2022年初三数学直线形知识精讲.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载初三数学直线形学问精讲一. 本周教学内容：直线形 直线形是中学平面几何的基础学问,其中三角形是构成多边形的基础图形,而全等三角形的学问更为 重要；全等三角形是争论两个封闭图形之间关系的基本工具,同时也是移动图形位置的工具；例 1. 已知,如图,ABC中, AD是高, CE是中线, DC=BE,DGCE,G是垂足,求证：（1）G是 CE的中点；（2） B=2BCE；分析：（1）欲证 G是 CE中点,即 EG=CG,由条件 DGCE,所以只须证DG所在直线为CE中垂线,想到要连结DE,证出DEC为等腰三角形；即 DE=CD即可

2、,由已知条件DC=BE=EA, ABD为直角三角形,DE=BE=DC,就此题得到解决；（2）由第（ 1）问知： DC=DE, BDE=DEC+DCE=2DCE 由 BE=DE, B=BDE=2DCE；证明：（1）连结 DE, ADB=90 , E 是 AB中点, DE=AE=BE 又 DC=BE, DC=DE 又 DG EC于 G, G是 EC中点（2） DE=DC, DCE=DEC EDB=DEC+DCE=2DCE,又 DE=BE, B=EDB B=2BCE 例 2. 如图, ABC中, AB=AC,D、E、F 分别为 AB、BC、CA上的点,且BD=CE,DEF=B,求证：DEF是等腰三角

3、形；分析： 从已知条件入手,由 AB=AC,可得 B=C _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 DEF=B, DEF=B=C 又 BEF=C+EFC（三角形外角等于不相邻的两内角和）又 BEF=BED+DEF BED=EFC,从而得到BDE CEF DE=EF,即 DEF是等腰三角形；证明： DBE和 ECF中, BD=CE,AB=AC, B=C 又 BEF=BED+DEF= C+EFC, DEF=B BED=EFC BDE CEF, DE=EF DEF是等腰三角形；例 3. 已知,如图,在 AB

4、C中,（AB AC）,D、E 在 BC中,且 DE=EC,过 D作 DF BA交 AE于点 F,DF=AC,求证： AE平分 BAC；分析： DF=AC,而 DF、AC不在同一三角形中,也不在全等的两个三角形中,所以想到通过证三角形 全等把 DF与 AC移动到同一三角形中,由 DE=EC,即 E 是 DC中点,延长 FE到 G,使 EG=EF,可得到DEF CEG,进而得到 CG=DF=AC, G=GAC,又可得到 GC DF AB, G=BAG, BAG= GAC,即 AG平 分 BAC 证明： 延长 FE到 G,使 EG=EF,连结 CG 在 DEF和 CEG中, ED=EC, DEF=C

5、EG,FE=EG DEF CEG, DF=GC, DFE=G DF AB, DFE=BAE DF=AC, GC=AC, G=CAE BAE=CAE,即 AE平分 BAC；例 4. 如图,已知 AD是 ABC的中线, BE交 AC于点 E,交 AD于点 F,且 AE=EF,求证： AC=BF；分析： 要证的两条线段 AC、BF不在两个能全等的三角形中,因此证 AC=BF较困难,于是想到通过添加_精品资料_ 帮助线,把AC、BF转化到一个三角形中；由于AD是中线,所以常采纳倍长中线的方法添加帮助线,再通第 2 页,共 9 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - -

6、 - 学习必备 欢迎下载过全等三角形的证明得到结论,类似于上一题；证明： 延长 AD到 H,使 DH=AD,连结 BH AD是 ABC的中线, BD=DC 又 BDH=CDA,DH=AD BDH CDA BH=CA, H= DAC AE=EF, FAE=AFE 又 AFE=BFD, H=BFD BH=BF, BF=AC 例 5. 如图,在等腰 Rt ABC中, C=90 , D是斜边 AB上任一点, AECD于 E,BFCD交 CD的延长 线于 F,CHAB于 H点,交 AE于 G,求证： BD=CG 分析： 由于 BD与 CG分别在两个三角形中,欲证BD与 CG相等,设法证CGE BDF,由

7、于全等条件不足,所以考虑先证AEC CFB,进而得到证CGE BDF的条件；证明： 在 Rt AEC与 Rt CFB中AC=CB,AECD于 E,BFCD交 CD的延长线于 F, AEC=CFB=90又 ACB=90 , CAE=90 ACE= BCF Rt AECRt CFB, CE=BF 在 Rt BFD和 Rt CEG中, F=GEC=90 , CE=BF FBD=90 FDB=90 CDH=ECG,Rt BFDRt CEG BD=CG 例 6. 已知：如图,ABC中, BAC=120 , AB=3,AC=2, BAC的平分线交BC于 D,求 AD的长；分析：此题图形虽然简洁,但内涵很丰

8、富；由已知条件,可由CAD=60 ；但没有特别三角形,如直角三角形或等边三角形,所以要求们想到要构造平行线,利用比例性质去求；常利用一个公式“ 角平分线 + 平行线 等腰三角形” ；解：法一： 过 D作 AC的平行线交 AB于 E,BAC=120 ,AD平分 BAC得到 BAD= AD的长,只能另想方法；这时我_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AD平分 BAC BAD=CAD=60又 EDA=CAD=60 AED是等边设 AD=x 就 AE=DE=x, BE=3x 又DEBE,x33xF,ACA

9、B2BA的延长线于x6,即AD655法二： 过 C作 AD的平行线交 BAD=CAD=F=ACF=60 ACF是等边三角形；AF=CF=2,BF=3+2=5 _精品资料_ AD CFBA BFAD的延长线于P 第 4 页,共 9 页即AD3,AD6255法三： 过 B 作 AC的平行线,交- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 BAP=CAD=P=60 ABP为等边三角形 设 AD=x 就 DP=3x, BP=3 又 BPD CAD BP ACPD ADAD6BC = 6,AC = 6 3,A30 ,求AB的长；即3 23xxx6,

10、即55例 7. 已知：ABC中,分析： 此题没有给出图形,自己画图时,便要考虑它的特点,题中给出了三角形的两边长及一条边的 对角,因此需要分两种情形争论,分别求解；解： 如下两图,作 CDAB于 D,在 Rt ACD中A = 30 ,AC = 6 33 3CDACsinA1AC2又 BC=6, BCCD 点 D落在 AB边上,或点 D落在 AB的延长线上（1）当 D落在 AB边上时,在 Rt ACD中,A30 ,AC26 3CD1 2AC3 39ADCDAC2在 Rt BCD中DBBC2CD23AB=AD+DB=9+3=12 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 9 页_归纳

11、总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）当点 D落在 AB的延长线上时, AD=9,BD=3 BD936ABADAB的长为 12 或 6；一、填空： 1. 等腰三角形的两条边长分别为 2cm和 5cm,就该等腰三角形的周长为 _； 2. 一个三角形三边的长分别为 8,10, x,就 x 的取值范畴是 _； 3. 如图,ABC中, AB=AC,ADBC于 D,AE=AF,就图中全等三角形共有 _对； 4. 已知,在ABC中, C=80 , A B=20 ,就 B 的度数是 _；二、解答题： 5. 已知：如图,ABC中,点 E,F 分别在 AB,AC边上,点 D是

12、BC边中点,且EF BC, DE=DF,求证：AB=AC； 6. 如图,在ABC中,已知 AB=AC, BAC=90 , D是 BC上一点, ECBC,EC=BD,DF=FE,求证：（1） ABD ACE；（2）AFDE； 7. 如图,在 Rt ABC中, C=90 , M是 AB中点, AM=AN,MN AC,求证： MN=AC；_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 8. 如图,学习必备欢迎下载3 ,求 SABC；ABC中, ADBC于 D, B=60 , C=45 , BC 9. 已知：如图,在Rt ABC中,

13、ACB=90 , AC=BC,D为 BC的中点, CEAD,垂足为点E, BF AC交_精品资料_ CE的延长线于点F,求证： AB垂直平分 DF；第 7 页,共 9 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 参考答案 一、填空题 1. 12cm 2. 2x18 3. 4 4. 40二、解答题： 5. 证明： DE=DF, 1=3 EF BC, 1=2, 3=4 2= 4 在 DBE和 DCF中,DBDC24DEDF DBE DCF B= C, AB=AC 6. （1） AB=AC, ABC=ACB 又 BAC=90 , B= ACB

14、=45又 EC BC, ECB=90 , ECA=45又 BD=CE, ABD ACE （2） ABD ACE, AD=AE 又 DF=FE, AFDE 7. 连结 CM, C=90 , M是 AB的中点,AM=MB=MC, 1=2 MN AC, 2=3 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AM=AN, 3=N, 1=2=3= N 又 4=180 3 N 在 ABC中, 1+2+5=180 5=180 1 2=180 3 N 5= 4, AMN MAC, MN=AC； 8. 设 AD=x, AD=DC=x x331 BD3x , B=60 tanBAD3xx3,BD2SABC1BCAD93 3；244 9. 证明：（简证） CAD+ CDE=90CDE+ DCE=90 , CAD=BCF BF AC, CBF=180 ACB=90 ACD=CBF, AC=BC, ACD CBF CD=BF, BD=BF,BDF为等腰三角形, DBA=CAB=45 , ABF=CAB= DBA=45_精品资料_ AB垂直平分DF；第 9 页,共 9 页- - - - - - -