2022年分段函数专题非常全面.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数,其要点在于自变量取不同范畴的值时所使用的 解析式不同, 所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范畴是否在发生变化；即“ 分 段函数分段看”一、基础学问：1、分段函数的定义域与值域各段的并集 2、分段函数单调性的判定：先判定每段的单调性,假如单调性相同,就需判定函数是连续 的仍是断开的, 假如函数连续, 就单调区间可以合在一起,假如函数不连续,就要依据函数 在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；3、分段函数对称性的判定：假如能够将每段的图像作出,就优先

2、采纳图像法,通过观看图像判定分段函数奇偶性；假如不便作出,就只能通过代数方法比较fx,fx 的关系,要留意,xx 的范畴以代入到正确的解析式；4、分段函数分析要留意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类,连续型与断开型,判定的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值,另外一段是临界值）,如两个值相等,那么分段函数是连续的；否中,就是断开的；例如：fx2 x1,x3,将x3代入两段解析式,运算结果相同,那2 x4,x3么此分段函数图像即为一条连续的曲线,其性质便于分析； 再比如fx2x1,x3x21,x3两段解析式结果不同,进而分段函数的图像是断开的两段；（2）每一个含肯定值的函数,都可

3、以通过肯定值内部的符号争论,将其转化为分段函数；例如：fxx13,可转化为：fxx13,x11x3,x15、遇到分段函数要时刻盯住变量的范畴,并依据变量的范畴挑选合适的解析式代入,如变 量的范畴并不完全在某一段中,要留意进行分类争论 6、假如分段函数每一段的解析式便于作图,就在解题时建议将分段函数的图像作出,以便 必要时进行数形结合；_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 8 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 二、典型例题_精品资料_ 例 1：已知函数f 2x1x1,如ff04a,就实数 a_第 2 页,共 8 页x2ax x1思路：从里向外一层层求值,f

4、02 012ff0f242a所以 42a4 aa2答案：a2例 2：设函数fxcosx x0x0,就f10的值为 _ fx11,3思路：由fx 解析式可知,只有x0,才能得到详细的数值,x0时只能依靠fxfx11 向x0正数进行靠拢；由此可得：f10f71f42f13f24,而33333f2cos21f10933232答案：9 2小炼有话说： 含有抽象函数的分段函数,在处理里第一要明确目标,即让自变量向有详细解析式的部分靠拢, 其次要懂得抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在此题中：x0,fxfx11 可以立刻为间隔为1 的自变量,函数值差1,其作用在于自变量取负数时,可以不断1直

5、至取到正数；懂得到这两点,问题自然迎刃而解；3 x4 ,x2例 3：函数fxx2 , 1x2,就不等式fx1的解集是 A. ,1U5, B. ,1U5,333C. 1,5 D. 5,3 33思路：第一要把fx1转变为详细的不等式,由于fx 是分段函数,所以要对x 的范围分类争论以代入不同的解析式：当x2时,fx13 x41,可解得：x1- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 或x5；所以x1或5 3x2；当x2时,fx1x2112x1 解得3x3,所以 2x3,综上所述：x,1U5,33答案： B x 1 x 0例 4：已知函数 f x ,就不等式 x

6、x 1 f x 1 1 的解集是 _x 1 x 0思路：要想解不等式,第一要把 f x 1 转变为详细的表达式,观看已知分段函数,x 1 x 0f x , x 占据 f 整个括号的位置,说明对于函数 f x 而言,括号里x 1 x 0的式子小于 0 时,代入上段解析式, 当括号里的式子大于 0 时,代入下段解析式； 故要对 x 1的符号进行分类争论； （1）当 x 1 0 x 1 时,f x 1 x 1 1 x ,不等式变为：x x x 1 1 x 21 x（2）当 x 1 0 x 1 时,f x 1 x 1 1 x ,不等式变为：2x x x 1 1 x 2 x 1 0 1 2 x 1 2x

7、 1, 1 2答案：x 1, 1 22例 5：已知函数 f x x x1 2 x 3, x 0,就不等式 f x 8 f x 23 x 的解集为2 1, x 0_ 思路：此题假如通过分类争论将不等式变为详细不等式求解,就难点有二：一是要顾及_精品资料_ x8,x23x 的范畴,就需要分的情形太多；二是详细的不等式可能是多项式与指数式混第 3 页,共 8 页在一起的不等式,不易进行求解；所以考虑先搁置代数方法,去分析fx 的图像性质,发现 fx 的两段解析式均可作图,所以考虑作出fx 的图像,从而发觉fx 是增函数,从而无论x8,x23 x 在哪个范畴,fx8fx23 xx8x23x ,从而解得

8、：x4或x2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 答案：, 4U2,小炼有话说： 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段,通过对x 进行分类争论将不等式转变为详细的不等式求解比如例 3,例 4）；另一种是通过作出分段函数的图象,数形结合,利用图像的特点解不等式（比如例 5）；2x 2 , x x 0例 6：已知函数 f x 2 . 如 f a f a 2 f 1,就 a 的取值范畴是x 2 , x x 0A1,0 B 0,1 C1,1 D2,2思路：此题可以对 a 进行分类争论, 以将 f a f a 2 f 1 变成详细不等式求

9、解,但也可从 ,a a 的特点动身,考虑判定 f x 的奇偶性,通过作图可发觉 f x 为偶函数,所以 f a f a ,所解不等式变为 f a f 1,再由图像可得只需 a 1,即 1 a 1答案： C 小炼有话说：（1）此题判定函数 f x 的奇偶性可以简化运算,而想到这一点是源于抓住宅解不等式中a , a 的特点；由此可见,有些题目的思路源于式子中的一些示意（2）由于 f x两段图像均易作出,所以在判定 f x奇偶性时用的是图像法；对于某些不易作图的分段函数,在判定奇偶性时就需要用定义法了,下面以此题为例说说定义法如何判断：整体思想依旧是找到 f x , f x,只是在代入过程中要留意

10、,x x 的范畴：设2 2 2x 0,就 x ,0,f x x 2 , x f x x 2 x x 2 x ,所以 f x f x,即 f x 为偶函数例 7：已知函数 f x 1 2 x 2, g x x 22 x ,如 F x g x , f x g x ,就 F x 的f x , f x g x 值域是 _精品资料_ 解析： F x 是一个分段函数,其分段标准以fx,g x 的大小为界,所以第一步先确定第 4 页,共 8 页好 x 的取值,解不等式：fxg x12 x2x22x ,解得：1x1,故3- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - Fxx22

11、2 ,x1x11,分别求出每段最值,再取并集即可31x2,1 3or x答案：,7f x aa2x1x1,如f x 在,单调递增, 就实数 a 的9例 8：已知函数logxx1取值范畴是 _思路：如 f x 在 , 单调增,就在 R 上任取 x 1 x ,均有 2 f x 1 f x 2,在任取中就包含 x 1 , x 均在同一段取值的情形,所以可得要想在 R上单调增,起码每一段的解析式a 2 0也应当是单调递增的,由此可得：,但仅仅满意这个条件是不够的；仍有一种a 1取值可能为 x x 不在同一段取值,如也满意 x 1 x ,均有 f x 1 f x 2,通过作图可发现需要左边函数的最大值不

12、大于右边函数的最小值；代入 x 1,有左段 右端,即a 2 1 log 1 0 a 3综上所述可得：a 2,3答案：2,3x 1. x 1,0例 9：已知 f x 2,就以下选项错误选项（）x 1, x 0,1A. 是 f x 1 的图像 B. 是 f x 的图像_精品资料_ C. 是 fx的图像 D. 是 fx的图像第 5 页,共 8 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 思路： 考虑先作出fx 的图像 （如右图所示） ,再依据选项进行验证即可：A. f x 1 为 f x 向右平移一个单位,正确；B. f x为f x关于y轴对称的图像, 正确；C

13、. f x 为 f x 正半轴图像不变, 负半轴作与 f x 正半轴关于 y 轴对称的图像, 正确；D. f x 的图像为 f x在 x 轴上方的图像不变, 下方图像沿 x 轴对称翻折； 而 f x 图像均在 x 轴上方,所以 f x应与 f x 图像相同；错误答案： D 3x 1 , x 1例 10：函数 f x,就以下结论正确选项（）2sin x x 12A. 函数 f x 在 1, 上为增函数 B. 函数 f x 的最小正周期为 4 C. 函数 f x 是奇函数 D. 函数 f x 无最小值思路：可观看到 f x 的图像易于作出,所以考虑先作图,再看由图像能否判定各个选项,如下列图可得：

14、BC选项错误, D选项 f x 存在最小值 f 1 2,所以 D 错误, A 选项是正确的答案： A 小炼有话说：（ 1）此题利用数形结合是最为简便的方法,一方面是由于 f x 本身便于作图, 另一方面四个选项在图上也有详细的含义；（2）分段函数作图过程中,特别在函数图象断开时,肯定要留意端点处属于哪个解析式；此题中x1就属于y2sin2x 部分,所以才存在最小值；三、近年模拟题题目精选_精品资料_ 1、已知函数fxxa,3x,1如f1f3,就 a_ 第 6 页,共 8 页xlgx21,x,1- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2、已知fxx2,xx

15、0 ,x,如ffx03,就x0_.2sin,03、（ 2022,湖州中学期中）函数fx42,x,xx,00, 如ffaffa 1,就实x数 a 的取值范畴为（）5,4 A0,1 B,10 C5 ,4 D4、已知fx2x1,x0,就fx1的解集为 _x21 , xx04,就实5、（2022,北京）设函数fx2xxa x12a,x14ax如a1,就 fx 的最小值为 _如 fx 恰有 2 个零点,就实数a 的取值范畴是 _6、（ 2022,福建）如函数fx3x6,x22a0, a1的值域是logax x数 a 的取值范畴是 _精品资料_ 7、（2022,新课标 II）设函数fx1xlog22x,x

16、1,就f2falog 12 2（）第 7 页,共 8 页21,x1A. 3B. 6C. 9D. 128、（2022,山东）设函数fx3 x1,x1,就满意ff a2f的 a 的取值范畴x 2 ,x1是（）C. 2 , 3D. 1,A. 2,1 3B. 0,19、已知函数fxsinxcos xsinxcos x ,就 fx 的值域是（）A. 2,2 B. 2,2 C. 2,2 D. 2,210、已知函数fx2 a1xt3 a4,xt,无论 t 为何值, 函数 fx 在 R 上总是不x3x x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 单调,就 a 的取值范畴是 _ _精品资料_ 11、已知fx11x2,0x10,且 0mn1,0n1,mn0,就使不等式第 8 页,共 8 页2 x, 1xf mf n0成立的m n 仍应满意的条件为（m） D. mn0A. mn B. mn C. 0- - - - - - -