2022年初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧3.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 中学数学 最短路径问题 典型题型及解题技巧最短路径问题中 ,关键在于,我们善于作定点关于动点所在直线的对称点,或利用平移和绽开图来处理；这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用；理论依据：“ 两点之间线段最短”,“ 垂线段最短” ,“ 点关于线对称” ,“ 线段的平移” “ 立体图形绽开图” ；教材中的例题“ 饮马问题” ,“ 造桥选址问题” “ 立体绽开图” ；考的较多的仍是“ 饮马问题”；学问点：“ 两点之间线段最短”,“ 垂线段最短” ,“ 点关于线对称” ,“ 线段的平移” ；“ 饮马问题” ,“ 造桥选址问题” ；考的较多的仍是“

2、饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等；解题总思路：找点关于线的对称点实现“ 折” 转“ 直”式问题考查；一、两点在一条直线异侧,近两年显现“ 三折线” 转“ 直” 等变例：已知：如图,A,B 在直线 L 的两侧,在 L 上求一点 P,使得 PA+PB 最小；解：连接 AB,线段 AB 与直线 L 的交点 P ,就是所求；（依据：两点之间线 段最短 .）二、 两点在一条直线同侧例：图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区 方,才能使从 A、B 到它的距离之和最短A、B 供应牛奶,奶站应建在什么地解：只有 A、C 、B 在始终线上时,才能使 AC +

3、BC 最小作点 A 关于直线“ 街道” 的对称点 A ,然后连接 A B,交“ 街道” 于点 C,就点 C 就是所求的点三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角 MON 内部任意一点,在 MON 的两边OM ,ON 上各取一点 B,C ,组成三角形,使三角形周长最小 . 1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：分别作点 A 关于 OM ,ON 的对称点 A ,A ；连接 A ,A ,分别交 OM ,ON 于点 B、点 C ,就点 B、点 C 即为所求 分析：当 AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能

4、够表达在一条直线上时,三角形的周长最小例：如图, A.B 两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN ,桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线,桥 N 要与河垂直）E B 解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E,2.连接 AE 交河对岸与点 M, 就点 M 为建桥的位置, MN 为所建的桥；证明：由平移的性质,得 BN EM 且 BN=EM, MN=CD, BD CE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 如桥的位置建在 CD 处,连接 AC.CD.DB.CE, 就 AB 两地的距

5、离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在 ACE 中, AC+CE AE, AC+CE+MN AE+MN, 即 AC+CD+DB AM+MN+BN a 所以桥的位置建在CD 处,AB 两地的路程最短；B A 例：如图, A 、B 是两个蓄水池,都在河流a 的同侧,为了便利浇灌作物,.要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B 两地,问该站建在E D C 2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 河边什么地方, .可使所修的渠道最短,试在图中确定该点；作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,

6、连接 AC 交直线 a 于点 D,就点 D 为建抽水站的位 置；证明：在直线 a 上另外任取一点 E,连接 AE.CE.BE.BD, 点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E 在直线 a 上, DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在 ACE 中, AE+ECAC, 即 AE+EC AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D 处,A D M O例：某班举办晚会,桌子摆成两直条如图中的 AO ,BO ,AO 桌面上摆满了桔子, OB 桌面上摆满了糖果,坐在C 处的同学小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮忙他设计一条行走路线,使其所走的总路程最C N

7、 短？E B作法： 1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D, 2. 作点 C 关于直线OB 的对称点点 E, 3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N ,就 CM+MN+CN最短AF CDO 3 例：如图：C 为马厩,D 为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,H _精品资料_ B 第 3 页,共 9 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线；作法： 1.作点 C 关于直线OA 的对称点点 F, G 2. 作点 D 关于直线OB 的对称点点 E, E 3.连接

8、EF分别交直线 OA.OB 于点 G.H ,就 CG+GH+DH最短四、求圆上点,使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可依据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案；例:一点到圆上的点的最大距离为（5 或 4）9,最短距离为 1,就圆的半径为多少？四、点在圆柱中可将其侧面绽开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形,圆柱体绽开的底面周长是长方形的长,圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程例：如下列图,是一个圆柱体,ABCD 是它的一个横截面, AB=,BC=3,一只蚂蚁,要从 A 点爬行到 C 点,那么,最近的路程长为（）A7 B CD5 分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的侧面绽开,进

9、而依据“ 两点之间线段最短” 得出结果4 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：将圆柱体绽开,连接 A、C ,= . .=4,BC=3 ,依据两点之间线段最短,AC=5应选 D五、在长方体（正方体）中,求最短路程1）将右侧面绽开与下底面在同一平面内,求得其路程2）将前表面绽开与上表面在同一平面内,求得其路程3）将上表面绽开与左侧面在同一平面内,求得其路程了然后进行比较大小,即可得到最短路程 . 例：有一长、宽、高分别是 5cm ,4cm ,3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬

10、到长方体上和 A 相对的顶点 B处,就需要爬行的最短路径长为（）A5 cm Bcm C 4 cm D3 cm 分析： 把此长方体的一面绽开,在平面内,两点之间线段最短利用勾股定理求点 A 和 B 点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中,一条直角边长等于长方体的高,另一条直角边长等于长方体的长宽之和,利用勾股定理可求得解：由于平面绽开图不唯独,故分情形分别运算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线（1）绽开前面、右面,由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；（2）绽开前面、上面,由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；（3）绽开左面、上面,由勾股定理得AB2=

11、（3+5）2+42=80；5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所以最短路径长为 cm 例：如图是一个长 4m ,宽 3m ,高 2m 的有盖仓库,在其内壁的 A 处（长的四等分）有一只壁虎, B 处（宽的三等分）有一只蚊子,就壁虎爬到蚊子处最短距离为（）DA4.8 B C5 分析： 先将图形绽开,再依据两点之间线段最短可知解：有两种绽开方法：将长方体绽开成如下列图,连接A、B,；依据两点之间线段最短, AB=将长方体绽开成如下列图,连接A、B,就 AB=5；所以最短距离5 例：有一棵 9 米高的大树,树下有一个

12、1 米高的小孩,假如大树在距地面 4 米处折断（未完全折断） ,就小孩至少离开大树 米之外才是安全的分析： 依据题意构建直角三角形 解：如图, BC 即为大树折断处ABC ,利用勾股定懂得答4m 减去小孩的高 1m ,就 BC=4 1=3m ,AB=9 4=5m ,在 Rt ABC中, AC= = =4例：如图,在一个长为 2 米,宽为 1 米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽 AD 平行且 AD ,木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形,一只蚂蚁从点 A 处,到达 C 处需要走的最短路程是 米（精确到 0.01 米）6 _精品资料_ - - - - - - -第 6

13、 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 分析： 解答此题要将木块绽开,然后依据两点之间线段最短解答解：由题意可知,将木块绽开,相当于是长为 2+0.2 2=2.4 米；宽为 1 米AB+2 个正方形的宽,于是最短路径为：=2.60 米例：如图, AB 为 O 直径, AB=2 ,OC 为半径, OC AB,D 为 AC 三等分点,点 P 为 OC 上的动点,求 AP+PD 的最小值；分折：作 D 关于 OC 的对称点 D ,于是有 PA+PD AD , （当且仅当 P 运动到 Po 处,等号成立,易求 AD = 3 ；六、在圆锥中,可将其侧面绽开求出最短路程将圆锥

14、侧面绽开,依据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图,始终圆锥的母线长为QA=8 ,底面圆的半径 r=2,如一只小蚂蚁从 A点动身,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点,就蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的绽开图的扇形的弧所 对的弦长,依据题意可得出：2 r= n.OA,/180 就,就 n 8 2 2=,180 解得：n=90 ,由勾股定理求得它的弦长 AA 一、题中显现一个动点；当题中只显现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图,在正方形ABCD 中,点 E 为 AB 上肯定点

15、,且 BE=10,CE=14,P 为 BD 上一动点,求 PE+PC 最小值；分析：作 E 关于 BD 对称点 E ,E在 AB 上,有 PE+PC=PE+PC EC 易求 EC=26 ；7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 二、题中显现两个动点；当题中显现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值；例：如图,在直角坐标系中有四个点, A-8,3,B-4,5C0,n,Dm,0, 当四边形 ABCD 周长最短时 ,求m；n分折:因 AB 长为定值 ,四边形周长最短时有

16、BC+CD+DA最短 ,作 B 关于 y 轴对称点 B, 77mA 关于 x 轴对称点 A, DA+DC+BC=DA+DC+B C BA 当 D,C 运动到 AB 和x 轴 y 轴的交点时等号成立 ,易求直线 A B 解折式 y= 2x+733 ,C00,3 ,D0-2 ,0, 此时n =- 23三、题中显现三个动点时；在求解时应留意两点：1 作定点关于动点所在直线的对称点 , 2 同时要考虑点点 ,点线,线线之间的最短问题 . 例：如图,在菱形 ABCD 中,AB=2, BAD=60,E,F,P 分别为 AB,BC,AC 上动点,求 PE+PF最小值8 _精品资料_ - - - - - -

17、-第 8 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 分折 :作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有 , PE+PF=PF+PEEF,又由于 E 在 AB 上运动 ,故当 EF 和 AD,BC 垂直时, E0F 最短,易求E0F=3 ；例：如图, AOB=45 ,角内有一动点P ,PO=10 ,在 AO ,BO 上有两动点 Q ,R,求 PQR 周长的最小值；分折：作 P 关于 OA ,OB 对称点 P1,P2 ；于是有 PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2 P1P2,由对称性易知P1OP2 为等腰 RT ,OP=OP1=OP2=10,P1P2=102总之,在

18、这一类动点最值问题中 ,关键在于,我们善于作定点关于动点所在直线的对称点,或动点关于动点所在直线的对称点；这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用；1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路, 不论题目如何变化, 运用时要抓住直线同旁有两点, 这两点 到直线上某点的距离和最小 这个核心,全部作法都相同留意：利用轴对称解决最值问题应留意题目要 求 依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时,要仔细审题,不要只留意图形而忽视题意要求,审题不清导致答非所问2、

19、利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上假如两点在一条直线的同侧时,过两 点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,假如两点在一条直线的异侧时,过两点的直 线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明,通常依据 最大值或最小值的情形取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸 的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为 零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线 段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题9 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 9 页