变异的平方和：并得全试验资料处理内变异的平方和：tTinkijinkijk

9、niijkeSSSSnkxnxnkxxnxxxxSSSSSSSS).().() .(.22.2122.1221121第19页/共177页各处理内自由度：各处理内自由度： 处理处理1 (1 (第第1 1组组) )：dfdf1 1=n-1=n-1 处理处理2 (2 (第第2 2组组) )：dfdf2 2=n-1=n-1 处理处理k (k (第第k k组组) )：dfdfk k=n-1=n-1整个资料处理内总自由度为：整个资料处理内总自由度为：dfdfe e=df=df1 1+df+df2 2+df+dfk k=k(n-1)=(nk-1)-(k-1)=k(n-1)=(nk-1)-(k-1)dfdfe

10、 e=df=dfT T-df-dft t第20页/共177页tTetTetitTijTdfdfdfSSSSSSkdfCxnSSnkdfCxSSnk;1;11;x.C2.22则令第21页/共177页于是， 处理间均方： 处理内均方： 总变异均方：TTTTeeeettttdfSSSMSdfSSSMSdfSSSMS222注意etTMSMSMS222212kessss .).(2222121kesssks 第22页/共177页【例5-1】有一水稻施肥的盆栽试验，设5个处理：和系分别施用两种不同的氨水，施碳酸氢铵，施尿素，不施氮肥。每处理各4盆（每盆纯氮相同），共54=20盆，随机放置于同一盆栽场。其稻

11、谷产量（克/盆）列于表5-2。请分析这五种施肥处理之间是否存在显著差异。第23页/共177页表5-2水稻施肥盆栽试验的产量结果（g/盆）.ix.x第24页/共177页 如果以离均差形式表示20个观察值xij的各种变异，就得以下结果： 总变异 xxij 处理间变异.xxi误差项变异. iijxx -2.3 3.7 1.7 -0.30.7 -2.3 -5.3 -0.34.7 1.7 -1.3 3.75.7 6.7 6.7 1.7-5.3 -4.3 -10.3 -5.30.7 0.7 0.7 0.7-1.8 -1.8 -1.8 -1.8 2.2 2.2 2.2 2.2 5.2 5.2 5.2 5.2

12、 -6.3 -6.3 -6.3 -6.3-3 3 1 -12.5 -0.5 -3.5 1.52.5 -0.5 -3.5 1.50.5 1.5 1.5 -3.51 2 -4 1SST=402.2dft=19SSt=301.2dft=4SSe=101.0dfe=15第25页/共177页总总变异处理间变异和试验误差变异处理间变异和试验误差例例5-15-1的处理数的处理数k=5k=5，每一处理观察值个数，每一处理观察值个数n=4n=4根据单因素完全随机试验资料的数学模型.)(iijiijiijxxxxetxx例5-1 平方和与自由度的分解第26页/共177页各变异来源平方和计算 矫正数：总变异：处理间

13、变异：处理内变异：0 .1012 .3012 .4022 .3014)8098108(2 .4022130248 .1383345526.2222.222222tTeitijTSSSSSSCCnxSSCCxSSnkxC第27页/共177页各项变异来源自由度计算 总变异自由度: 处理间变异自由度: 处理内变异自由度:15) 14(5) 1(4151191201nkdfkdfnkdfetT第28页/共177页总变异:处理间变异:处理内变异:73.6150 .10130.7542 .30116.21192 .402222eeeettttTTTTdfSSSMSdfSSSMSdfSSSMS各变异来源的均

14、方 本研究目的就是想明确5 5种施肥处理对水稻产量的效应是否存在显著差异。第29页/共177页三、F检验（一）EMSe=2 方差分析的一个基本假定是要求各处理观察值所在总体的方差相等。即 222212kn学习第三章时我们知道，样本方差是总体方差的无偏估计值。即的无偏估计都是2222221,SkiSSS 第30页/共177页 统计学已证明，各 的合并均方 （以各处理内的自由度n-1为权的加权平均数）也是2的无偏估计量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均方MSe就是各 样本方差 的合并均方。 2iS2eS2iS2121222222112212()(1)(1)iijiekeekkkekxxSSS

15、SSSSSSSMSdfk nk ndfdfdfdf Sdf Sdf SSdfdfdf 2eEMS即第31页/共177页（二）EMSt= 试验中各处理所属总体的本质差异体现在处理效应 的差异上。我们把 称为处理效应方差，它反映了各处理观察值所属总体的平均数i i的变异程度大小。 22ni2221)(1kkii第32页/共177页 因为各 未知，所以无法求得 的确切值，只能通过试验结果中各处理均数的差异去估计。 然而， 并非 的无偏估计。 i221.).(2kxxi第33页/共177页 因为各处理均数间的差异来源于两方面：一是各处理所在总体i i本质不同，二是平均数的抽样误差。统计学已证明： 所以

16、处理间总均方MSMSt t实际上是 的无偏估计。它一般比误差均方MSMSe e来得大。估计。的无偏是处理间均方 )(1.).(222nkxxi22n即 EMSt =22n第34页/共177页 因为 2 ， 分别是误差均方MSe和处理间均方MSt的数学期望（mathematical expectation ），所以又称它们为期望均方，简记为EMS（expected mean squares）。 22n第35页/共177页（三）F 检验 当处理效应的方差 =0，亦即各处理观测值所在总体的平均数 i ( (i=1，2，,k）相等时(即 1 = =2 = = = =k )，处理间均方MSt与处理内均方

17、相同，都是误差方差2的估计值。2第36页/共177页 F检验就是通过对MSt 与MSe的比较来推断 是否为零，即 是否相等。统计学已证明，在 =0的条件下， MSt / MSe服从自由度df1=k-1与df2=k（n-1）的F分布。 i212(,)12 ,1, (1)tdf dfeMSFdfkdfk nMS2附表4 4列出了检验MSMSt t所代表的总体方差是否显著比F F值越大，对应的右尾概率越小。第37页/共177页。，MSMS，F，FFetdfdf应存在显著差异即处理效的总体方差总体方差显著大于代表的把握推断我们以水平上显著值在则若实际计算的%9505. 0),(05. 021 这种利用

18、F分布计算概率来推断一个总体方差是否显著大于另一个总体方差的假设测验称F检验。这种F检验是一尾检验。第38页/共177页.,0121222222是否相等也即是否为来推断由前已述及ketnnMSMSF 所以F检验的无效假设是 备择假设是kAkHH 21210:而且在进行F检验时，把被检验因素的均方作分子，误差均方作分母。分母项的选择以期望均方所决定。第39页/共177页这里误差均方这里误差均方.73.73系五种处理内变异系五种处理内变异的合并均方，它是表的合并均方，它是表5-25-2资料的试验误差的资料的试验误差的估计；处理间均方估计；处理间均方75.375.3则是试验误差与不则是试验误差与不同

19、施肥处理效应对产量共同作用的结果。同施肥处理效应对产量共同作用的结果。222)(;)(nMSEMSEte例5-1，我们计算了处理间均方：误差均方：73. 6MS3 .75MSet第40页/共177页 表5-1资料的方差分析表变异来源变异来源 DF SS MS F 处理间处理间 k-1 SSt MSt MSt/MSe 处理内处理内 k(n-1) SSe MSe 总变异总变异 kn-1 SST第41页/共177页表5-2资料方差分析表变异来源变异来源 dfSSMSFF0.05 F0.01处理间处理间处理内处理内415301.2101.075.36.7311.18* 3.06 4.89总变异总变异1

20、9402.2 上述F测验表明，FF0.01，则P0.01，所以否定H0，接受HA，即5种施肥处理对水稻产量的效应存在极显著差异。第42页/共177页四、 多重比较（multiple comparisons） F检验只是对所有处理整体上是否存在显著差异的测验，并不能提供任何两个平均数是否存在显著性差异的具体信息。要明确各个处理平均数彼此间的差异显著性，还必须对各个平均数作相互比较，这种多个处理平均数两两间的相互比较称为多重比较。第43页/共177页（一）、最小显著差数法（LSD） 最小显著差数法的实质是在最小显著差数法的实质是在F测验显著测验显著前提下两个样本平均数相比较的前提下两个样本平均数相

21、比较的t测验。测验。nMS2nSnSS;Sxxte2j2iXXXXjijiji1、计算平均数差数的标准误；、计算平均数差数的标准误；2、计算出显著水平下的最小显著差数、计算出显著水平下的最小显著差数LSD。jiexx)df(StLSD第44页/共177页3 3、将任意两个处理平均数差的绝对值与LSDLSD相比较。表示差异不显著表示差异极显著表示差异显著djidjidjistxxstxxstxx05. 001. 005. 0第45页/共177页对【例5-1】用法测验各处理平均数与对照的差异显著性。由前面的分析可知：MSe=6.73 ; n =4盆）克(834. 14)73. 62(nMSe2Sj

22、ixx查查t值表，当值表，当dfe=15时，时，t0.05,15=2.131 t0.01,15=2.947 故：故：LSD0.05=2.1311.834=3.90(克克/盆盆) LSD0.01=2.947 1.834=5.40(克克/盆盆)第46页/共177页五种施肥效果的多重比较表（LSD法） 推断推断:施氨水施氨水2显著高于不施氮肥；施碳铵、显著高于不施氮肥；施碳铵、尿素、氨水尿素、氨水1均极显著高于不施氮肥。均极显著高于不施氮肥。LSD0.05=3.9LSD0.01=5.4第47页/共177页LSD法的特点 LSD是在F测验保护下的两两平均数间的t测验，避免了检验工作量大和无统一误差及误

23、差估计值过高的问题； 但LSD没有考虑相互比较的平均数大小排列上的秩次，所有平均数间比较，都采用同一个标准，使得秩次大的平均数间比较的标准偏小，容易否定无效假设，增大犯I型错误的概率。第48页/共177页（二）、最小显著极差法 最小显著极差(Least significant range)法： 把平均数的差数看成极差，根据极差范围内包含的处理数k的不同而采用不同的检验尺度。即不同平均数间比较采用不同的检验尺度，称为最小显著极差LSR, k 。常用的有新复极差法和q测验法。第49页/共177页 新复极差法 新复极差法(new multiple range method)，是D. B. Dunca

24、n(1955)提出的，故又称Duncan法，还称SSR (shortest significant ranges)法。xkdfsSSRLSRe),(nMSsex),(kdfeSSR q测验法xkdfsqLSRe),(),(kdfeqnMSsex q测验法（复极差法）是Student-Newman-Keul基于极差的抽样分布理论提出的，有时又称SNK测验或NK测验。第50页/共177页 1、新复极差测验法（SSR）第一：计算单个平均数的标准误nMSsex第二：查SSR表，计算最小显著极差值LSR,Kx)k ,df(k ,SSSRLSRe第三：以各个k值下的LSR为显著尺度，测验各平均数两极差的显

25、著性。第51页/共177页 试以法测验例5-1五个处理两两平均数间的差异显著性。由前面的分析可知：MSe=6.73, n=4，故)/(297. 1473. 6盆gnMSesx当dfe=15时，由SSR值表，查出k=2,3,4,5的SSR0.05和SSR0.01的值，并由LSR,kSSR ,k 计算出相应的最小显著极差LSR于下表。xs第52页/共177页 K 2 3 4 5 SSR0.05 3.01 3.16 3.25 3.31 SSR0.01 4.17 4.35 4.46 4.55 LSR0.05 3.90 4.10 4.22 4.29 LSR0.01 5.41 5.64 5.78 5.90

26、q0.05 3.01 3.67 4.08 4.37 q0.01 4.17 4.83 5.25 5.56LSR0.05 3.90 4.76 5.29 5.67 LSR0.01 5.41 6.26 6.81 7.21五个施肥处理多重比较LSR值表(SSR/q法)第53页/共177页多重比较结果多重比较结果(SSR或或q测验）的表示方法测验）的表示方法标记字母法标记字母法将全部平均数从大到小依次排列； 在最大的平均数上标上字母a；将该平均数与以下平均数相比，凡相差不显著的，都标上字母a，直至某一个与之相差显著的平均数，则标以字母b；以标有b的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数相比，凡不显著的一律

27、标以字母b； 第54页/共177页再以标有字母b的最大平均数为标准，与以下各个未标记的平均数相比，凡不显著的继续标以字母b，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c。如此重复进行下去，直至最小一个平均数被标记比较完毕为止。 判断标准：各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。第55页/共177页五种施肥效果的差异显著性（五种施肥效果的差异显著性（SSR/q）推断：1）施尿素、碳铵、氨水1、氨水2的平均产量显著高于不施氮肥；2）施尿素的平均产量极显著高于施氨水2；3）施碳铵、氨水1、氨水2之间的差异不显著。第56页/共177页2、q 测验法测验法 q测验

28、法与SSR法大致相同，所不同的是计算LSR值时用q值而不用SSR值，即 xSqLSR 其中， 为在F测验中分母项相应自由度下显著水平为 时的q值。 与SSR法相比，q测验的显著尺度标准更高，因此，由q测验法推断的结果更严格。q第57页/共177页多重比较方法的选择 三种多重比较方法的检验尺度有如下关系: : 一个试验资料，采用哪一种多重比较方法，主要根据是否定一个正确的HoHo和接受一个不正确的HoHo的相对重要性来决定。测验法法法qSSRLSD第58页/共177页 否定一个正确的H0接受一个不正确的H0q测验LSD或SSR宁愿冒犯错误的风险较大而不愿有较大的犯错误的风险宁愿冒犯错误的风险较大

29、而不愿有较大的犯错误的风险第59页/共177页 在农业和生物学研究中，由于试验工作者通常都寄希望于否定H0，所以LSD和SSR得到较为广泛的应用。 如果试验是几个处理都与一个对照相比，则可选用LSD法； 如果试验是每两个处理都要进行相互比较，则宜选用SSR法。第60页/共177页方差分析的基本步骤 将原始资料进行整理, ,计算各处理的和与平均数及全部资料的和与平均数; ; 依据数学模型计算各变异项平方和与自由度; ; 列出方差分析表，进行F F检验 如果F F检验处理间存在显著差异, ,则应进行多重比较; ; 提取结论. . 第61页/共177页第二节 单因素完全随机设计试验资料的方差分析 各

30、处理重复数相等的方差分析 各处理重复数不等的方差分析第62页/共177页(一)、各处理重复数相等的方差分析 有一小麦新品系完全随机试验，小区产量见表5-13，试检验不同小麦品系平均产量的差异是否显著。第63页/共177页08.14338.xx第64页/共177页223384760.16674 6xCkn22222(12101416 )4760.1667 4958.00004760.1667197.8333TijSSxC197.833367.1667130.6666eTtSSSSSS1667.67)100847282(61122222CCxnSSit第65页/共177页计算各变异来源的自由度14

31、 6 12314 1323320TteTtdfkndfkdfdfdf 第66页/共177页四个不同小麦品系产量方差分析表第67页/共177页各处理平均数的多重比较(SSR) 平均数标准误6.53331.04356exMSsn6.5333,20,6eeMSdfn0.050.05( ,)0.010.01( ,)eek dfxk dfxLSRSSRSLSRSSRS第68页/共177页SSR值及LSR值 dfe秩次距秩次距k SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01 2022.954.023.07834.194933.104.223.23494.403643.184.333.31834

32、.5184第69页/共177页 不同小麦品系的平均产量多重比较表(SSR法) 品种品种平均数平均数-12.0-13.7-14.004-416.74.7*3.02.704-314.02.00.3 04-113.71.7 04-212.0 ixixixix第70页/共177页结 论 小麦品系04-4的平均产量极显著高于04-2,但与04-3,04-1差异不显著; 四个小麦品系中以04-4产量最高.第71页/共177页 若k个处理中的观测值数目不等，分别为n1, n2, , nk。11TiteTtidfndfkdfdfdfnk第72页/共177页 平方和的分解tTeiitijTiSSSSSSCnxS

33、SCxSSnxC 222第73页/共177页 例5-4 5个玉米品种的盆栽试验，调查穗长(cm)性状，得资料如表5-17所示。试比较不同品种间穗长有无显著差异。 第74页/共177页.ix第75页/共177页自由度分解125 12415 1425520TiteTtidfndfkdfdfdfnk 第76页/共177页平方和分解84.385 .46)45 .666121(34.85)0 .165 .195 .21(41.8482255 .460222222222 tTeiitTiSSSSSSCCnTSSCCxSSnTC第77页/共177页5个玉米品种穗长方差分析表变异来源变异来源SSdfMSF值值

34、品种间品种间46.50411.635.99*品种内品种内(误差误差)38.84201.94 总变异总变异85.3424 F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43 第78页/共177页多重比较22222222025(65544 )4.9625 (5 1)1iiinnnnk001.940.625 (LSR)4.9622 1.940.884 (LSD)4.96ijexexxMSSnMSSn第79页/共177页 根据dfe=20，秩次距k=2,3,4,5，从附表6中查出=0.05与=0.01的临界SSR值，乘以 =0.625，即得各最小显著极差，所得结果列于表5-20。

35、将表5-19中的各个差数与表5-20中相应的最小显著极差比较，作出推断。检验结果已标记在表5-19中。 xS第80页/共177页表5-20 SSR值及LSR值表 625. 0 xS第81页/共177页表5-19 5个玉米品种平均穗长多重比较表(SSR法) 品种品种 平均数平均数=0.05 =0.01B120.2aAB419.6aABB318.3abABCB217.2b BCB516.6 b C第82页/共177页结 论 品种B1、B4的穗长显著长于B2、B5； 5 个品种中， B2、B5穗长最短； B3的穗长居中。第83页/共177页第三节 两因素完全随机设计试验资料的方差分析 两因素试验按水

36、平组合的方式不同，分为交叉分组和系统分组两类，对应的方差分析方法也不同。第84页/共177页两因素试验是多因素试验的最简单形式。两因素试验是多因素试验的最简单形式。多因素试验比单因素试验具有更多的优越多因素试验比单因素试验具有更多的优越性。性。(1)可研究可研究因素之间的因素之间的交互作用；交互作用；(2)试验精确度更高；试验精确度更高；(3)所得结论论据更充分。所得结论论据更充分。 第85页/共177页 如某试验考察品种、密度、施肥量三个因素，每因素取两水平，则共有23=8种水平组合（即8个处理），若重复三次，全试验共有24个小区，因而每一因素的每一水平重复了12次，若将24个小区做三个单因

37、素试验，则每因素各得8个小区，每因素的每一水平仅重复4次。重复12次的精度当然比重复4次的高。nSSx/ 第86页/共177页因素 品种 A 密度 B 施肥量 Ca1a2b1b2b1b2c1c2c1c2c1c2c1c2水平组合第87页/共177页一、两因素交叉分组资料方差分析 验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因素分b个水平。A因素每个水平与B因素每个水平交叉搭配形成ab个水平组合即ab个处理，A、B在试验中处于平等地位 。 完全随机设计时是将试验单位分成 ab 个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组。包括无重复观测值和有重复观测值两种类型。第88页/共177页(

38、一)两因素单个观察值试验资料方差分析第89页/共177页两因素单个观察值的数据结构.2.1.xxxxxaibjxxxx.2.1.第90页/共177页)N(00)0,( )-(, )-(;BA2ijijjijiji，且都服从为随机误差，相互独立且的效应，为和数；为全部观察值总体平均jiijjiijx线性模型:第91页/共177页平方和分解BATejjBiiAijijTSSSSSSSSCxaxxaSSCxbxxbSSCxxxSSabxC 22222221)(1)(矫正数第92页/共177页自由度分解) 1)(1(111badfdfdfdfbdfadfabdfBATeBAT第93页/共177页eee

39、BBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/第94页/共177页n为了研究不同田间管理方法对草莓产量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分成3个小区，随机安排3种田间管理方法，所得结果见表5-22，试作方差分析。 第95页/共177页表5-22 各品系草莓不同管理措施的产量(kg/区) ix地块地块(A) 田间管理方法田间管理方法(B) xi. 平均平均 B1B2B3A171737722173.67A290909227290.67A359708020969.67A475808223779.00A565606719264.00A682868525384.33合计合计x.j4424

40、594831384 平均平均73.6776.5080.50 76.89jx第96页/共177页1.计算各项平方和与自由度2223.1614444.141)483459442(6111111.1435.)272221(3117778.1737.)7371(2222.1064143613842222.222.22222 BATejBiAijTSSSSSSSSCCxaSSCCxbSSCCxSSabxC第97页/共177页16 3 11716 1513 12175210TABeTAedfabdfadfbdfdfdfdf 第98页/共177页变异来源变异来源SSdfMSF值值A因素因素B因素因素1435

41、.11141.4452287.0270.7217.80*4.39*误差误差161.221016.12 总变异总变异1307517 F0.05(5,10) =3.33,F0.01(5,10) =5.64 F0.05(2,10) =4.10,F0.01(2,10) =7.56 2、列出方差分析表第99页/共177页3、 多重比较 16.12222.31823iexMSSb第100页/共177页dfe 秩次距秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011023.154.487.302310.385533.885.278.994612.216944.335.7710.037813.3760

42、54.656.1410.779614.233764.916.4311.382414.9060第101页/共177页地块地块平均数平均数-64.00-69.67-73.67-79.00-84.33A290.6726.67*21.00*17.00*11.67*6.34 A684.3320.33*14.66*10.66*5.33A479.0015.00*9.33*5.33A173.679.33*4.00A369.675.67A564.00.ix.ix.ix.ix.ix.ixA2产量极显著高于A5、A3、A1，显著高于A4，但与A6差异不显著。第102页/共177页（2）不同田间管理方法的草莓平均产量

43、比较 B 因素各水平平均数比较见表5-26。 在两因素单独观测值试验情况下，B因素(本例为田间管理方法)每一水平的重复数恰为A因素的水平数a。B 因素各水平间比较方法同A。从略。6392. 161222.16.aMSSejx第103页/共177页 两因素或多因素试验，除了研究每一因素对试验指标的影响外，往往更希望研究因素之间的交互作用。例如，通过对播种期、播种密度、施氮量、施钾量、施磷量对作物生长发育的影响有无交互作用的研究，对最终确定有利于作物生产的最佳栽培技术体系是有重要意义的。第104页/共177页 前面介绍的两因素单个观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况。 若两因素间有交互作用

44、，则每个水平组合只设一个观察单位是不正确的或不完善的。第105页/共177页 (1)只有单个观察值，误差项均方MSe实际是交互作用和试验误差交织在一起，如果因素有互作，则互作效应在其中占主要比例。 (2)因此加大了试验误差均方值，容易掩盖试验因素的真实差异， 从而增大接受无效假设的可能性，即增大犯型错误的概率。 (3)因为每个水平组合只有一个观测值，所以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。 第106页/共177页 因此，进行两因素或多因素试验时，一般应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研究因素间的交互作用。第107页/共177页(二)有重复观测值交叉分组资料的方差分析

45、 对两因素等多因素有重复观测值试验结果的分析，能研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用(互作)效应。第108页/共177页 设A与B两因素试验，分别具有a个水平和b个水平，共有a b个水平组合，每个水平组合有n次重复，则全试验共有abn个观测值。这类试验结果方差分析的数据模式如表5-29所示。 第109页/共177页两因素有重复观察值试验资料的数学模型为：ijlijjiijlx依据数学模型，试验资料总变异分解如下：abnxCdfdfdfdfdfSSSSSSSSSSeBABATeBABAT2.第110页/共177页 【例例5.6】为了研究不同的种植密度和商业化肥对大麦产量的影响，将种植密度

46、(A)设置3个水平、施用的商业化肥(B)设置5个水平，交叉分组，重复4次，完全随机设计。产量结果(kg/小区)列于表5-30，试分析种植密度和施用的商业化肥对大麦产量的影响。 第111页/共177页 本例A 因素（种植密度）分3个水平，即a=3；B因素（商业化肥）分5个水平，即b=5；共有ab=35=15个水平组合；重复数n=4；全试验共有abn=354=60个观测值，试验结果列于表5-30，请对该资料进行方差分析。第112页/共177页1 1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度222222181054601.66673 5 4272930628.3333TijlxCabnSSxC

47、C 22221108104120573.33334ABijSSxCCn222222221555590665315.83335 41357346332207.16673 4AiBjSSxCCbnSSxCCan 573.3333315.8333207.166750.3334A BABABSSSSSSSS628.3333 573.333355.0000eTABSSSSSS第113页/共177页13 5 4 15913 5 1 14TABdfabndfab 13 1215 14(1)(1)(3 1)(5 1)8ABA Bdfadfbdfab (1)3 5 (4 1)45edfab n 第114页/共1

48、77页变异来源变异来源SSdfMSF值值种植密度种植密度(A)315.83332157.9167129.20*商业化肥商业化肥(B)207.1667451.791742.38*互作互作(AB)50.333386.29175.15*误差误差55.0000451.2222总变异总变异628.333359F0.01(2,45)=3.20，F0.01(4,45)=2.58，F0.01(8,45)=2.15 2、列出方差分析表，进行F 检验第115页/共177页3 3、多重比较、多重比较 (1)种植密度(A)各水平平均数间的比较 不同种植密度平均数多重比较表见表5-32。 因为 A 因素各水平的重复数为

49、bn，故 A 因素各水平的标准误的计算公式为：2472. 04522. 1bnMSSeXA第116页/共177页 (2)商业化肥(B)各水平平均数间的比较：不同商业化肥平均数多重比较表见表5-34。 因为 A 因素各水平的重复数为an，故 B 因素各水平的标准误的计算公式为：3191. 04322. 1anMSSexB第117页/共177页 以上所进行的两项多重比较，实际上是A、B两因素主效应的检验。 结果表明，种植密度以A3 的产量最高；商业化肥以B4 的产量最高。若A、B 因素交互作用不显著，则可选出A3 B4为最优水平组合；若交互作用显著，则应进行水平组合平均数间的多重比较，以选出最优组

50、合，同时可进行简单效应的检验。 第118页/共177页(3)各水平组合平均数间的比较 因为水平组合数通常较大(本例=35=15)，采用LSR法进行各水平组合平均数的比较时，计算量大，且会出现同样两水平组合在各水平组合平均数间的比较和在简单效应检验中所用检验尺度不同，造成检验结果不同的问题，故一般推荐使用LSD法来进行各水平组合平均数的多重比较和简单效应检验。也就是说，用相同的检验尺度进行各水平组合平均数间的比较和简单效应检验。第119页/共177页 因为水平组合的重复数为n，故水平组合平均数标准误计算式为： 22 1.22220.78174ijijexxMSSn第120页/共177页 由dfe