2022年二次函数中的存在性问题 .docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数中的存在性问题（讲义）一、学问点睛解决“ 二次函数中存在性问题” 的基本步骤：_争论确定图形,先画图解决其中一种情形_.先验证的结果是否合理, 再找其他分类, 类比第一种情形求解_.结合点的运动范畴,画图或推理,对结果取舍二、精讲精练1. 如图,已知点 P 是二次函数 y=- x 2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点, 将直线 y=- 2x 沿 y 轴向上平移,分别交x 轴、y 轴于 A、B 两点 . 如以 AB 为直角边的 PAB 与 OAB 相像,恳求出全部符合条件的点P 的坐标yByBOAxOAxyx

2、yxOOyxyxOO2.抛物线y1x123与 y 轴交于点 A,顶点为 B,对称轴 BC 与 x 轴交于4点 C点 P 在抛物线上,直线PQ/BC 交 x 轴于点 Q,连接 BQ（1）如含 45角的直角三角板如下列图放置,其中一个顶点与点 C 重合,直角顶点 D 在 BQ 上,另一个顶点E 在 PQ 上,求直线 BQ 的函数解析式；_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）如含 30角的直角三角板的一个顶点与点C 重合,直角顶点 D 在直线 BQ上（点 D 不与点 Q 重合）,另一个顶点 E 在

3、 PQ 上,求点 P 的坐标yABEDPOCQxyABxOCyABxOC3. 如图,矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上,且 OD10,OB8将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转,使点 C 恰好与 x 轴上的 点 A 重合（1）如抛物线y1x 2bxc经过A、B 两点,就该抛物线的解析式为3_；（2）如点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点,作MNx 轴于点 N是否存在点 M,使 AMN 与 ACD 相像？如存在, 求出点 M 的坐标； 如不存在,说明理由_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - -

4、 - - - - - 学习必备 欢迎下载yOADxBCyOADxBC4.已知抛物线y x22x3经过 A、B、C 三点,点 P（1,k）在直线 BC：y=x3上,如点 M 在 x 轴上,点 N 在抛物线上,是否存在以 A、M、N、P 为顶点的四边形为平行四边形？如存在,由y恳求出点 M 的坐标；如不存在, 请说明理AOBxPC_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yAOBxPC5.抛物线y1x2x2与 y 轴交于点 C,与直线 y=x 交于 A- 2,- 2 、B 2,22 两点如图,线段MN 在

5、直线 AB 上移动,且MN2,如点 M 的横坐标为 m,过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P,过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q以 P、M、Q、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？如能,恳求出 m 的值；如不能,请说明理由_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yB NAMOxCyBAOxC三、回忆与摸索_ _ _ 【参考答案】一、 学问点睛 画图分析分类争论验证取舍二、 精讲精练1.解： 由题意,设 OA=m,就 OB=2m；当 BAP=90 时, BAP AOB 或 BAP

6、BOA； 如 BAP AOB,如图 1,_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yB POAMx图1可知 PMA AOB,相像比为 2：1；就 P1（5m,2m）,代入yx23x,可知m13,1P13,2625525 如 BAP BOA,如图 2,yBPOAMx图 2可知 PMA AOB,相像比为 1：2；就 P2（2m,m ）,2代入yx23x,可知m11,2P11,118416当 ABP=90 时, ABP AOB 或 ABP BOA； 如 ABP AOB,如图 3,_精品资料_ - - - -

7、 - - -第 6 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yM P BOA图 3x可知 PMB BOA,相像比为 2：1；就 P3（4m,4m）,代入yx23x,可知m1,P 32 ,2 2 如 ABP BOA,如图 4,yM BPOA图 4x5m）,可知 PMB BOA,相像比为 1：2；就 P4（m,2代入yx23x,可知m1,P 41 5 ,2 423可得 B 点坐标（ 1,3）. 22.解：（1）由抛物线解析式11yx4要求直线 BQ 的函数解析式,只需求得点Q 坐标即可,即求 CQ 长度 . 过点 D 作 DGx 轴于点 G,过点 D

8、 作 DF QP 于点 F. _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yABFDEPOCGQx就可证 DCG DEF.就 DG=DF,矩形 DGQF 为正方形 . 就 DQG=45,就 BCQ 为等腰直角三角形 . CQ=BC=3,此时, Q 点坐标为（ 4,0）可得 BQ 解析式为 y=x+4. （2）要求 P 点坐标,只需求得点 Q 坐标,然后依据横坐标相同来求点 P 坐标即 可. 而题目当中没有说明 DCE=30仍是 DCE=60,所以分两种情形来争论 . 当 DCE=30时,a）过点 D 作

9、 DHx 轴于点 H,过点 D 作 DKQP 于点 K. yABKPDCx3,DEOCHQ就可证 DCH DEK.就DH DKDE在矩形 DHQK 中, DK=HQ,就DH3. HQ在 Rt DHQ 中, DQC=60. 就在 Rt BCQ 中,_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - BC3学习必备欢迎下载CQCQ=3 ,此时, Q 点坐标为（ 1+3 ,0）. 就 P 点横坐标为 1+3 .代入y1x123可得纵坐标 . 4P（1+3 , 9 4）. b）又 P、Q 为动点,可能PQ 在对称轴左侧,与上一种情形关于

10、对称轴对称yPADBx）KCEQOH由对称性可得此时点3 ,9 4P 坐标为（ 1 当 DCE=60时,a 过点 D 作 DMx 轴于点 M,过点 D 作 DNQP 于点 N. yABDNQOCMxEP_精品资料_ 就可证 DCM DEN.就DMDC1,第 9 页,共 35 页DNDE3- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在矩形 DMQN 中,DN=MQ,就DM1. MQ3在 Rt DMQ 中, DQM=30. 就在 Rt BCQ 中,BC1. CQ3CQ=3 BC=3 3,此时, Q 点坐标为（ 1+3 3 ,0）就 P 点横坐标

11、为 1+3 3 .代入y1x123可得纵坐标 . 4P（1+3 3 ,154）. b）又 P、Q 为动点,可能PQ 在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称yNABDQMOCxEP由对称性可得此时点P 坐标为（ 1 3 3 ,154）,（1+ 3 3 ,15）或（ 1综上所述, P 点坐标为（ 1+3 ,9 4）,（ 13 ,9 443 3 ,154）. 3解：（1） AB=BC=10,OB=8 在 Rt OAB 中,OA=6 A（6,0）_精品资料_ 将 A（6,0）,B（0,- 8）代入抛物线表达式,得,y1x210x8第 10 页,共 35 页33- - - - - - -_归纳总结汇总

12、_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）存在：假如 AMN 与 ACD 相像,就MN1或MN AN2AN2设 M m ,1m210m8 （0m6）331 所示：1） 假设点 M 在 x 轴下方的抛物线上,如图yONADxMB C 图1当MN1时,1m 2610 3m81,即1m66 m4 133AN2m2m2m52M5,724如图 2 验证一下：yONADxMB C 图 2_精品资料_ 当MN2时,1m 2610 3m82,即1m66 m4 2第 11 页,共 35 页33ANmm- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - m2（舍）

13、学习必备欢迎下载2）假如点 M 在 x 轴上方的抛物线上：当MN1时,1m 210m81,即1 3m66 m4 133 mAN26m22m112M 11,124110m82,即1m66 m4 2此时MN1,AN42MN1AN2 AMN ACDm 2M 11,1满意要求24当MN2时,133 m3AN6mm=10（舍）综上 M1 5,7,M2 11,1136,0M236,0M3 12,0M4 12,024244.解：满意条件坐标为：M思路分析： A、M、N、P 四点中点 A、点 P 为顶点,就 AP 可为平行四边形边、对角线；1如图,当 AP 为平行四边形边时,平移 AP；点 A、P 纵坐标差为

14、 2 点 M、N 纵坐标差为 2；_精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点 M 的纵坐标为 0 点 N 的纵坐标为 2 或- 2 当点 N 的纵坐标为 2 时解：x22x32得x16又点 A、P 横坐标差为 2 点 M 的坐标为：M136,0、M236,0当点 N 的纵坐标为 -2 时解：x22x32得x12又点 A、P 横坐标差为 2 点 M 的坐标为：M3 12,0、M4 12,02当 AP 为平行四边形边对角线时；设 M5（m,0）MN 肯定过 AP 的中点（ 0,- 1）就 N5（- m

15、,- 2）N5 在抛物线上_精品资料_ m212m32第 13 页,共 35 页mm2（负值不符合题意,舍去）12- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - M5 12,0学习必备欢迎下载综上所述 : 符合条件点 P 的坐标为：M136,0M236,0M3 12,0M4 12,05解：分析题意,可得： MP NQ,如以 P、M、N、Q 为顶点的四边形为平行四边形,只需 MP=NQ 即可由题知：M m m , P m,0, N m1,m1,Q m1,1m2 1 +m122故只需表达 MP、NQ 即可.表达分以下四种情形：yPQOBxANM图1yBPNOxMA

16、Q图2_精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yOMNQBxPA图3yQOM BNxPA图4_精品资料_ 如图 1, PMm ,QN1 2m122,令 PM=QN,第 15 页,共 35 页解得：m1=2+7（舍去）,m2=27；如图 2, PMm ,QN1 2m2 1 +2,令 PM=QN,解得：m1=3（舍去）,m1=3；如图 3, PMm,QN1 2m2 1 +2,令 PM=QN,- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解得：m1=2+7,学习必备欢迎

17、下载（舍去）；m2=27如图 4, PMm,QN1 2m2 12,令 PM=QN,、m4=3解得：m1=3,m1=3（舍去）；综上, m 的值为m1=27、m2=3、m3=2+7二次函数中的存在性问题（每日一题）1. 如图,在矩形 OABC 中,AO=10,AB=8,沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC,使点B 落在 OA 边上的点 E 处分别以 OC,OA 所在的直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系,抛物线yax2bxc经过 O,D,C 三点（1）求 AD 的长及抛物线的解析式；（2）点 N 在抛物线对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点 N,使以 M,N,C,E

18、 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,请求出点 M 与点 N 的坐标；如不存在,请说明理由yADBEOCx2.在平面直角坐标系中, 二次函数yax2bx2的图象与 x 轴交于 A（- 3,0）,B（1,0）两点,与 y 轴交于点 C（1）求这个二次函数的解析式；_精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）点 M 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点 Q,使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,恳求出点 Q 的坐标；如不存 在,请说明理由yCAOBx3. 如图,抛物线与 x 轴

19、交于 A（- 1,0）,B（3,0）两点,与 y 轴交于点 C（0,- 3）,设 抛物线的顶点为 D（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标；（2）以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？请证明你的结论（3）探究坐标轴上是否存在点 BCD 相像？如存在,恳求出点P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与 P 的坐标；如不存在,请说明理由yAOBxCD4.如图,已知抛物线经过A（- 2,0）,B（- 3,3）及原点 O,顶点为 C（1）求抛物线的解析式；_精品资料_ （2）如点 D 在抛物线上,点 E 在抛物线的对称轴上,且以A、O、D、第 17 页,共 35 页- - - - - - -

20、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载E 为顶点的四边形是平行四边形,求出点 D 的坐标；（3）P 是 y 轴左侧抛物线上的动点,过P 作 PMx 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 P、M、A 为顶点的三角形与 BOC 相像？如存在,恳求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由yBPAOxC【参考答案】【1】解：（1）在矩形 ABCD 中,BC=AO=10,OC=AB=8, 由折叠可知： CE=BC=10,DE=BD 在 Rt EOC 中,由勾股定理可得 EO=6,AE=4,设 AD=x,就 DE=8- x在 Rt ADE 中由勾股定理得 4 2+x 2=

21、（8- x）2,x=3,就 D（3,10）,AD=3将 O（0,0）,D（3,10）,C（8,0）代入yax2bxc,得y2x216x33（2）存在；理由：当 EC 为平行四边形的边时,就 MN EC,MN=EC 由 E（0,6）,C（8,6）可知 E、C 之间的水平距离为 8,M、N 之间的水平距离也是 8 点 N 在抛物线对称轴直线 x=4 上,如 M 在对称轴左侧,就M 的横坐标为 - 4,代入抛物线可得 M1（- 4,- 32）_精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载N1（4,- 38）如

22、 M 在对称轴右侧,就M 的横坐标为 12,代入抛物线可得M2（12,- 32）N2（4,- 26）当 EC 为平行四边形对角线时,MN 过 EC 的中点（ 4,3）N 在直线 x=4 上,直线 MN 与直线 x=4 重合, M3（4,32 3）N3（4,14）3综上所述： M、N 的坐标为：M1（- 4,- 32）,N1（4,- 38）；M2（12,- 32）,N2（4,- 26）；M3（4,32 3）,N3（4,14）y2 axbx2,可得：y2x24x23【2】解：（1）将 A（- 3,0）,B（1,0）代入33（2）存在；理由：当 AC 为平行四边形的边时：MQ AC 如 M 在 x

23、轴上方,就 MC QA,MC=QA 由 C（0,2）可知点 M 的纵坐标为 2,代入抛物线解析式得 M 1（- 2,2）QA=MC=2 由 A（- 3,0）知 Q1（- 5,0）如 M 在 x 轴下方,就四边形 MACQ 为平行四边形,就 C 与 M 到 x 轴的距离相等,由 C（0,2）知 M 的纵坐标为 - 2,_精品资料_ 代入抛物线解析式得M 2（17 ,- 2）,M 3（1+ 7 ,- 2）第 19 页,共 35 页Q2（ 27 ,0）,Q3（ 2+ 7 ,0）- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yQ1AM1Q2OCBQ3

24、xM 2M 33,1）当 AC 为平行四边形的对角线时,MQ 过 AC 的中点（2M 在 x 轴上方, MC AQM（- 2,2）由 MQ 中点（3,1）可得 Q4（- 1,0）2yAM4Q4OCBx综上所述： Q1（- 5,0）；Q2（ 27 ,0）；Q3（ 2+7 ,0）；Q4（- 1,0）x3【3】（1）由 A（1,0）,B（3,0）,C（0,3）可得解析式：yx22顶点 D（1,- 4）（2）以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形,理由如下：过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F在 Rt BOC 中, OB=3,OC=3,BC=3 2 ,在 Rt CDF 中,

25、DF=1,CF=OF- OC=4- 3=1,CD= 2 ,在 Rt BDE 中, DE=4,BE=OB- OE=3- 1=2, BD= 2 5 ,_精品资料_ - - - - - - -第 20 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - BC 2+CD2=BD学习必备欢迎下载2,故 BCD 为直角三角形yAOEBxCFD（3）存在；理由：连接 AC,就易证 Rt AOCRt DCB, CDB=OAC, DBC=ACO 当 P 在 x 轴上时,如 APC=90,就 PCx 轴, P 与 O 重合,此时 Rt APCRt DCB,符合 题意, P1（0,0）如 ACP=

26、90, CDB=OAC,易证 Rt APCRt DCB,符合题意,Rt AOCRt ACP,AO OCOC,OP=9, P2（9,0）OP 当 P 在 y 轴上时,如 APC=90,P 与 O 重合,如 PAC=90, DBC=ACO,易证 Rt DCBRt PAC,符合题意_精品资料_ 易证 Rt POARt AOC,AO OCOP, OP=1 3,P3（0,1 3）第 21 页,共 35 页AO综上所述符合条件的P 点有三个： P1（0,0）,P2（9,0）,P3（0,1 3- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yAP3BP2xO

27、CD【4】（1）由 A（2,0）,B（- 3,3）,O（0,0）可得解析式：yx 2 +2x（2）当 AO 为平行四边形的边时, DE AO,DE=AO,由 A（- 2,0）知 DE=AO=2,如 D 在对称轴直线 x=- 1 左侧,就 D 横坐标为 - 3,代入抛物线解析式得 D1（- 3,3）如 D 在对称轴直线 x=- 1 右侧,就 D 横坐标为 1,代入抛物线解析式得 D2（1,3）当 AO 为平行四边形对角线时,DE 过 AO 中点（ - 1,0）,E 在直线 x=- 1 上,直线 DE 与对称轴重合,D3（- 1,- 1）综上所述：符合条件的 D 有三个：D1（- 3,3）D2（1

28、,3）D3（- 1,- 1）_精品资料_ - - - - - - -第 22 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yD1E D2BAOxCD3（3）存在,如图： B（- 3,3）, C（- 1,- 1）,依据勾股定理得：BO 2=18,CO 2=2,BC 2=20,BO 2+CO 2=BC 2 BOC 是直角三角形且BO3. CO设 P（m,m 2 +2m ）当 P 在 x 轴下方,就 - 2m0,yBAMOx如PM3PC2 m2 m3, m=- 2（舍）或者 m=- 3（舍）,就m2AM_精品资料_ 如PM1,就2 m2 m1, m=- 2

29、（舍）或者 m=1,第 23 页,共 35 页m23AM33- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - P1（1,5）学习必备欢迎下载39当 p 在 x 轴上方,就 m- 2, yBPMAOxC如PM3,就m 2+2m3, m=- 2（舍）或者 m=- 3,m2AMP2 （- 3,3）如PM1,就m 2+2m1,m=- 2（舍）或者 m=1（舍）m23AM33综上所述：符合条件的P 有两个点： P1（1,5）,P2（- 3,3）39二次函数中的存在性问题（随堂测试）1如图,抛物线y2 axbx1与 x 轴交于 A（- 1,0）、B（1,0）两点,与 y 轴交

30、于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）过点 B作BD CA与抛物线交于点 D,求四边形 ACBD的面积；（3）M是 x 轴下方抛物线上的一个动点,过M作MN x 轴于点 N,是否存在点M,使以 A、M、N为顶点的三角形与BCD相像？如存在,恳求出点M的坐标；如不存在,请说明理由_精品资料_ - - - - - - -第 24 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yCAOBxD【参考答案】1. 1y=- x 2+1 24 3M- 2,- 3,4,- 15,4 3,79二次函数中的存在性问题（作业）5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x

31、2+2x+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 B,D 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点,过P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q,摸索究：随着 P 点的运动,在抛物线上是否存在点 Q,使以点 A,P,Q,C 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,恳求出符合条件的点 请说明理由Q 的坐标；如不存在,_精品资料_ - - - - - - -第 25 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - yD学习必备欢迎下载yDACOBxACOBx6.如图,已知二次函数y1 48x213x20的图象

32、过点A- 4,3 ,B 4,4 ,交 x 轴于 C、D 两点（1）求证： ACB 是直角三角形；（2）如点 P 是 x 轴上方抛物线上的一个动点,设点P 的横坐标为 m,过点 P作 PHx 轴于点 H,是否存在以 P、H、D 为顶点的三角形与ABC 相像？如存在,求出 m 的值；如不存在,请说明理由AyBAyBP_精品资料_ HCODxCODx第 26 页,共 35 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 7.学习必备y欢迎下载3与抛物线y1x23x5交如图,在平面直角坐标系中,直线3 4x2442于 A、B 两点,点 A 在 x 轴上如点 P 是直线

33、 AB 上方抛物线上的一动点 （不与点 A、B 重合）,设点 P 的横坐标为 m,连接 PA,以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG随着点 P 的运动,正方形的大小、位置也随之转变当顶点F 或 G 恰好落在 y 轴上时,请写出对应的点 P 的坐标yPOAxFB GyAO xByA8.在平面直角坐标系中,BOx抛 物 线y2 a xb x与 x 轴的 两 个交点分别为 A- 3,0 ,B 1,0 ,过顶点 C 作 CHx 轴于点 H（1）直接填写： a= ,b= ,顶点 C 的坐标为；（2）如点 P 是 x 轴上方抛物线上的一动点 （点 P 与顶点 C 不重合）,PQAC_精品资料_ - - - - - - -第 27 页,共 35 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载于点 Q,当 PCQ 与 ACH 相像时,求点 P 的坐标ACyOBxACyOBxHH【参考答案】1解：（1）由抛物线解析Cy式 y=- x 2+2x+3 可得：A- 1,0,B3,0,C0,3,D1,4,再由 A、C 两点坐标,可得 直线 AC的解析 式为：y=3x+3 _精品资料_ （2）由题意可得： PQ ACAHOBx且 PQ=AC,第 28 页,共 35 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - -