2022年初中数学定义定理公理公式证明汇编3.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 中学数学定义、定理、公理、公式直线、线段、射线. 已知： RtABC ,C=90七上 p128 1. 过两点有且只有一条直线求证： A+B=90 （简：两点打算一条直线）证明： C=90 , A+B+ C=180七上 p132 2. 两点之间线段最短. A+ B=90 七上 p142 3. 同角或等角的补角相等七下 p75 同角或等角的余角相等. 3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个七下 p4 内角的和 . 4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相七下 p6 邻的内角 . 5. 直线外一点与

2、直线上各点连接的全部线段全等三角形的性质、判定中,垂线段最短. （简：垂线段最短）八上 p3 平行线的判定 七下 p13 1. 全等三角形的对应边、对应角相等. 八上 p9 1. 平行公理经过直线外一点,有且只有一条2. 边角边公理SAS 有两边和它们的夹角对直线与这条直线平行. 应相等的两个三角形全等. 七下 p13 八上 p11 2. 假如两条直线都和第三条直线平行,这两条3.角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对直线也相互平行 （简：平行于同始终线的两直 线平行）七下 p14 应相等的两个三角形全等. 八上 p12 4. 推论 AAS 有两角和其中一角的对边对应3. 同位角相等,两直线

3、平行. 相等的两个三角形全等. 七下 p14 八上 p7 5. 边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个 三角形全等 . 八上 p14 4. 内错角相等,两直线平行. 七下 p15 5. 同旁内角互补,两直线平行. 平行线的性质 七下 p20 6.斜边、直角边公理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 1. 两直线平行,同位角相等. 角的平分线的性质、判定 八上 p20 性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等 . 八上 p21 2. 两直线平行,内错角相等. 3. 两直线平行,同旁内角互补. 三角形三边的关系 七下 p64 1. 三角形两边的和大于第三边、三角形两

4、边的判定：到一个角的两边的距离相同的点,在这差小于第三边 . 三角形角的关系 七下 p73 个角的平分线上. 等腰三角形的性质 八上 p50 1. 三角形内角和定理三角形三个内角的和1. 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个等于 180 .底角相等 即等边对等角 . 2. 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边第 1 页,共 11 页2. 直角三角形的两个锐角互余. _精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 并且垂直于底边 . 八上 p32 已知：ABC 中,AB=AC,AD是 BAC 的角4. 如两个图形的对应点连线被同一条直线垂. 直平

5、分,那么这两个图形关于这条直线对称平分线求证： AD 平分 BC,AD BC. 九上 p64 证明： AB=AC,AD是 BAC 的角平分线5. 关于中心对称的两个图形是全等的. AD 平分 BC,AD BC.（三线合一）关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过八上 p50 对称中心,并且被对称中心平分. 3. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合 . 八上 p54 4. 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60 . 等腰三角形判定八上 p52 1 等腰三角形的判定定理 假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）八上 p54 2.

6、 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 八上 p54 3. 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 . 线段垂直平分线的性质、判定八上 p33 1. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 . 八上 p33 2. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 . 3. 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合 . 轴对称、中心对称、平移、旋转八上 p30 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形八上 p32 八上 p32 2. 假如两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线八上 p33 3. 两个图形关于某直线对称,假

7、如它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上九上 p64 6. 如两个图形的对应点连线都经过某一点 ,并且被这一点平分, 那么这两个图形关于这一点成中心对称 . 九上 p57 p62 7. 平移或旋转前后的图形是不变的 . 中心对称是旋转的特别形式；八下 p65 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a 2+b 2=c 2 . 八下 p73 勾股定理的逆定理 假如三角形的三边长 a、b、c 有关系 a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角八上 p55 直角三角形中,假如一个锐角等于. 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半八下 p95 直角三角形斜

8、边上的中线等于斜边上的一半 . n 边形、四边形的内角和、外角和七下 p82 1. 四边形的内角和等于 360 . 七下 p83 2. 四边形的外角和等于 360七下 p82 3. 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2 ）180. 七下 p83 . 推论 任意多边的外角和等于 360 . 平行四边形性质八下 p84 1. 平行四边形的对角相等 . 八下 p84 2. 平行四边形的对边相等 . 3. 夹在两条平行线间的平行线段相等 . _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 已知：直线a b,线段 AB CD

9、. 设 菱 形 对 角 线 长 为x,y就S菱 形求证： AB=CD. 证明： a b, AB CD ,=4 1/2 x/2 y/2=1/2 xy 所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半四边形 ABDC 是平行四边形 AB=CD A C a 八下 p99 菱形判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形八下 p85 B D b . 2. 四边都相等的四边形是菱形3. 对角线相互垂直的平行四边形是菱形. 八下 p100 4. 平行四边形的对角线相互平分. 正方形性质平行四边形判定1. 正方形的四个角都是直角,四条边都相等. 八下 p83 2. 正方形的两条对角线相等,并且相互垂直平1. 两组对边分别

10、平行的四边形是平行四边形分,每条对角线平分一组对角. 八下 p87 . 正方形判定2. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形八下 p100 八下 p87 . 1. 四个角都是直角, 四条边都相等的四边形是3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形正方形八下 p87 . 2. 对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形 . 4. 对角线相互平分的四边形是平行四边形证明：对角线相互平分平行四边形；八下 p88 对角线相互垂直的平行四边形菱形；5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形对角线相等的平行四边形矩形形；八下 p94 菱形 +矩形正方形矩形性质八下 p107 1. 矩形的四个角都是直角 .

11、等腰梯形性质2. 矩形的对角线相等. 1. 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 矩形判定2. 等腰梯形的两条对角线相等. 八下 p95 ab等腰梯形判定1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 八下 p108 八下 p96 1. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形ABCD中, AD BC,AC=BD. 八下 p96 求证：梯形ABCD 是等腰梯形；3. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 证明：八下 p98 过D点作DEAC交BC延长线与E 点,菱形性质1、菱形的四条边都相等. ADBC2. 菱形的对角线相互垂直

12、,并且每一条对角四边形ACED是平行四边形线平分一组对角. AC=DE,ACB=DEB3、菱形面积 =对角线乘积的一半,即s1BD=AC2证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角BD=DE三角形 , 且菱形对角线相互平分DBC=DEB_精品资料_ DBC=ACBAC=BD,BC=CB第 3 页,共 11 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 . 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l 1 a b ,S=Lh 2已知：梯形 ABCD中,AD BC, EF 是梯形的

13、中位线,设 AD=a,BC=b,EF=l, 梯形高为 h；求证：l 1 a b S=Lh 2证明：连接 AF交 BC延长线与 G点EF 是中位线DF=CF经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必ADBCh平分另一腰 . EG=DAG,D=DCG已知：梯形ABCD中, AD BC EF,其中ADFGCF是 AB 中点；AD=CG= , a AFFG求证： F 是 CD 中点EF是ABG的中位线证明：连接 AC 交 EF 于点 G EFBG,EF=1BG2l1 2ab SABGS 梯形ABCD=1BG2S1Lh AD BC EF 2 AEG ABC E 是 AB 中点AEAG11九下 p36 假如 a

14、:b=c:d ad=bc ABAC2CG1AC2CG同理可证CF CDAC2 F 是 CD 中点 .比例的基本性质 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 . （证法参照上题）八下 p89 相像三角形判定 九下 p42 1. 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 相交,所构成的三角形与原三角形相像 . _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 九下 p46 2. 两角对应相等,两三角形相像 . 九下 p44 3. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像 九下 p43 4. 三边对应成比例,两三角形相像

15、九下 p47 5. 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对已知：ABC 与DEF 是以 O 为位似中心的应成比例,那么这两个直角三角形相像. 位似图形,位似比为1：k 已知： RT ABC 和 RT DEF ,AC 与 DF 为 斜边, AB ： DE=AC ：DF求证：ABC 与DEF 的相像比为1：k ABC 与DEF 是以 O 为位似中心的位求证： RT ABCRT DEF 似图形证明：由勾股定理得：BC= 2 AC -AB2BCEFEF=DE2-EF 2OBCOEFOBOCBC1设 AB： DE=AC ：DF=k AB:AC=DE:DF=k （ AB

16、:AC ）2=（DE:DF ）2=k2 AB2=k2AC2,DE2=k2DF2OE OF理可得 OB, OEOCEF OAk AC 1ODEDkOAAC1OFODFDkBC=AC22-k AC2=2 1-k ACACBABCOA1EF=DF22 2-k DF=2 1-k DFFDEDEFODkABCDEF ,ABC 与DEF 的相像BC:EF=2 1-k AC ：2 1-k DF比为 1：k 圆 九上 p79=AC:DF=AB ：DE 三边对应成比例1. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 九上 p90 2. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半 径. 的点的集合 . 3. 圆的外部可以看作

17、是到圆心的距离大于半 径的点的集合 . 九上 p79 RT ABCRT DEF 相像三角形性质 九下 p52 1. 相像三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比. 2. 相像三角形周长的比等于相像比. 4. 同圆或等圆的半径相等. 3. 相像三角形面积的比等于相像比的平方. 九上 p92 5. 不在同始终线上的三点确定一个圆；垂径定理 九上 p81 1. 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所九下 p59-60 4. 位似图形是相像图形的特别形式；位似比等于相像比；以三角形为例：对的两条弧 . _精品资料_ 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于第 5 页,共 11 页- -

18、 - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 弦,并且平分弦所对的两条弧 . 5. 在同圆或等圆中, 假如两个圆心角、 两条弧、弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么的两条弧 . 它们所对应的其余各组量都相等 . 已知：AB为圆 O的一条弦,以下是等弦推出等弦心距的情形,其他的类似CE垂直平分 AB,垂足为已知： AB,CD为圆 OD 求证： CE是过点 O,的两条等弦 , OEAB, ACBC , AEBEOF CD证明：假设CE不过点 O 求证： OE=OF 连接 OA,OD,OB OA OB AD BD证明：BACDOE

19、AB OFCDODABAE1AB CF1C又CDAB22过点 D 有两条直线与AB 垂直,这与“ 过AECF一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生在 RtOAE和RtOCF冲突,所以假设不成立 CE 是过点 O,即 CE是圆 O的直径依据推论 1,可得 AC BC , AE BE平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,AECFOAOCRtOAERtOCF H并且平分弦所对的另一条弧 . 九上 p85 OEOF已知： O 为圆心, CE 是圆周角定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对直径, ACBC的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆求证： AEBE ,中,相等的圆周角所对的弧

20、也相等. 半圆 （或直径） 所对的圆周角是直角；90CEAB , ADBD的圆周角所对的弦是直径. ACBC九上 p87 假如三角形一边上的中线等于这边的一半, AOC BOC. OA=OB AOB 为等腰三角形,CE 平分它的顶角；从 “三线合肯定理 ”,C E AB , AD BD又 AOE 180 -AOC 180 -BOC 那么这个三角形是直角三角形 . 三角形的外心, 三角形外接圆的圆心,它是三边的中垂线的交点,到三个顶点的距离相等 . 如图, 三种 ABC中, 1l 为 AB 的垂直平分线,2l 为 BC 的垂直平分线,1l 与 2l 交于点 O,连接 OA、OB、OC , BOE

21、. . 1l 是 AB 的垂直平分线,又 2l 是 BC的垂直平分线故 OA OB OC OBOA OBOC AEBE九上 p82 O在 BC的垂直平分线上,即 AC的垂直平分线过点O；3. 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形九上 p83 4. 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等 . 第 6 页,共 11 页_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 四边形 CDOE是矩形,又 OE=OD 九上 p97 三角形的内心, 三角形内切圆的圆心,它是三个内角的平分线的交点,到三边的距离相等 . 矩形 CD

22、OE是正方形, EC=CD=r 由切线长定理可得：BD=BF=a-r AF=AE=b-r AF+BF=c 已知, I 是三角形 ABC中ABC 和ACB的a-r+ b-r=c rab c角平分线的交点求证： AI 平分CAB,I 到三边的距离相等2证明：作九上 p94 直线和圆的位置关系IDBC IEAC,直线 L 和O 相交 d r IFAB直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 d r 九上 p95 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这切线 九上 p96 切线的性质 ：圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切 点 . I是三角形 ABC中ABC 和AC

23、B的角平分线的交点IDIF IDIEIFIE点 I 在CAB的角平分线上,即AI 平分CAB且 IDIFIE已知：直线l 是圆 O 切线, A直角三角形三边为a、b、c,c 为斜边,就为切点, OBl,垂足为 B 外 接 圆 的 半 径Rc； 内 切 圆 的 半 径求证：直线OB 不经过 A 点证明：假设直线 OB 不过 A 点2ra b c 2点直线 l 是圆 O切线, A 为切 OA l又OBl已知例2：如图, Rt ABC, C=90 ,两直角边 a,b,斜边为 c,它的内切圆 O分别与 BC,AC,AB相切于点 D、E、F （ 1）求这个三角形外接圆半径 R和内切圆的过点 O有两条直线

24、 OA和 OB与直线 l 垂直,这与“ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 产生冲突,所以假设不成立半径 r. , 直线 OB 过 A 点解：做出如图帮助线经过切点且垂直于切线的直线必经过圆C=90AB 为外接圆直径 直角三角形的外接 圆的圆心是斜边的中 点外接圆半径 R=c 2（ 2）Rt ABC的内切圆 O分别与 BC,AC,AB相切于点 D、E、F 心. 已知：直线 l 是圆 O切线,A 为切点, AB l ,AB 与 圆 O 交于点 B 求证：直线 AB 过圆心 O AB 不经 证明：假设直线 过圆心 O直线 l 是圆 O切线, A 为切点OAll又ABOEAC ODBC过点 A有

25、两条直线OA和 AB与直线 l 垂直,这_精品资料_ 第 7 页,共 11 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 与“ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂已五边形为例,经过圆的五等分点作圆直” 产生冲突,所以假设不成立直线 AB 过圆心 O 九上 p97 的切线,观看以相邻切线的交点为顶点的五边 形是不是正五边形？已知, PQ、QR、RS、ST切线长定理 .从圆外一点引圆的两条切线,它分别是经过分点A、B、们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角 . 圆和圆的位置关系 假如两个圆相切,那么切点肯定在连心线上 证明： 圆是轴对称图形,

26、过圆心的直线是它的C、D、E 的 O的切线求证： 五边形 PQRST是O的外切正五边形证明：对称轴, 两圆组成的图形也是轴对称图形,连OAOBOE,AOBAOE心线是它的对称轴,假设切点不在连心线上,ABOAEO,ABOBAO,AEOEAO就它关于连心线的对称点也不在连心线上,而ABOBAOAEOEAO是两圆的另一个公共点,这跟两圆相切只有一 PQ、QR、RS、ST 分别是经过分点A、B、C、个公共点冲突,所以切点肯定在连心线上 九上 p100 两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r dR+rRr 两圆内切 d=R-rR r D、E的 O的切线OAPTOAP= OAT O

27、AP- OAB= OAT- OAE即PAB=TAE两圆内含dR-rR r PAPB TATE正多边形和圆 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆 的内接正 n 边形 nn 3: 以五边形为例PABPBA ,TAETEAPABPBATAETEAABAEPABTAE ASA 已知：圆 O中, ABBCCDDEEAPAPBTATE,PT求证：五边形ABCDE是同理, RC=CQ=QB=BP,ES=SD=DR=RC,O的内接正五边形T=S= R=QPABBCPAPBTATERC=CQ=QB=ES=SD=DRPQQRRSSTTPCDDEEA五边形 PQRST是 O的外切正五边形ABBCCDDE定理任何正多

28、边形都有一个外接圆和一个内EA BCECDA3AB切圆,这两个圆是同心圆. 以五边形为例AB证明：假如正五边形ABCDE 有外接圆, 就 A、同理 B C D E又,五边形 ABCDE 的顶点都在圆O 上,B、C、D、E 五点应都在同一个圆上,且它们 到圆心的距离相等 不在同始终线上的三点确五边形 ABCDE是圆 O的内接正五边形；定一个圆,不妨过正五边形ABCDE 的顶点 A、经过各分点作圆的切线,以相邻切线B、C 作 O,连结 OA 、OB、OC、OD、OE就的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正nOA=OB=OC ；边形；_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 11 页_归

29、纳总结汇总_ - - - - - - - - - 成十个全等的直角三角形 . 证明：正五边形 ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距 OAB ODC OPAE OTABp4）PA1AE AT1AB22AEABPAAT OPOT（弦等推出弦心距等证明参见在OPA 和OAT 中PAATOPOTABCDE 有一个外接圆 O既然正五边形有一个外接O,那么正五边形的五条边也就应是O 的五条等弦依据弦等、弦心距相等,证明参见 p4,可知点 O 到五边的距离等 以该弦心距为半径作圆,可得该圆与各边都相切,所以同样,正 n 边形也应有一个内切 O,且两圆同心OPA OAT HL 在 O

30、PA 和 OPE 中OA OTOP OPOPA OPE HL OPA OAT OPE同理其他直角三角形也全等,每条边和圆心以及对应半径一共组成 5 个三角形,每个三角形可以分割成两个直角三角形,所以一共有 10个全等的直角三角形；定理正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分正三角形面积s3 a 42, a 表示边长 . 成 2n 个全等的直角三角形. 已知,正ABC 边以五边形为例长为 a 求证：正三角形面积s3 a 42ADBC证明：作于 D,正 ABC 边长 a 已知： 正五边形 ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距求证：正五边形的半径和边心距把正五边形分_精品资

31、料_ - - - - - - -第 9 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ABACBCaa2a23a八上 p30 k0,y 随 x 的增大而增大1 2BCaBDk0,y 随 x 的增大而增大 , 直线 y=kx 经过（0,0）,（ 1,k）, 经过第一、三象限k0,双曲线在第一、三象限,在每个象限内,随 x 的增大而削减 . k0 方程有两个不等的实根 . b 2-4ac0 抛物线与 x 轴有两个交点b 2-4ac0 抛物线与 x 轴有没有公共点 . 证明：由一 元二次方程 ax 2+bx+c=0 根的判别式与以下三条即可推出八上 p27 抛物线与 x 轴只

32、有一个公共点. 方程有两个相等的实根 . 第 10 页,共 11 页一次函数 y=kx+b （k 0）_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 方程有两个不等的实根方程有两个不等中位数： 把一列数从大到小 （或从小到大） 排的实根 . 列,如有奇数个数, 中间一个为中位数,如有22 x 方程没有实根方程没有实根 . 偶数个数,中间两个的平均数为中位数. 八下 p139 九下 p3 （2）方差公式： 抛物线的一般式： y=ax2+bx+c； （a 0）九下 p9 2 s1 nx 12 x x 22 x x n2 x 抛物线的顶点式：y=a（x-

33、h ）2+k；五个连续整数的方差是2,标准差为2 . 顶点（ h, k）,对称轴为直线xbh证明：设这五个连续的整数n-2,n-1,n,n+1,n+2 2a平均数为 x九下 p23 最大（小）值为4acab2（左同右异）xn2n1nn1n25 nn455抛物线的两根式： y=a （x-x 1）（ x-x 2）2 s1 n522 x n12 x n x 2 n1x 2 ny2 axbxc1 n522 n n12 n n n 2 n1n 2 n22 n a x 2bxcaa1 2 251 21 0 12 2 2 a xx 1x xx x 22 a xx x 1x x 1 2x x 21 10 2 5a x xx 1x x 2x 1）a xx 1xx 2常见的勾股数（整数）3, 4,5； 6,8,10；5,12,13; 8,15,17, 9,40, 41 等；常见的无理数；,23 ,等等2 1.414 3 1.732 5 2.236九下 p79 锐角三角函数sin0304560900 1231 222cos1 30 21222tan0 3/ 31 3七上 p46 有效数字： 从左边第一个不是 0 的数起, 到最后一个数止； 如 0.03120 有效数字为 3、1、2、0 共 4 个有效数字；八下 p130 _精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 11 页