2022年全等三角形问题中常见的种辅助线的作法.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 全等三角形问题中常见的帮助线的作法 有答案 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线；角平分线平行线,等腰三角形来添；线段垂直平分线,常向两端把线连；三角形中两中点,连接就成中位线；1. 等腰三角形“ 三线合一” 法：合一” 的性质解题也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线加垂线,三线合一试试看；要证线段倍与半,延长缩短可试验；三角形中有中线,延长中线等中线；遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线2. 倍长中线： 倍长中线,使延长线段与

2、原中线长相等,构造全等三角形 3. 角平分线在三种添帮助线 4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“ 截长法” 或“ 补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成 30-60-90 的特别直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角；从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件；8. 运算数值法： 遇到等腰直角三角形,正方形时,或 30-60

3、-90 的特别直角三角形,或40-60-80 的特别直角三角形 , 常运算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件；常见帮助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等；1 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线合一” 的性质解题,思维模式是全等变- 1 - _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 换中的“ 对折” 法构造全等三角形2 遇到三角形的中线,倍长中线, 使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,

4、利用的思维模式是全等变换中的“ 旋转”法构造全等三角形3 遇到角平分线在三种添帮助线的方法,（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”,所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形；（ 3）可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形；4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“ 平移” 或“ 翻转折叠”5截长法与补短法, 详细做法是在某条线段上截取一条线段与

5、特定线段相等,或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形；特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时,接起来,利用三角形面积的学问解答一、倍长中线（线段）造全等常把某点到原三角形各顶点的线段连例 1、（“ 期望杯”试题）已知,如图 ABC中,AB=5,AC=3,就中线 AD的取值范畴是 _. ABDC例 2、如图,ABC中, E、F 分别在 AB、AC上, DEDF,D是中点,试比较BE+CF与 EF 的大小 .

6、 AEFBDC- 2 - _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 3、如图,ABC中, BD=DC=AC,E 是 DC的中点,求证：AD平分 BAE. ABDEC应用：Rt1、（ 09崇文二模）以ABC 的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD 和等腰ACE ,BADCAE90 ,连接 DE,M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图 当 ABC为直角三角形时,AM 与DE的位置关系是,线段 AM与DE的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆

7、时针方向旋转 0 AD+AE. ABDEC四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60 , ABC的角平分线AD,CE相交于点 O,求证： OE=OD AEO2、如图,BDCABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC,DEAB于 E,DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）假如 AB=a ,AC=b ,求 AE、BE的长 . ABEGCFD- 6 - _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 应用：1、如图, OP 是 MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴

8、的全等三角形；请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：（1）如图, 在 ABC 中,ACB 是直角, B=60 ,AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线, AD、CE 相交于点 F；请你判定并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图,在ABC 中,假如 ACB 不是直角,而 1中的其它条件不变,请问,你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如不成立,请说明理由；B M B O P E F D E F D 图 N A 图 C A 图 C 第 23 题图 五、旋转例 1 正方形 ABCD中,E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF,求 EAF的度数

9、. A DFBEC例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点, DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F ；（1）当MDN 绕点 D转动时,求证DE=DF；B（2）如 AB=2,求四边形DECF的面积；AEMCFAN- 7 - _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 3 如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且BDC1200,以 D为顶点做一个0 60 角,使其两边分别交AB于点 M,交 AC于点 N,连接 MN,就AMN的周长为；AMNB CD应用：1 、 已 知 四

10、 边 形 ABCD 中 , AB AD , BC CD , AB BC ,ABC 120 o,MBN 60 o,MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD,DC（或它们的延长线）于 E,F当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1）,易证 AE CF EF 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时,在图 2 和图 3 这两种情形下,上述结论是否成立？如成立,请赐予证明；如不成立,线段 AE,CF, EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明BAMBAMADEMEEBCFNDCFNDFCN（图 1）（图 2）（图 3）- 8 - _精品资料_ - - - - - - -第

11、8 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2、（西城 09 年一模） 已知 :PA=2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD,使 P、D两点落在直线 AB的两侧 .1 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; 2 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3、在等边 ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N,D 为 V ABC 外一点,且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的

12、数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1,当点 M 、N 边 AB 、AC 上,且 DM=DN关系是； 此时Q；L时, BM 、NC 、MN 之间的数量（II）如图 2,点 M 、N 边 AB 、AC 上,且当 DM DN 时,猜想（ I）问的两个结论仍 成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3,当 M 、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时,如 AN= x ,就 Q= （用 x 、L 表示）- 9 - _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - -

13、 - - 参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“ 期望杯”试题）已知,如图 ABC中,AB=5,AC=3,就中线 AD的取值范畴是 _. 解：延长 AD至 E 使 AE 2AD,连 BE,由三角形性质知AAB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范畴是 1AD4 B D C例 2、如图,ABC中, E、F 分别在 AB、AC上, DEDF,D是中点,试比较 BE+CF与 EF 的大小 . A解： 倍长中线 , 等腰三角形“ 三线合一” 法 延长 FD至 G使 FG2EF,连 BG,EG, E明显 BGFC,F在 EFG中,留意到 DEDF,由等腰三角形的三线合一知 B D CE

14、G EF 在 BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图,ABC中, BD=DC=AC,E 是 DC的中点,求证：AD平分 BAE. ABDEC解：延长 AE至 G使 AG 2AE,连 BG,DG, 明显 DGAC,GDC=ACD 由于 DC=AC,故ADC=DAC 在 ADB与 ADG中,- 10 - _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - BDAC=DG,AD AD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADG 故 ADB ADG,故有 BAD=DAG,即 AD平分 BAE 应

15、用：Rt1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABCRtABD 和 等 腰ACE ,BADCAE90 ,连接 DE,M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图 当 ABC为直角三角形时,AM 与DE的位置关系是,线段 AM与DE的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转 0 90 后,如图所示,（ 1）问中得到的两个结论是否发生转变？并说明理由解：（1）ED2AM,AMED；证明：延长AM 到 G,使MGAM,连 BG,就 ABGC 是平行四边形N H E ACBG,ABGBAC180D 又DAEBAC

16、180ABGDAE再证：DAEABGA C DE2AM,BAGEDA延长 MN 交 DE 于 H B M BAGDAH90HDADAH90GAMED（2）结论仍旧成立证明：如图,延长CA 至 F,使ACFA,FA 交 DE 于点 P,并连接 BFDABA,EAAF- 11 - _精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - BAF90DAFEAD在FAB 和EAD 中90D FN C E FAAEBAFEADP BADAA FABEAD（SAS）B BFDE,FAENM FPDFAPEAENFBDE又CAAF,CMMBAM

17、 /FB,且AM1FB2AMDE,AM1DE2二、截长补短1、如图,ABC 中, AB=2AC,AD平分 BAC ,且 AD=BD,求证： CDAC 解：（截长法）在 AB上取中点 F,连 FD ADB是等腰三角形,F 是底 AB中点,由三线合一知DF AB,故 AFD90 ADF ADC（SAS）ACD AFD90 即： CDAC 2、如图, AD BC,EA,EB分别平分 DAB,CBA,CD过点 E,AD求 证 ;AB AD+BC E- 12 - _精品资料_ BC第 12 页,共 24 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：（截长法）在

18、AB上取点 F,使 AFAD,连 FE ADE AFE（SAS）ADE AFE,ADE+BCE180AFE+BFE180故 ECB EFB FBE CBE（AAS）故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC 3、如图,已知在ABC内,BAC600,C400,P,Q分别在 BC, CA上,并且 AP,BQ分别是BAC ,ABC 的角平分线；求证：BQ+AQ=AB+BP BPA解：（补短法 , 运算数值法）延长AB至 D,使 BD BP,连 DP Q在等腰BPD中,可得 BDP40从而 BDP 40 ACP ADP ACP（ASA）故 ADAC 又 QBC40 QCB 故 BQ QC BD BP C从

19、而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD,BD平分ABC,AD求证：AC1800解：（补短法）延长BA至 F,使 BFBC,连 FD BDF BDC（SAS）故 DFB DCB ,FDDC 又 ADCD _精品资料_ - 13 - BC第 13 页,共 24 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 故在等腰BFD中DFB DAF 故有 BAD+BCD1805、如图在ABC中, ABAC, 1 2,P 为 AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC A1 2P解：（补短法）延长AC至 F,使 AFAB,连 PD

20、BDC ABP AFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知PB PCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=例 2 如图,在ABC的边上取两点D、E,且 BD=CE,求证： AB+ACAD+AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, - 15 - _精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - DM=EM, DMN EMASAS, DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,就 BN

21、+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE ；四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60 , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证： OE=OD,A DC+AE =AC证明 角平分线在三种添帮助线 , 运算数值法 B=60 度, 就 BAC+BCA=120 度; EO AD,CE 均为角平分线 , 就 OAC+ OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. BDC在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE= OAF .就OAE OA

22、FSAS,OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 就 COF=AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF. 故 OCD OCFSAS,OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图,ABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC,DEAB于 E,DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）假如 AB=a ,AC=b ,求 AE、BE的长 . 解： 垂直平分线联结线段两端 连接 BD,DC BEGACDG垂直平分 BC,故 BD DC 由于 AD平分 BAC, DE AB于 E,DFAC于 F,故有ED

23、DF DF故 RT DBERT DFC（HL）故有 BECF；- 16 - _精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - AB+AC2AE AE（ a+b） /2 BE=a-b/2 应用：1、如图, OP 是 MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形；请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：（1）如图, 在 ABC 中,ACB 是直角, B=60 ,AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线, AD、CE 相交于点 F；请你判定并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图,在A

24、BC 中,假如 ACB 不是直角,而 1中的其它条件不变,请问,你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如不成立,请说明理由；B M B O P E F D E F D 图 N A 图 C A 图 C 第 23 题图 解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FEFD_精品资料_ （2）答：（1）中的结论FEFD仍旧成立；B C 第 17 页,共 24 页证法一： 如图 1,在 AC 上截取AGAE,连结 FG 12,AF 为公共边,AEFAGFAFEAFG,FEFGB60, AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线2360E F D AFECFDAFG60CFG6034及 FC 为公

25、共边1 4 CFGCFD2 3 FGFDA G 图 1 FEFD证法二： 如图 2,过点 F 分别作FGAB于点 G,FHBC于点 H B60, AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线B 可得2360,F 是ABC 的内心E G F D GEF601,FHFGH 又HDFB11 4 - 17 - A 2 图 2 3 C - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - GEFHDF可证EGFDHFFEFD五、旋转例 1 正方形 ABCD中,E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF,求 EAF的度数 . 证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺

26、时针旋转 90 度,至三角形ADFABG 就 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ,AF=AG ,所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF= GAE= BAE+GAB= BAE+ DAF BEC又 EAF+BAE+ DAF=90 所以 EAF=45 度例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点, DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F ；1 当 MDN 绕点 D转动时,求证 DE=DF；2 如 AB=2,求四边形 DECF的面积；解： 运算数值法 （1）连接 DC,D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点,故有 CDAB,CDDA CD平分 BCA

27、90 , ECD DCA 45由于 DMDN,有 EDN 90由于 CDAB,有 CDA 90从而 CDE FDA故有 CDE ADF（ASA）故有 DE=DF （2）S ABC=2, S 四 DECF= S ACD=1- 18 - _精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 3 如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且BDC1200,以 D为顶点做一个0 60 角,使其两边分别交AB于点 M,交 AC于点 N,连接 MN,就AMN的周长为；, 运算数值法 AC 的延长线与BD 的延长线交

28、解： 图形补全法 , “ 截长法” 或“ 补短法”于点 F,在线段 CF 上取点 E,使 CEBM ABC 为等边三角形,BCD 为等腰三角形,且BDC=120, MBD= MBC+ DBC=60+30 =90 ,DCE=180-ACD=180-ABD=90,又 BM=CE ,BD=CD , CDE BDM , CDE= BDM , DE=DM ,NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120-60 =60 ,在 DMN 和 DEN 中,DM=DE MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ,MN=NE 在 DMA 和 DEF 中,DM=DE MDA=60

29、- MDB=60- CDE=EDF CDE= BDM DAM= DFE=30 DMN DEN AAS ,MA=FE AMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6- 19 - _精品资料_ - - - - - - -第 19 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 应用：1 、 已 知 四 边 形 ABCD 中 , AB AD , BC CD , AB BC ,ABC 120 o,MBN 60 o,MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD,DC（或它们的延长线）于 E,F当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1）,易证 AE CF

30、EF 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF时,在图 2 和图 3 这两种情形下,上述结论是否成立？如成立,请赐予证明；如不成立,线段 AE,CF, EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明AAMAECFADEMBEMBEBCFNDCFNDFCN（图 1）（图 2）,（图 3）解：（1）ABAD,BCCD,ABBCABECBF（SAS）；ABECBF,BEBFABC120,MBN60ABECBF30,BEF 为等边三角形BEEFBF,CFAE1BE2AECFBEEF（2）图 2 成立,图 3 不成立；证明图 2,延长 DC 至点 K,使CKAE,连接 BKK B A E M 就BAE

31、BCKBEBK,ABEKBCFBE60,ABC120FBCABE60C F N D FBCKBC60KBFFBE60图 2 - 20 - _精品资料_ - - - - - - -第 20 页,共 24 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - KBFEBFKF EFKC CF EF即 AE CF EF图 3 不成立, AE、CF、EF 的关系是 AE CF EF2、（西城 09 年一模） 已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、D两点落在直线 AB的两侧 .1 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; 2 当 APB变化 ,

32、 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 分析：（1）作帮助线, 过点 A 作 AE PB 于点 E,在 Rt PAE中,已知 APE , AP 的值,依据三角函数可将 AE,PE 的值求出,由 PB 的值,可求 BE 的值,在 Rt ABE 中,依据勾股定理可将 AB 的值求出； 求 PD 的值有两种解法, 解法一：可将 PAD绕点 A 顺时针旋转 90 得到 P AB,可得 PAD P AB,求PD 长即为求 P B 的长,在 Rt AP P 中,可将 P P 的值求出,在 Rt P P B 中,依据勾股定理可将 P B 的值求出；解法二：过点 P 作 AB 的

33、平行线,与 DA 的延长线交于 F,交 PB 于 G,在 Rt AEG 中,可求出 AG ,EG 的长,进而可知 PG 的值,在 Rt PFG 中,可求出 PF,在Rt PDF 中,依据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将 PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 ,得到 P AB,PD 的最大值即为 P B 的最大值,故当 P 、P、B 三点共线时,P B 取得最大值,依据 P B P P PB 可求 P B 的最大值,此时 APB 180 AP P 135解：（1）如图,作 AE PB 于点 E D Rt PAE 中,APB 45,PA 22 C AE PE 212A PB 4BE PB PE 3 P E B 在 Rt ABE 中,AEB 90AB AE 2BE 2 10解法一： 如图,由于四边形 ABCD 为正方形, 可将将 PAD 绕点 A 顺时针旋