2022年高一数学知识点与题型完整归纳总结 3.docx

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1、精品_精品资料_集合及集合的应用【课标解读】1. 把握集合的有关基本定义概念,运用集合的概念解决问题.2. 把握集合的包含关系（子集、真子集）.3. 把握集合的运算 交、并、补 .4. 在解决有关集合问题时,要留意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类争论）的运用.【学问梳理】一、集合的有关概念 一 集合的含义 二 集合中元素的三个特性1. 元素的确定性：如：世界上最高的山,反例：世界上很高的山.2. 元素的互异性：如：由“HAPPY ”的字母组成的集合 H,A,P,Y .3. 元素的无序性：如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集合. 三 集合的表示集合的表示方法：列举法与描述法.常

2、用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N, 正整数集：N * 或 N + ,整数集： Z ,有理数集 Q , 实数集 R.1列举法： a,b,c,2. 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.如： xR | x-32, x|x-32.3. 语言描述法：如： 不是直角三角形的三角形. 4.Venn 图. 四 集合的分类1.有限集 :含有有限个元素的集合;2.无限集 :含有无限个元素的集合;3.空集 :不含任何元素的集合 ;如： x|x2=-5 .二、集合间的基本关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.“包含 ”关系子集留意： AB 有两种可

3、能： （ 1） A 是 B 的一部分.（2） A 与 B 是同一集合 .反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA.2.“相等 ”关系： A=B5 ,5且 55,就 5=5.实例：设 A= x|x2-1=0 ,B=-1,1.就 A=B.元素相同就两集合相等,即： 任何一个集合是它本身的子集：AA .真子集 :假如 AB,且 AB,那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB 或 BA.假如 AB, BC ,那么 AC. 假如 AB , 同时 BA ,那么 A=B.3.不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合

4、的真子集. 含有 n 个元素的集合,有2n 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子集, 2n1个真子集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、集合的运算运算类型交集并集补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由全部属于 A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交定义集记作 AB（读作“ A 交 B”）,即由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集记作：AB（读作“ A设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集,由S 中全部不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作SA,即可

5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB= x|xA,且xB并 B”）,即 AB= x|xA,或 xB SA= x| xS,且xA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SA韦恩图示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA=AA=AA=AA=AUAUB=U ABUAU B=UAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质AB=BAAB=BAA U A= UABAABA UA=ABBABB【方法归纳】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集,点集,或某类图形集）,然后再确定处理此类问题的方法 .二、

6、关于集合中的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简形式,然后再进行运算.三、含参数的集合问题,多依据集合的互异性处理,有时需要用到分类争论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知动身,多从特殊点动身来查找突破口.课堂精讲练习题考点一：集合的概念与表示1.集合 A 中的元素由 x=a+b2 a Z ,b Z 组成,判定以下元素与集合A 的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 0.（2）11.（3）.2132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ：（ 1）由于 0002 ,所以 0A .可编辑

7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由于111212 ,所以1A21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）由于132312,3Z ,所以1A.32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级 :B 类22.已知集合 A= y|y=x-1,x R , B= x,y|y=x -1, x R , C= x|y=x+1,y 3,求 ACB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ：2 A= y|y=x-1,x R= R 是数集, B= x

8、,y|y=x -1, x R 是点集, C= x|y=x+1, y 3=x|x 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ACB =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级 :A 类2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知集合 A= x|x+4ax-4a+3=0 , B= x|x +a-1x+a =0 , C= x|x+2ax-2a=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中至少有一个集合不是空集,求实数a 的取值范畴 .【解题思路】 ：当三个集合全是空集时,所对应的三个方程都没有实数解.方程都没有实数解,可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品_精品资料_116a24 4a30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3即2 a 4a2128a4a200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解此不等式组,得2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求实数 a 的取值范畴为 a3,或 a-1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级 :B 类考点二：集合中元素的特点4. 集合 3 , x, x2 2x 中, x 应满意的条件是.【解题思路】 ： x 1 且 x0且 x3.2难度分级： A 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设集合P xy, xy

10、, xy , Qxy2, x2y2 ,0,如 PQ ,求x, y 的值及集合 P 、 Q 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： PQ 且 0Q , 0P 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 xy0 或 xy0 ,就 x22y0 ,从而Q x2y2 ,0,0,与集合中元素的互异性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_冲突, xy0 且 xy0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 xy0 ,就 x0 或 y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y

11、0 时,Px, x,0,与集合中元素的互异性冲突,y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时, Py, y,0 , Q2 y ,2y ,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 PQ 得yy2 yy2yy 2或 yy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0y0由得 y1,由得 y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1或x0xy1y0 ,此时 PQ1, 1,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级 :B 类16

12、. 设 S 是满意以下两个条件的实数所构成的集合： 1 S,如 aS ,就S ,1a请解答以下问题：（ 1）如 2 S,就 S 中必有另外两个数,求出这两个数.（ 2）求证：如 aS ,就 11S .a（ 3）在集合 S 中元素能否只有一个？请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ：（ 1）要求的两个数为1, 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如aS, 就 11aS ,11111a1aS , 如aS,就11S .a可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品_精品资料_（ 3）集合 S 中的元素不能只有一个 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：假设集合 S 中只有一个元素,就依据题意知a=11,此方程无解, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a1a集合 S 中的元素不能只有一个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 4）证明：由（ 2）知, aS , 1S, 现在证明 a,a1, 11a1三个数互不相等 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a=11,此方程无解, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1

14、a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a= 11 ,此方程无解,a11 aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如1= 11a1,此方程无解,a1111 aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,集合 S 中至少有三个不同的元素.难度分级： C 类考点二：交集、并集、补集的含义及其运算7.2022 南京模拟 已知集合 M x|y2 x 1 , P x|y2 2x 3 ,那么 MP.【解题思路】 ： 由 M ：x y2 11,即 M x|x 1 ,由 P： x 1y2 33,即 P x|x3,2所

15、以 M P x| 1x3答案 : x| 1x3难度分级： A 类8.已知集合 A 中有 10 个元素,集合B 中有 6 个元素,全集 U 中有 18 个元素,且有 AB ,设集合 U AB中有 x 个元素,就 x 的取值范畴是【解题思路 】：由于当集合 AB 中仅有一个元素时,集合UA B中有 3 个元素,当 AB 中有 6 个元素时,UA B中有 8 个元素,即 3x8且 x 为整数答案 :3 x8且 x 为整数 .难度分级： B 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.2022x1盐城模拟 设全集 U R ,A x|0 ,.x mUA 1, n ,就 m2 n2 .可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路 】：由 .U A 1, n,知 A , 1 n, ,即不等式 x 1 0 的解集为x m , 1 n, ,所以 n 1, m 1,因此 m 1, n 1,所以 m2 n2 2.难度分级： B 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 如集合Ax | x2ax10, xR,集合 B1,2,且 AB ,求实数 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ：（ 1）如 A,就a240 ,解得2a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 如 1A,就 12a10 ,解得 a2 ,此时 A1 ,适合题意.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）就222a1 0 ,解得a5 ,此时 A 252, ,不合题意.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,实数 a 的取值范畴为 2,2 难度分级： A 类11. 写出阴影部分所表示的集合：UUBABAC图1图2【解题思路】 ：（ 1）B（ UA）2ABC.难度分级： B 级12.（ 2022 辽宁理）已知 A, B 均为集合 U =1,3,5,7,9 的子集

18、,且 AB=3,U BA=9,就 A=.【解题思路】 ： 由于 AB=3 ,所以 3 A,又由于 U BA=9 ,所以 9A,所以 A=3,9. 此题也可以用 Venn 图的方法帮忙懂得 .难度分级： B 类222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13.设集合 A= x|x+4x=0,x R ,B= x|x +2 a+1 x+a-1=0 ,xR ,如 BA,求实数 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： A= x|x2+4x=0,xR =0 , -4, BA, B=或0 , -4 , 0 , -4.当 B=时, =2 a+1 2-4a2-1

19、0. a -1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_02a1当 B=0 时,2 a=-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_442a当 B=-4 时,21, 此方程组无解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_402a当 B=0 , -4 时,21, a=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a1 a 的取值范畴为： a-1 或 a=1 难度分级： B 类14. 2022 盐城模拟 已知集合 A x|x2 x 20, B x|20

20、 ,且满意 A B C, A B C R,求实数 b, c 的值【解题思路】 ： 由于 A x| 2x1,B x|13 或 x0 的解集为 x|x3 或 x 2 ,即方程 x2 bx c 0 的两根分别为 2 和 3, 就 b 3 2 1, c 3 2 6.难度分级： B 类15.已知全集 U=R ,集合 A= x|x2-x-60 , C= x|x2-4ax+3a20 ,(1) 试求 a 的取值范畴,使 ABC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 试求 a 的取值范畴,使CU ACU BC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ：U=R, A=（

21、-2, 3）, B=（ -, -4）（ 2, +）,故 AB=（ 2,3）,CU A（-, -2 3 , +）, CU B-4 , 2 , CU ACU B =-4 , -2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x -4ax+3a20 即x-3a x-a0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时, C=（a, 3a）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 要使 ABC,结合数轴知,a0a23a3解得 1a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 类似的,要使CU ACU

22、 BC , 必有a03a4解得a242 a.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： B 类【课堂训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如集合 M a, b, c 中元素是 ABC 的三边长,就 ABC 肯定不是三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： 依据集合中元素的互异性,a、b 和 c 互不相等,所以 ABC 肯定不是等腰三角形 .答案：等腰可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： A 类2. 设集合 I=1 ,2,3 ,AI ,如把集合 MA=I 的集合 M 叫做集合 A 的配集,就 A=1

23、,2 的配集有个.【解题思路】 ： A 的配集中肯定含有元素3,余下两个元素1, 2 可以全不含、仅有一个、两个都有.答案： 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： B 类b3. 三个元素的集合1 , a,ab ,也可表示为 0 , a2, a+b ,求 a2022+ b2022 的值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： 依题意得0a,就 b=0. 所以 a1 , 就 a1.由互异性知 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a2022+ b2022=-1.难度分级： B 类4.设集合 A=5 , log 2（ a+3）

24、 ,集合 B= a, b. 如 AB=2 ,就 A B=.【解题思路】 ： AB=2 , log2（ a+3） =2. a=1. b=2. A=5 ,2 , B=1 ,2. A B=1 , 2, 5.答案： 1 , 2, 5.难度分级： A 类3.设 A= x|1x 2 ,B= x|x a ,如 AB,就 a 的取值范畴是.【解题思路】 ： AB 说明 A 是 B 的真子集,利用数轴（如下图）可知a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： a1.a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： A 类5.2022 苏州模拟 已知全集 U R, M x|y x

25、1 , P x| y就U M U P .log 12x , y M ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： M 是 y x 1的定义域,即 M x|x1, U M x|x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P 是值域为 M 时, ylogx的定义域,就 P x|0x1 , U P x|x0或1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222 U M U P x|x0或1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： x|x0或1x12难度分级： A 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.已知集合 A= x|

26、x2-1=0 ,B= x|x2-2ax+b=0 , A B=A,求 a, b 的值或 a,b 所满意的条件【解题思路】 ： A= x|x2-1=0 =1 , -1, A B=A , BA.-4b0,即;当 B=时 , =4a2a2b0当 B=-1 时, a=-1 , b=1;当 B=1 时, 2a=1+1=2 ,即 a=b=1;当 B=-1 , 1 时, B=A=-1 , 1 ,此时 a=0,b=-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述 a,b 满意的条件为： a2-b0 或 a=-1, b=1 或 a=0, b=-1 或 a=-1, b=1.可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品_精品资料_难度分级： B 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.2022扬州模拟 设 A x|x2 axa2 19 0 , B x|x2 5x 60 , C x|x 2 2x8 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 如 AB AB,求实数 a 的值.(2) 如 AB ,且 AC,求实数 a 的值.(3) 如 ABAC ,求实数 a 的值【解题思路】 ： 1由于 A BAB,所以 A B,又由于 B 2,3 , 就 a5 且 a2 19 6 同时成立,所以 a 5.2 由于 B 2,3 , C 4,2 ,且 AB, AC,就只有 3 A,即 a2

28、3a 10 0,即 a5 或 a 2,由 1 可知,当 a 5 时, A B 2,3 ,此时 AC ,与已知冲突, 所以 a 5 舍去,故 a 2.3 由于 B 2,3 , C 4,2 ,且 ABAC ,此时只有 2A, 即 a2 2a 15 0,得 a 5 或 a 3,由1 可知,当 a 5 时不合题意,故 a 3.难度分级： B 类【课后检测】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A= x,y|x1. 已知集合2 y2 y=4 , B= x,y|x2 xy 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=0 ,C= x,y|x 2y=0 , D= x,y|x+y=0.(1

29、) 判定 B、C、D 间的关系.(2) 求 AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ：（ 1）B=C D ;（ 2） AB=8 , 43 3, 2, 1,4, 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： B 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知全集 UAB 中有 m 个元素, 痧U AU B 中有 n 个元素 如 A IB 非空, 就 A IB 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元素个数为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： 由于

30、 AB痧U U A.U B ,所以 AB 共有 mn 个元素 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： A 类3.已知数集 A= a2 ,a+1, -3 ,数集 B= a-3, a-2, a2+1 ,如 AB=-3 ,求 a 的值【解题思路】 ： AB=-3 , -3A, -3 B.当 a-3=-3, 即 a= 0 时, B=-3 , -2, 1 , A=0 , 1, -3 不满意题意. 当 a-2=-3, 即 a=-1 时, B=-4 , -3, 2 , A=1 , 0, -3 满意题意 . a =-1.难度分级： A 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

31、4.已知集合 A=2 , 5 ,B= x|x（ 1）如 B=5 ,求 p, q 的值+px+q=0, xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 AB= B ,求实数 p, q 满意的条件【解题思路】 ：（ 1） AB=5 ,方程 x2+px+q=0 有两个相等的实根5, 5+5=- p,5 5=q, p=-10, q=25.（ 2） AB= B, BA.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B=时, =p-4q0,即 p4q.当 B=2 时,可求得 p=-4, q=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B=5 时, p=-10 ,

32、q=25 .当 B=2 , 5 时,可求得 p=-7 , q=10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述：实数 p, q 满意的条件为 p24q 或 pq4p10或或4q25p 7.q 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： B 类5.已知 A= x|x2 px+15=0 , B= x|x2 ax b=0 ,且 A B=2,3,5 , AB=3 ,求 p,a,b 的值 .【解题思路】 ： p=8, a=5 ,b=6.难度分级： B 类6.设 A= x|x2+4 x=0 ,B= x|x2 +2a+1 x+a2 1=0,a R.(1) 如 AB=B,求

33、实数 a 的值 .(2) 如 AB=B,求实数 a 的值 .【解题思路】 ： 1a=1 或 a 1. 2 a=1.难度分级： B 类7. 某校有 A、B 两个课外科技制作小组,50 名同学中报名参与A 组的人数是全体同学人数的3 ,5报名参与 B 组的人数比报名参与A 组的人数多 3 人,两组都没有报名的人数是同时报名的人数的13仍多 1 人,求同时报名参与A、B 两组人数及两组都没有报名的人数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】 ： 同时报名参与A、B 组的人数为 21 人,两组都没有报名的人数为8 人.难度分级： B 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知全集UxN| x10 ,且eU AB1,9, 痧U AU B6,8 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB2,4,求集合 A和 B .【解题思路】 ： 如图：1 93A2B54U768可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可知, A2,3,4,5,7, B1,2,4,9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难度分级： B 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29. 已知集合 A= x R |ax+2 x+1=0 , a R 只有一个元素,就a 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品