2022年八个有趣模型——搞定空间几何体地外接球与内切球.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案八个好玩模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面,简称球 . 2外接球的定义：如一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,体,这个球是这个多面体的外接球 . 3内切球的定义： 如一个多面体的各面都与一个球的球面相切,这个球是这个多面体的内切球 . 二、外接球的有关学问与方法 1性质：就称这个多面体是这个球的内接多面就称这个多面体是这个球的外切多面体,性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球

2、心,该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心（类比：在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心）. D1PA1O 2B1acOC1DEMONFBAbCO 1O 1初图 1初图 22结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2：如由长方体切得的多面体的全部顶点是原长方体的顶点,就所得多面体与原长方体的外接球相同；结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直

3、的棱构成的直角三角形的外接圆圆心,换言之,就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球 . 3终极利器 ：勾股定理、正定理 三、内切球的有关学问与方法及余弦定理 （解三角形求线段长

4、度） ；1如球与平面相切,就切点与球心连线与切面垂直. （与直线切圆的结论有一样性）. . （类比：与多边形2内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等的内切圆） . 3正多面体的内切球和外接球的球心重合 . 4正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不肯定重合 . 5基本方法：（1）构造三角形利用相像比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法 ）. 四、与台体相关的,此略 . 文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案五、八大模型第一讲 柱体背景的

5、模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直,不找球心的位置即可求出球半径）P P P Pc c c cA b C C C B b Cab b aB A a BA a B A图1-1 图1-2 图1-3 图 1-4方法：找三条两两垂直的线段,直接用公式 2 R 2 a 2b 2c 2,即 2 R a 2b 2c 2,求出 R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4,体积为16,就这个球的表面积是（ C ）A 16 B 20 C 24 D 32解：V a 2h 16,a 2,4 R 2a 2a 2h 24 4 16 24,S 24,选 C；（2）如三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为

6、 3 ,就其外接球的表面积是 9解：4 R 2 3 3 3 9,S 4 R 29；（3）在正三棱锥 S ABC 中, M、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 AM MN , 如侧棱 SA 2 3 , 就正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 . 36 S解：引理： 正三棱锥的对棱相互垂直 . 证明如下：如图（3） -1 ,取 AB, BC 的中点 D, E,连接 AE, CD,AE, CD 交于 H ,连接 SH ,就 H 是底面正三角形 ABC的中心,A CSH 平面 ABC ,SH AB,D H EBAC BC,AD BD,CD AB,AB 平面 SCD,3题-1引理）AB SC,同理：

7、BC SA,AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,S此题图如图（ 3）-2 ,AM MN,SB/ MN,MAM SB,AC SB,SB 平面 SAC,SB SA,SB SC,SB SA,BC SA,A CSA 平面 SBC,SA SC,N故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两相互垂直,B3题-2（解答图）2 2 2 2 2 2 R 2 3 2 3 2 3 36,即 4 R 36,正三棱锥S ABC 外接球的表面积是 36 . 文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案（4）在四周体 SABC中,SA平

8、面ABC,BAC120,SAAC,2AB,1就该四周体的外接C.10ABC 的外接球直径为球的表面积为（ D ）D.40A . 11B . 7BC7,33解：在ABC 中,BC2AC2AB22ABBCcos 1207,2 SA2722rsinBC727,40,S40 3,选 D 22 R 2 r2 4BAC33332（5）假如三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6 、 4 、 3,那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直,设三条侧棱长分别为2a,b ,c（a,b,cR）,就,S4R229,ab12,2R 2a2b2c229bc8,abc24,a3,b4,cac61的等腰直角三

9、角形和边长为1的正方形,就该几（6）已知某几何体的三视图如下列图,三视图是腰长为何体外接球的体积为解：2R 2a2b2c23,R23,R342V球4R343833,P332C6题图AB（6）题直观图类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四周体） 中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径 （ABCD,ADBC,ACBD）第一步：画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱；其次步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c,ADBCx,ByAxzDycABCDy,ACBDz, 列方程组,za2b22 x2R2a2b2c2x2y2z2,bCxab2c2y2图 2-12c2a22 z补充 ：图 2

10、-1 中,VABCDabc1abc41 3abc. 6文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案第三步：依据墙角模型,2 Ra22 bc2x2y2z22,Rx2y2z2,Rx22 yz2,288求出 R. 摸索 ：如何求棱长为a 的正四周体体积,如何求其外接球体积？ACBD6,ADBC7,就该三棱锥外接例 2（1）如下图所示三棱锥ABCD ,其中ABCD5,球的表面积为 . 解：对棱相等,补形为长方体,如图,2-1 ,设长宽高分别为a,b,c,2a2b2c2253649110,a2b2c255,4R

11、255S55AB DC1 题图（ 2）在三棱锥ABCD中,ABCD2,ADBC3,ACBD4,就三棱锥ABCD外接球的表面积为 .29 2ca ,b ,c,就a2b29,解：如图 2-1 ,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为2 bc24,c2a2162 a2b2c2941629,2a2b22941629,a2b2c229,4R229,S29222（3）正四周体的各条棱长都为2 ,就该正面体外接球的体积为PAC解：正四周体对棱相等的模式,放入正方体中,（3）解答题3BR3,V438332R,232（4）棱长为 2 的正四周体的四个顶点都在同一个球面上,如过该球球心的一个截

12、面如下图,就图中三角形 正四周体的截面 的面积是 . 文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案O2 CPOA O1 B4题 4题解答图解：如解答图,将正四周体放入正方体中,截面为 PCO ,面积是 2 .类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）A 1O2B 1C1FA 1O 2C1B 1A 1C 1O2FB1A题设：如图OOOCCCO1BEAO 1BABO 1E图3-1图 3-2图3-33-1 ,图 3-2 ,图 3-3, 直三 棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任

13、意三角形）第一步：确定球心O的位置,O 是ABC 的外心,就OO1（平面 ABC ；其次步：算出小圆O 的半径AO1r,OO11AA 11 2hAA1h也是圆柱的高） ；2第三步：勾股定理：OA2O 1A2O 1O2R2h2r2Rr2 h 22,解出 R2例 3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9 ,底面周长为 3 ,就这个球的体积为 81,R21 2324解：设正六边形边长为a ,正六棱柱的高为h,底面外接圆的半径为r ,就a2正六棱柱的底面积为S6312383,V柱Sh383h9,h3,4428也可R232121）,

14、R1,球的体积为V 球4；2232,BAC120,就此（ 2）直三棱柱ABCA B C 的各顶点都在同一球面上,如ABACAA 1球的表面积等于 . 文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案解：BC 2 3,2r 2 3 4,r 2,R 5,S 20；Esin 120r 1（ 3）已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面相互垂直,O1 r1ARO R DEA EB ,3 AD 2 , AEB 60,就多面体 E ABCD 的外接球 M r 2O 2的表面积为 . 16解：折叠型,B（

15、3）题C法一：EAB的外接圆半径为 1r 3,OO 1 1,R 1 3 2；法二：O 1M 3,r 2 O 2 D 13,R 2 3 134,R 2,S 表 16；2 2 4 4法三：补形为直三棱柱,可转变直三棱柱的放置方式为立式,算法可同上,略 . 换一种方式,通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径： 2 R 2 2 3 2 2 2 16,S 表 16；（4）在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中,AB 4 , AC 6 , A , AA 1 4,就直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的外接3球的表面积为 . 1603解：法一：BC 216 36 2 4 6 1 28,BC

16、2 7,2r 2 7 4 7,r 2 7,2 3 3 32R2r2AA 1228440,S 表160；.锥体背景的模型2333法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径,此略 其次讲类型四、切瓜模型（两个大小圆面相互垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）PP PPOOCAOCAO1CAO 1O 1CABBABBCBB图4-1图 4-2图 4-3图 4-4ABC 的外1如图 4-1 ,平面 PAC平面 ABC ,且（即 AC 为小圆的直径） ,且 P 的射影是心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点 . 解题步骤：第一步：确定球心O的位置,取A

17、BC的外心O ,就P,O,O 1三点共线；其次步：先算出小圆O 的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高） ；文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案第三步：勾股定理：OA2O 1A2O 1O2R2hR2r2,解出 R； . 事实上,ACP 的外接圆就是大圆,直接用正弦定理 也可求解出 R . 2如图 4-2 ,平面 PAC平面 ABC ,且ABBC（即 AC 为小圆的直径） ,且PAAC,就利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2R2PA22 r22R2 PA2 r2；R2r2OO 12

18、Rr2OO 123如图 4-3 ,平面 PAC平面 ABC ,且ABBC（即 AC 为小圆的直径）OC2O 1 C2O 1 O2R2r2O 1 O2AC22 RO 1 O24题设：如图4-4 ,平面 PAC平面 ABC ,且ABBC（即 AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC2 r其次步：在PAC 中,可依据正弦定理aAbBcC2R,求出 R. sinsinsin例 4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,如该棱锥的高为 1,底面边长为23,就该球的表面积为解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）2R7,S4R249；法二：找球心

19、联合勾股定理,（2）正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,各顶点都在同一球面上,就此球体积为解：方法一：找球心的位置, 易知 r 1,h 1,h r,故球心在正方形的中心 ABCD处,R 1,V 43方法二：大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是 SAC的外接圆,此处特别,Rt SAC 的斜边是球半径,2R2,R1,V4.3（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为三棱锥的体积是（）1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,就该正A3 3 B3 C3 D34 3 4 12解：高 h R 1,底面外接圆的半径为 R 1,直径为 2R 2,设底面边长为 a ,就 2 R a 2,a

20、 3,S 3a 2 3 3,三棱锥的体积为 V 1 Sh 3；sin 60 4 4 3 4（4）在三棱锥 P ABC 中,PA PB PC 3 , 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 ,就该三棱锥外接球的体积为（）4A B. C. 4 D.3 3解：选 D,由线面角的学问,得 ABC的顶点 A , B , C 在以 r 3为半径的圆上,在圆锥中求解,R 1；2（5）已知三棱锥 S ABC 的全部顶点都在球 O 的求面上 , ABC 是边长为 1的正三角形 , SC为球 O 的直径, 且 SC 2,就此棱锥的体积为（）A 文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共

21、15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案A2 62 RrB33 C2 3236D213236262解：OO 12126,h,V球1 Sh 333346类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图5, PA平面 ABC ,求外接球半径. POAO1CDB图 5解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径 AD ,连接 PD ,就 PD 必过球心 O ；其次步：O 为 ABC 的外心,所以 OO 1 平面 ABC ,算出小圆 O 的半径 O1 D r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理,得 a b c2 r）,OO

22、1 1PA；sin A sin B sin C 22 2 2 2 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： 2 R PA 2 r 2 R PA 2 r ； R 2 r 2 OO 1 2R r 2OO 1 2. 2题设：如图 5-1 至 5-8 这七个图形,P 的射影是 ABC的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 三棱锥 P ABC 的底面 ABC在圆锥的底上,顶点 P点也是圆锥的顶点 . POPOPOPOACBACBABCAO 1CBDO1O1O 1图5-1图5-2图5-3图 5-4文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - -

23、- - - - - - 有用标准文案BAPDCBAPCABPDO2O2O2OOO图 5-8图5-6图 5-7解题步骤：第一步：确定球心 O的位置,取 ABC 的外心 O ,就 P , O , O 1 三点共线；其次步：先算出小圆 O 的半径 AO1 r,再算出棱锥的高 PO1 h（也是圆锥的高） ；第三步：勾股定理：OA 2O 1 A 2O 1 O 2R 2 h R 2r 2,解出 R方法二： 小圆直径参加构造大圆,用 正弦定理 求大圆直径得球的直径 .例 5 一个几何体的三视图如下列图,就该几何体外接球的表面积为 C A 3 B 2 C16 D以上都不对3P2 2 2 22 2 R正视图 侧

24、视图 2 2ORM 1 O 1 1 N俯视图 解答图解：选 C,法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径,球心在圆锥的高线上,3R 21R2,R2,S42 R16；PMN的外接圆是大33法二：（大圆法求外接球直径）如图,球心在圆锥的高线上,故圆锥的轴截面三角形圆,于是2Rsin24,下略；603第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠 如图 6 文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案AOAH 2EDH 1CB图6第一步：先画出如图 6 所示的图形

25、,将 BCD 画在小圆上,找出 BCD 和 A BD 的外心 H 和 H 2；其次步：过 H 和 H 2 分别作平面 BCD 和平面 A BD 的垂线,两垂线的交点即为球心 O ,连接 OE, OC；第三步：解 OEH 1,算出 OH ,在 Rt OCH 1 中,勾股定理：OH 1 2CH 1 2OC 2注：易知 O , H 1 , E , H 2 四点共面且四点共圆,证略 . 例 6（1）三棱锥 P ABC 中,平面 PAC 平面 ABC , PAC 和ABC均为边长为2的正三角形,就三棱锥 P ABC 外接球的半径为 . P2 4 2 1解：如图,2 r 1 2 r 2,r 1 r 2,O

26、 2H,sin 60 3 3 32 2 2 1 4 5 15 O2 OR O 2 H r 1,R；A3 3 3 3O1H法二：O 2H 1,O 1H 1,AH 1,B C3 3（1）题2 2 2 2 2 5 15R AO AH O 1 H O 1 O,R；3 3（2）在直角梯形 ABCD 中,AB/ CD,A 90,C 45,AB AD 1,沿对角线 BD 折成四周体 A BCD,使平面 A BD 平面 BCD ,如四周体 A BCD 的顶点在同一个球面上,就该项球的表面积为 4SADADOCA21r2O2r1R1B2CO2DBM2题-22O 1CB2题 -13题解：如图,易知球心在BC的中点

27、处,S 表4；文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案（3）在四周体SABC中,ABBC,ABBC2,二面角SACB的余弦值为3 3,就四面体SABC的外接球表面积为6解：如图,法一：cosSO 1BcosOO 1 O 223,3sinOO 1O 23,cosOO 1O26,33OO 1cosO 1O 2O 22,R2113,S4R26；OO 1222SB6；法二：延长BO 到 D 使DO1BO1r1,由余弦定理得SB6,SD2,大圆直径为2R为 120 的四（4）在边长为23的菱形 ABCD

28、中,BAD60,沿对角线 BD 折成二面角ABDC面体 ABCD ,就此四周体的外接球表面积为28Ar2OO 2RDRCBD 的外心O 1,O2d2EMd1O1r1CB4题图解：如图,取 BD 的中点 M , ABD 和CBD 的外接圆半径为r 1r22, ABD 和到弦 BD 的距离（弦心距）为d 1d21,28；7,AC33,法一：四边形OO 1MO2的外接圆直径OM2,R7,S法二：OO13,R7；4,ME1,AE法三：作出CBD的外接圆直径CE, 就AMCM3,CEcosAEC71627217,sinAEC33,2RAC3327,R7；27427sinAEC3327文档大全_精品资料_

29、 - - - - - - -第 11 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案5 在四棱锥 ABCD 中,BDA120,BDC150,ADBD2,CD3,二面角ABDC的平面角的大小为120 ,就此四周体的外接球的体积为解：如图,过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心,OO2O23,29. AO2BMDC抽象化MDO1BO15题解答图 -15 题解答图 -2AB23,2r2,弦心距O2M3,BC13,1r13,弦心距O 1M27,V 球116O 1O221,OMO 1O2sin120229,R29,V 球11629；法一：2 ROD2MD2OM3

30、法二：OO2 2OM2O 2M225,R2OD2r2 2OO2 229,R29,3类型七、两直角三角形拼接在一起 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 模型PBCO题设：如图7,APBACBA图7ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O,90,求三棱锥P连接OP,OC,就OAOBOCOP1AB,O 为三棱锥PABC外接球球心,然后在OCP 中2求出半径）,当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值 . 例 7（1）在矩形 ABCD 中,AB4,BC3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BACD,就四周体 ABCD 的外接球的

31、体积为（）A125 B125 C125 D12512963ABCD解：（ 1）2RAC5,R5,V433 4 125 125R,选 C 3 8 6,沿 BD 将矩形 ABCD 折叠, 连接 AC ,所得三棱锥2 23（2）在矩形 ABCD 中,ABBC,文档大全_精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 有用标准文案的外接球的表面积为2RBD解： BD 的中点是球心 O,13,S4R213. 第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题P1题设：如图8-1 ,三棱锥PABC上正三棱锥,求其内切球的半径. BAE

32、DEOGFC第一步：先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心；其次步：求DH1BD,POPHr, PD 是侧面ABP 的高；H3B第三步：由POE相像于PDH,建立等式：OE PO,解出 rDH PDP ABC 是正四棱锥,求其内切球的半径图 8-12题设：如图8-2 ,四棱锥APD第一步：先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线；O其次步：求FH1BC,POPHr, PF 是侧面PCD 的高；2H第三步：由POG 相像于PFH ,建立等式：OGPO,解出HFPF图8-2C3题设：三棱锥PABC是任意三棱锥,求其的内切球半径方法： 等体积法 ,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；其次步：设内切球的半径为r ,建立等式：V PABCV OABCV OPABV OPACV OPBCrB正 方 体V PABC1SABCr1S PABr1S PACr1S PBCr1SABCSPABS PAC,SPBC33333第三步：解出rS OABCS O3 VPABCPACS OPBCS Oa2PAB例 8 （1）棱长为 a 的正四周体的内切球表面积是a的6D解：设正四周体内切球的半径为r ,将正四周体放入棱长为2中（即补形为正方体） ,如图,就V PABC1V 正方体1a3a3,33226